{"id":388,"date":"2023-07-03T14:10:00","date_gmt":"2023-07-03T14:10:00","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/derivata-del-coseno-iperbolico\/"},"modified":"2023-07-03T14:10:00","modified_gmt":"2023-07-03T14:10:00","slug":"derivata-del-coseno-iperbolico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/derivata-del-coseno-iperbolico\/","title":{"rendered":"Derivata del coseno iperbolico"},"content":{"rendered":"<p>In questo articolo spieghiamo come derivare il coseno iperbolico di una funzione. Inoltre, troverai esempi di derivate del coseno iperbolico e, infine, ti mostreremo la formula per questo tipo di derivata trigonometrica. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-derivada-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Formula derivata dal coseno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>La derivata del coseno iperbolico di x \u00e8 il seno iperbolico di x.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c3935efe4db8dd3b7852cc93509c06c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"394\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, la <strong>derivata del coseno iperbolico di una funzione<\/strong> \u00e8 uguale al prodotto del seno iperbolico della funzione e della derivata di quella funzione.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-764d8e891bc33a54d2ad73393df144c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La seconda formula \u00e8 identica alla prima, l&#8217;unica differenza \u00e8 che nella seconda si applica la regola della catena. Quindi, la prima formula pu\u00f2 essere utilizzata solo per derivare il coseno iperbolico di x, mentre la seconda formula pu\u00f2 essere utilizzata per derivare il coseno iperbolico di qualsiasi tipo di funzione. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/derivee-du-cosinus-hyperbolique.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2064\" width=\"427\" height=\"278\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere, la formula per la derivata del coseno iperbolico \u00e8 diversa dalla formula per la derivata del coseno, sebbene condividano alcune somiglianze.<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/deriva-dal-coseno\/\">formula per la derivata del coseno<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-la-derivada-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Esempi di derivata del coseno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Data la formula per la derivata del coseno iperbolico, di seguito risolviamo diversi esempi di derivate di questo tipo di funzioni trigonometriche. Ricorda, puoi porre tutte le domande che sorgono nei commenti. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-1-derivada-del-coseno-hiperbolico-de-2x\"><\/span> Esempio 1: Derivata del coseno iperbolico di 2x<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c79bebc7f8b263bee01848f5babea49_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In questo esempio abbiamo nell&#8217;argomento del coseno iperbolico una funzione diversa da x, quindi dobbiamo usare la formula per la derivata del coseno iperbolico con la regola della catena:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-764d8e891bc33a54d2ad73393df144c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La derivata di 2x \u00e8 2, quindi la derivata del coseno iperbolico di 2x \u00e8 il seno iperbolico di 2x per 2. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b84c1d5aa09cb545408a723b54f8fbf9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(2x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(2x)\\cdot 2=2\\text{cosh}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"533\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-2-derivada-del-coseno-hiperbolico-de-x-al-cuadrado\"><\/span>Esempio 2: Derivata del coseno iperbolico di x al quadrato<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-daf8b19f319b047a8b677ff1f158cd16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(x^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come abbiamo visto sopra, la regola per la derivata della funzione coseno iperbolico \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-764d8e891bc33a54d2ad73393df144c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, da un lato ricaviamo la funzione quadratica x <sup>2<\/sup> , che d\u00e0 2x, quindi calcoliamo la derivata dell&#8217;intera funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f15e7e138793e4cdcb3da8a84724d5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(x^2) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(x^2)\\cdot 2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"443\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"demostracion-de-la-formula-de-la-derivada-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Dimostrazione della formula della derivata del coseno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Infine, ti mostreremo la formula derivata dal coseno iperbolico in modo che tu possa vedere da dove proviene. Se partiamo dall&#8217;espressione del coseno iperbolico:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-441432af7fa8c1db95476b9541e222d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}(x)=\\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Deduciamo da entrambi i lati dell&#8217;espressione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ace35f9bdf59afdfd1dc06cccade202_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\bigl(\\text{cosh}(x)\\bigr)'=\\left(\\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\right)'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sul lato destro abbiamo la divisione, quindi applichiamo la formula per la derivata di un quoziente per trovare la derivata:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dacf4babd2368ad5d84913142cd1c988_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}'(x)=\\frac{(e^x-e^{-x})\\cdot 2}{2^2}=\\frac{e^x-e^{-x}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/derivata-di-un-quoziente-di-divisione\/\">Regola derivata dal quoziente<\/a><\/span><\/p>\n<p> Se si osserva attentamente, l&#8217;espressione ottenuta corrisponde a quella del seno iperbolico, il che significa che la seguente uguaglianza \u00e8 equivalente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9fafe72628e85aed5276d0a6b9104baa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}'(x)=\\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E cos\u00ec siamo arrivati alla regola della derivata del coseno iperbolico, per la quale \u00e8 dimostrata.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questo articolo spieghiamo come derivare il coseno iperbolico di una funzione. 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