{"id":376,"date":"2023-07-04T05:10:26","date_gmt":"2023-07-04T05:10:26","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/limiti-laterali\/"},"modified":"2023-07-04T05:10:26","modified_gmt":"2023-07-04T05:10:26","slug":"limiti-laterali","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/limiti-laterali\/","title":{"rendered":"Limiti laterali"},"content":{"rendered":"

In questo articolo spieghiamo cos’\u00e8 il limite laterale di una funzione (con esempi). Ti insegniamo anche come calcolare i limiti laterali sinistro e destro di una funzione, sia graficamente che numericamente. Inoltre, potrai allenarti con esercizi risolti passo dopo passo sui limiti laterali. <\/p>\n

<\/span> Quali sono i limiti laterali?<\/span><\/h2>\n

I limiti laterali di una funzione<\/strong> in un punto studiano il comportamento della funzione attorno a quel punto. Esiste il limite laterale sinistro e il limite laterale destro, che analizza il valore della funzione rispettivamente a sinistra e a destra del punto considerato. <\/p>\n

<\/span> Limiti laterali sinistro e destro<\/span><\/h2>\n

Come abbiamo visto nella definizione di confini laterali, esistono due tipologie: confini laterali sinistri e confini laterali destri.<\/p>\n

Il limite sinistro della funzione \u00e8 espresso con un segno meno nel punto in cui si analizza il limite e, invece, il limite destro \u00e8 indicato con il segno pi\u00f9. <\/p>\n

\n
\n

Limite laterale a sinistra<\/u><\/strong> <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

\n

Limite laterale a destra<\/u><\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

Guarda il seguente esempio per comprendere meglio il significato dei limiti laterali: <\/p>\n

\"limiti<\/figure>\n

Come puoi vedere nella rappresentazione grafica di questa funzione a tratti, i limiti laterali dipendono dal lato su cui vengono calcolati.<\/p>\n

In questo caso, la funzione si avvicina a 3 quando x si avvicina a 2 da sinistra, poich\u00e9 la funzione assume valori pi\u00f9 vicini a 3 quando x<\/em> si avvicina a x=2 da sinistra.<\/p>\n

Invece il limite laterale della funzione in x=2 tramite la retta vale 6. Perch\u00e9 se ci avviciniamo al punto x=2 tramite la sua retta, la funzione assume valori sempre pi\u00f9 vicini a f(x)= 6.<\/p>\n

D’altra parte, dovresti sapere che i limiti laterali hanno le stesse propriet\u00e0 dei limiti ordinari. Nel seguente link puoi vedere quali sono le propriet\u00e0 del confine:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> propriet\u00e0 del confine<\/a><\/span><\/p>\n

<\/span>limiti laterali uguali<\/span><\/h2>\n

Abbiamo appena visto un esempio in cui i limiti laterali di una funzione sono diversi, ma… cosa succede se i limiti laterali sono gli stessi?<\/p>\n

Se entrambi i limiti laterali di una funzione in un punto esistono e sono uguali<\/strong> , il limite della funzione esiste in quel punto e il risultato del limite \u00e8 il valore dei limiti laterali.<\/p>\n

In altre parole, affinch\u00e9 esista il limite di una funzione in un punto, deve essere soddisfatta la seguente condizione:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, se i limiti laterali di una funzione in un punto sono diversi, il limite della funzione in quel punto non esiste.<\/p>\n

Inoltre, che esista il limite di una funzione in un punto \u00e8 una condizione essenziale affinch\u00e9 essa sia una funzione continua in un punto<\/a><\/span> .<\/p>\n

Risolviamo un esempio per completare la comprensione del concetto di limiti laterali: <\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

I limiti laterali nel punto x=-2 della funzione rappresentata graficamente coincidono, poich\u00e9 il valore della funzione tende a 3 sia che ci si avvicini a x=-2 da sinistra che da destra. Pertanto il limite della funzione in x=-2 \u00e8 pari a 3.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Nel punto x=4 invece i limiti laterali sono diversi, poich\u00e9 da sinistra la funzione si avvicina a f(x)=3 ma da destra la funzione si avvicina a f(x)=2. Il limite della funzione a questo punto quindi non esiste. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Calcolo dei limiti laterali<\/span><\/h2>\n

Data la definizione di limiti laterali, vedremo come vengono calcolati numericamente risolvendo il seguente esempio:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Se calcoliamo il limite come al solito, otteniamo l’indeterminatezza di un numero reale diviso per 0:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Tuttavia, quando si calcolano i limiti laterali, non si ottiene alcuna indeterminazione.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Per calcolare il limite laterale della funzione da sinistra in x=2, devi prendere un numero minore di x=2 ma molto vicino ad esso, ad esempio x=1.999.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

In questo caso il denominatore sar\u00e0 un numero negativo con un valore molto piccolo ma nemmeno zero, e solitamente \u00e8 rappresentato da uno zero e da un segno meno davanti:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, il risultato del limite laterale \u00e8 meno infinito, perch\u00e9 qualsiasi numero diviso per 0 d\u00e0 infinito, e positivo diviso per negativo d\u00e0 negativo:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Possiamo verificare che la funzione si avvicina a meno infinito calcolando le immagini della funzione con valori pi\u00f9 vicini a x=2 da sinistra.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}\\begin{array}{l}f(1,9)=\\cfrac{3}{1,9-2}=-30\\\\[2ex]f(1,99)=\\cfrac{3}{1,99-2}=-300\\\\[2ex]f(1,999)=\\cfrac{3}{1,999-2}=-3000\\\\[2ex]f(1,9999)=\\cfrac{3}{1,9999-2}=-30000\\\\[2ex]f(1,99999)=\\cfrac{3}{1,99999-2}=-300000\\end{array}\\\\[16ex]\\vdots\\\\[1.5ex]<\/p>\n<\/p>\n

Allo stesso modo, per trovare il limite della funzione nel punto x=2 a destra, possiamo applicare lo stesso ragionamento: prendiamo un valore maggiore di 2 ma molto vicino, come 2001.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Allo stesso modo possiamo verificare che la funzione tende all\u2019infinito calcolando immagini della funzione con valori sempre pi\u00f9 vicini a x=2 da destra.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}\\begin{array}{l}f(2,1)=\\cfrac{3}{2,1-2}=30\\\\[2ex]f(2,01)=\\cfrac{3}{2,01-2}=300\\\\[2ex]f(2,001)=\\cfrac{3}{2,001-2}=3000\\\\[2ex]f(2,0001)=\\cfrac{3}{2,0001-2}=30000\\\\[2ex]f(2,00001)=\\cfrac{3}{2,00001-2}=300000\\end{array}\\\\[16ex]\\vdots\\\\[1.5ex]<\/p>\n<\/p>\n

Nel grafico seguente potete vedere rappresentata la funzione analizzata. Come puoi vedere, il limite laterale della funzione nel punto x=2 a sinistra \u00e8 meno infinito, e il limite laterale della funzione nel punto x=2 a destra \u00e8 pi\u00f9 infinito. <\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

<\/span> Risolti i problemi relativi ai confini laterali<\/span><\/h2>\n

Esercizio 1<\/h3>\n

Trova i limiti laterali della seguente funzione definita a tratti nei punti in cui cambia la definizione (x=-2 e x=4). <\/p>\n

\"\"<\/figure>\n
\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

I limiti laterali non coincidono nel punto x=-2, a sinistra la funzione tende verso f(x)=5 e, invece, a destra la funzione \u00e8 costante e vale 3. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Anche i limiti laterali sono diversi quando x si avvicina a 4. La funzione a tratti si avvicina a 3 da sinistra, ma si avvicina a -2 da destra. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 2<\/h3>\n

Determina se il limite esiste quando x tende a 3 della seguente funzione a tratti e, in tal caso, qual \u00e8 il suo valore. <\/p>\n

\"Limiti<\/figure>\n
\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

In questo problema i limiti laterali nel punto x=3 da sinistra e da destra sono identici, poich\u00e9 la funzione tende allo stesso valore (f(x)=3) sia che venga avvicinata da sinistra che da destra . il suo lato destro: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, secondo la definizione matematica del limite, il limite della funzione quando x tende a 3 \u00e8 uguale a 3, perch\u00e9 i due limiti laterali in questo stesso punto coincidono a questo valore:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Sebbene il limite della funzione in x=3 sia 3, bisogna tenere conto che la funzione in questo punto non \u00e8 3, ma che f(3)=7. Come vedremo in seguito, ci\u00f2 significa che la funzione non \u00e8 continua in x=3, ma presenta piuttosto una discontinuit\u00e0 evitabile.<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 3<\/h3>\n

Calcola i limiti laterali della seguente funzione razionale nel punto x=4. <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\cfrac{-2x+3}{x-4}\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Per calcolare il limite quando x tende a 4 da sinistra, prendiamo un valore inferiore a 4 ma molto vicino ad esso, ad esempio 3.999:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Quindi il limite laterale per x che si avvicina a 4 da sinistra \u00e8 pi\u00f9 infinito.<\/p>\n

E per risolvere il limite quando x tende a 4 da destra, valutiamo la funzione ad un valore maggiore di 4 ma molto vicino ad esso, ad esempio 4.001:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Quindi il limite laterale per x che si avvicina a 4 da destra \u00e8 meno infinito.<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 4<\/h3>\n

Trovare il limite, se esiste, della seguente funzione a tratti definita nel punto x=2: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle2 \\end{array} \\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”75″ width=”235″ style=”vertical-align: 0px;”><\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

In questo caso, la formulazione del problema ci chiede di trovare il limite in cui la funzione a tratti cambia espressione, quindi dobbiamo trovare il limite a sinistra utilizzando la prima espressione e il limite a destra utilizzando la seconda espressione. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Il limite della funzione in x=2 a sinistra coincide con il limite della funzione a destra, quindi il limite della funzione esiste ed \u00e8 uguale a 1: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In questo articolo spieghiamo cos’\u00e8 il limite laterale di una funzione (con esempi). Ti insegniamo anche come calcolare i limiti laterali sinistro e destro di una funzione, sia graficamente che numericamente. Inoltre, potrai allenarti con esercizi risolti passo dopo passo sui limiti laterali. Quali sono i limiti laterali? I limiti laterali di una funzione in …<\/p>\n

Limiti laterali<\/span> Leggi altro »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[11],"tags":[],"class_list":["post-376","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-limiti-di-funzione"],"yoast_head":"\nLimiti laterali - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/limiti-laterali\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Limiti laterali - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In questo articolo spieghiamo cos’\u00e8 il limite laterale di una funzione (con esempi). 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