{"id":369,"date":"2023-07-04T11:55:40","date_gmt":"2023-07-04T11:55:40","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/teorema-di-weierstrass\/"},"modified":"2023-07-04T11:55:40","modified_gmt":"2023-07-04T11:55:40","slug":"teorema-di-weierstrass","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/teorema-di-weierstrass\/","title":{"rendered":"Teorema di weierstrass"},"content":{"rendered":"

In questo articolo troverai la definizione del teorema di Weierstrass. Inoltre, potrai esercitarti con diversi esercizi risolti passo dopo passo sul teorema di Weierstrass per capirlo perfettamente. <\/p>\n

<\/span> Enunciato del teorema di Weierstrass<\/span><\/h2>\n

Il teorema di Weierstrass dice che se una funzione \u00e8 continua su un intervallo chiuso, quella funzione ha un massimo assoluto e un minimo assoluto su quell’intervallo.<\/strong><\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> Cos’\u00e8 una funzione continua?<\/a><\/span><\/p>\n

Il teorema di Weierstrass afferma solo che esiste un massimo e un minimo, ma non \u00e8 utile calcolare i valori di questi punti. <\/p>\n

\n
\"teorema<\/figure>\n<\/div>\n

Ad esempio, la funzione rappresentata nel grafico sopra \u00e8 continua sull’intervallo [a,b] e ha un minimo e un massimo su questo intervallo. Sebbene non possiamo conoscere le coordinate esatte di questi due punti, sappiamo che la funzione ha questi due punti finali nell’intervallo.<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> come calcolare il massimo e il minimo di una funzione<\/a><\/span><\/p>\n

Poich\u00e9 la funzione \u00e8 continua su tutto l’intervallo, ci\u00f2 significa che assumer\u00e0 anche tutti i valori possibili compresi tra il minimo assoluto e il massimo assoluto in quello stesso intervallo.<\/p>\n

Inoltre, come conseguenza del teorema di Weierstrass, si pu\u00f2 dedurre che qualsiasi funzione continua su un intervallo chiuso \u00e8 limitata sopra e sotto<\/strong> , e i limiti superiore e inferiore della funzione sono rispettivamente il massimo e il minimo assoluti.<\/p>\n

Matematicamente, il teorema di Weierstrass pu\u00f2 essere espresso come segue:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x_1)\\leq<\/p>\n<\/p>\n

Oro<\/p>\n<\/p>\n

\"x_1\"<\/p>\n

E<\/p>\n

\"x_2\"<\/p>\n

sono due punti inclusi (rispettivamente il minimo assoluto e il massimo assoluto) nell’intervallo chiuso<\/p>\n

\"[a,b]\"<\/p>\n

in cui \u00e8 definita la funzione.<\/p>\n

La dimostrazione del teorema di Weierstrass \u00e8 piuttosto complicata e non contribuisce molto al concetto, quindi non la spiegheremo in questo articolo. L’importante \u00e8 che tu capisca cos’\u00e8 il teorema di Weierstrass e a cosa serve. <\/p>\n

<\/span> Problemi risolti dal teorema di Weierstrass<\/span><\/h2>\n

Esercizio 1<\/h3>\n

Determina se la seguente funzione \u00e8 limitata all’intervallo proposto:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\log_3(x-4)<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong>dominio di una funzione logaritmica<\/a><\/span> <\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Possiamo determinare se la funzione \u00e8 limitata all’intervallo [5,10] applicando il teorema di Weierstrass. Dobbiamo quindi sapere se la funzione \u00e8 continua in questo intervallo, per fare ci\u00f2 calcoliamo il dominio della funzione logaritmica: <\/p>\n<\/p>\n

\"x-40″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”73″ style=”vertical-align: -2px;”><\/p>\n<\/p>\n

\"x4″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”43″ style=”vertical-align: -2px;”><\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom<\/p>\n<\/p>\n

La funzione \u00e8 continua per tutti i valori maggiori di x=4, quindi \u00e8 continua nell’intervallo [5,10].<\/p>\n

Pertanto, la funzione soddisfa il teorema di Weierstrass sull’intervallo [5,10], il che significa che \u00e8 limitata sopra e sotto su questo intervallo.<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 2<\/h3>\n

Determina se la seguente funzione ha un massimo e\/o un minimo nell’intervallo proposto:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\cfrac{3x^2-4}{2x-4}<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> dominio di una funzione razionale<\/a><\/span> <\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Innanzitutto analizziamo la continuit\u00e0 della funzione razionale: <\/p>\n<\/p>\n

\"2x-4=0\"<\/p>\n<\/p>\n

\"2x=4\"<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{4}{2}=2\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom<\/p>\n<\/p>\n

Tuttavia la funzione presenta una discontinuit\u00e0 in x=2, il che implica che non \u00e8 continua nell’intervallo [-3,3].<\/p>\n

In breve, la funzione non soddisfa il teorema di Weierstrass e quindi non possiamo dire se abbia un minimo o un massimo in questo intervallo.<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 3<\/h3>\n

Determina se la seguente funzione ha un massimo e\/o un minimo nell’intervallo proposto e calcola questi punti:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=x^2+3<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> caratteristiche delle funzioni quadratiche<\/a><\/span> <\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Il dominio di qualsiasi funzione quadratica \u00e8 costituito da tutti i numeri reali:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom<\/p>\n<\/p>\n

La funzione \u00e8 quindi continua sull’intervallo [0,4] e soddisfa il teorema di Weierstrass. La funzione quindi ha un minimo assoluto e un massimo assoluto su questo intervallo.<\/p>\n

Inoltre, il vertice di questa parabola \u00e8 esattamente in x=0, quindi la funzione \u00e8 strettamente crescente sull’intervallo [0,4] e, di conseguenza, il minimo \u00e8 in x=0 e il massimo in x= 4 . <\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{M\\'inimo<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{M\\'aximo<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

<\/span> Karl Weierstrass<\/span><\/h2>\n

Una volta visto cosa significa il teorema di Weierstrass, spiegheremo brevemente chi era l’inventario di questo teorema.<\/p>\n

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass<\/strong> fu un matematico tedesco molto importante del XIX secolo, pi\u00f9 precisamente nacque il 31 ottobre 1815 a Ostenfelde e mor\u00ec il 19 febbraio 1897 a Berlino.<\/p>\n

Oltre al teorema di Weierstrass, \u00e8 noto anche per altri suoi contributi alla matematica. Tra questi diede le definizioni di continuit\u00e0, limite e derivata, tre concetti di funzione molto importanti.<\/p>\n

Allo stesso modo riusc\u00ec a dimostrare alcuni teoremi che all’epoca non erano ancora matematicamente verificati, come il teorema di Bolzano-Weierstrass, il teorema del valore medio o il teorema di Heine-Borel.<\/p>\n

Come curiosit\u00e0, c’\u00e8 un cratere lunare e un asteroide che porta il nome di Weierstrass in suo onore.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In questo articolo troverai la definizione del teorema di Weierstrass. Inoltre, potrai esercitarti con diversi esercizi risolti passo dopo passo sul teorema di Weierstrass per capirlo perfettamente. Enunciato del teorema di Weierstrass Il teorema di Weierstrass dice che se una funzione \u00e8 continua su un intervallo chiuso, quella funzione ha un massimo assoluto e un …<\/p>\n

Teorema di weierstrass<\/span> Leggi altro »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[17],"tags":[],"class_list":["post-369","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-rappresentazione-delle-funzioni"],"yoast_head":"\nTeorema di Weierstrass - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/teorema-di-weierstrass\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Teorema di Weierstrass - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In questo articolo troverai la definizione del teorema di Weierstrass. 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