{"id":368,"date":"2023-07-04T12:33:10","date_gmt":"2023-07-04T12:33:10","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzioni-limitate\/"},"modified":"2023-07-04T12:33:10","modified_gmt":"2023-07-04T12:33:10","slug":"funzioni-limitate","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzioni-limitate\/","title":{"rendered":"Funzioni limitate"},"content":{"rendered":"

In questo articolo spieghiamo cosa sono le funzioni limitate (superiore e inferiore). Inoltre, ti mostreremo cosa significa per una funzione essere limitata in un punto e, infine, troverai le propriet\u00e0 di questo tipo di funzione.<\/p>\n

<\/span> Cos’\u00e8 una funzione limitata?<\/span><\/h2>\n

Una funzione limitata<\/strong> \u00e8 una funzione il cui grafico \u00e8 entro i limiti. Cio\u00e8, una funzione \u00e8 limitata superiormente se esiste un numero K tale che non esiste alcun valore della funzione maggiore di K (f(x)\u2264K), e una funzione \u00e8 limitata inferiormente se esiste un numero K tale che \u00e8 minore di tutti i valori della funzione (f(x)\u2265K). Pertanto, una funzione limitata \u00e8 una funzione limitata sopra e sotto. <\/p>\n

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\"funzione<\/figure>\n<\/div>\n

Ad esempio, la funzione seno trigonometrica, rappresentata graficamente sopra, \u00e8 limitata in alto da f(x)=1 ed \u00e8 limitata in basso da f(x)=-1 (linee tratteggiate rosse), poich\u00e9 tutti i valori della funzione rientrano in questi due limiti. Puoi vedere pi\u00f9 propriet\u00e0 di questa funzione nel seguente link:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> Caratteristiche della funzione seno<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span>funzione delimitata sopra<\/span><\/h2>\n

Tuttavia, non tutte le funzioni sono limitate sopra e sotto, una funzione pu\u00f2 essere limitata solo sopra o sotto.<\/p>\n

Le funzioni limitate di cui sopra<\/strong> sono quelle che non superano un certo valore, ovvero \u00e8 soddisfatta la seguente condizione:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)\\leq<\/p>\n<\/p>\n

dove il valore K \u00e8 il limite superiore della funzione.<\/p>\n

Ad esempio, la seguente parabola<\/a><\/span> \u00e8 limitata in alto da K=7, ma la funzione non \u00e8 limitata in basso poich\u00e9 i suoi rami si estendono all’infinito. <\/p>\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

Logicamente, se la funzione \u00e8 limitata da K=7, lo \u00e8 anche da K=8 e valori superiori.<\/p>\n

Il limite superiore pi\u00f9 piccolo \u00e8 chiamato limite superiore ed \u00e8 rappresentato da sup(f)<\/em> . Inoltre, se la funzione raggiunge tale limite superiore nel suo dominio, diremo che questo punto \u00e8 il massimo assoluto<\/strong> della funzione.<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> quali sono i massimi e i minimi di una funzione?<\/a><\/span><\/p>\n

Nel nostro caso la funzione \u00e8 geometricamente limitata da K=7, \u00e8 quindi l’estremo superiore e il massimo assoluto della funzione. <\/p>\n

<\/span>funzione delimitata di seguito<\/span><\/h2>\n

Le funzioni sotto delimitate<\/strong> sono quelle che non hanno un valore inferiore ad un certo numero, cio\u00e8 soddisfano la seguente espressione matematica:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)\\geq<\/p>\n<\/p>\n

Dove il valore K \u00e8 il limite inferiore della funzione.<\/p>\n

Di seguito \u00e8 riportata la rappresentazione grafica di una funzione esponenziale delimitata di seguito da K=3: <\/p>\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

Ovviamente la funzione \u00e8 limitata anche da valori inferiori a K=3.<\/p>\n

Come prima, il limite inferiore pi\u00f9 grande \u00e8 chiamato limite inferiore ed \u00e8 rappresentato da inf(f)<\/em> . Inoltre, se la funzione raggiunge detto estremo inferiore nel suo dominio, diremo che questo punto \u00e8 il minimo assoluto<\/strong> della funzione.<\/p>\n

In questo caso K=3 non \u00e8 il minimo assoluto della funzione, perch\u00e9 la funzione raggiunge questo valore all’infinito e, quindi, \u00e8 fuori dal suo dominio. In altre parole, f(x)=3 \u00e8 un asintoto orizzontale della funzione<\/a><\/span> .<\/p>\n

Esiste un teorema che permette di sapere se una funzione \u00e8 limitata in alto e in basso senza la sua rappresentazione grafica. Clicca qui per vedere qual \u00e8 il teorema di Weierstrass.<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> Teorema di Weierstrass<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Funzione limitata in un punto<\/span><\/h2>\n

Abbiamo appena studiato la nozione di delimitazione di una funzione in generale, ma \u00e8 anche possibile analizzare se una funzione \u00e8 limitata o meno in un intorno pi\u00f9 piccolo, cio\u00e8 in una parte della funzione.<\/p>\n

S\u00ec<\/p>\n<\/p>\n

\"a\"<\/p>\n

\u00e8 un punto nel dominio della funzione e<\/p>\n

\"r\"<\/p>\n

qualsiasi valore, diremo che la funzione \u00e8 limitata sopra\/sotto in quel punto<\/p>\n

\"a\"<\/p>\n

se c’\u00e8 un ambiente<\/p>\n

\"V(a,r)\"<\/p>\n

dove la funzione \u00e8 limitata sopra\/sotto.<\/p>\n

Pertanto una funzione \u00e8 limitata nel punto<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"a\"<\/p>\n

se \u00e8 delimitato in alto e in basso in un quartiere<\/p>\n

\"V(a,r).\"<\/p>\n<\/p>\n

Ovviamente, se una funzione \u00e8 limitata in generale, sar\u00e0 limitata anche in ciascuno dei suoi punti. Ma \u00e8 falso il contrario, cio\u00e8 che una funzione pu\u00f2 essere limitata in ciascuno dei suoi punti e non essere limitata in tutto il suo dominio.<\/p>\n

Ad esempio, la seguente funzione affine \u00e8 parzialmente limitata in ciascuno dei suoi punti, ma non \u00e8 una funzione limitata. <\/p>\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

<\/span> Propriet\u00e0 delle funzioni limitate<\/span><\/h2>\n

Le funzioni limitate hanno le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n