{"id":366,"date":"2023-07-04T13:41:37","date_gmt":"2023-07-04T13:41:37","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-coseno-iperbolico\/"},"modified":"2023-07-04T13:41:37","modified_gmt":"2023-07-04T13:41:37","slug":"funzione-coseno-iperbolico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-coseno-iperbolico\/","title":{"rendered":"Funzione coseno iperbolico"},"content":{"rendered":"<p>Qui troverai tutto sulla funzione coseno iperbolico: qual \u00e8 la sua formula, la sua rappresentazione grafica, le sue caratteristiche, le relazioni matematiche con le altre funzioni, ecc. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Formula del coseno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La funzione <strong>coseno iperbolico<\/strong> \u00e8 una delle principali funzioni iperboliche ed \u00e8 rappresentata dal simbolo <strong>cosh(x)<\/strong> . Il coseno iperbolico \u00e8 uguale alla somma di e <sup>x<\/sup> pi\u00f9 e <sup>-x<\/sup> divisa per 2.<\/p>\n<p> Pertanto la formula del coseno iperbolico \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f667377a7e792f2c9f5f5a7a0ecda4e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}(x)=\\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, il coseno iperbolico \u00e8 matematicamente correlato alla funzione esponenziale. Nel seguente link potete vedere le propriet\u00e0 di questo tipo di funzione:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-esponenziale\/\">propriet\u00e0 della funzione esponenziale<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"representacion-grafica-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Rappresentazione grafica del coseno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La rappresentazione grafica della funzione coseno iperbolico \u00e8 sotto forma di funzione quadratica (o parabola): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/cosinus-hyperbolique.webp\" alt=\"coseno iperbolico\" class=\"wp-image-376\" width=\"281\" height=\"308\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-parabola-quadratica\/\">Rappresentazione grafica di una funzione quadratica<\/a><\/span> .<\/p>\n<p> In questo grafico possiamo vedere chiaramente che il coseno iperbolico \u00e8 una funzione pari, perch\u00e9 \u00e8 simmetrica rispetto all&#8217;asse y.<\/p>\n<p> D&#8217;altro canto il grafico del coseno iperbolico \u00e8 molto diverso da quello del coseno (funzione trigonometrica), che \u00e8 una funzione periodica. Puoi vedere la rappresentazione grafica del coseno e tutte le differenze con il coseno iperbolico nel seguente link:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-coseno\/\">rappresentazione grafica della funzione coseno<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Caratteristiche del coseno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il coseno iperbolico rispetta le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n<ul>\n<li> Il dominio della funzione coseno iperbolico \u00e8 composto da tutti i numeri reali:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cd1539b66edeb38040ed80168e1fd9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f = \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Invece, l&#8217;intervallo (o intervallo) della funzione coseno iperbolico \u00e8 1 e tutti i numeri maggiori di 1:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60c76341385ea1ebb5f20476cd8226f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Im } f= [1,+\\infty)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il coseno iperbolico \u00e8 una funzione continua e pari.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91f3c4459fc8d8840fd902946c851d1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{cosh}(-x)=\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La funzione interseca l&#8217;asse Y nel punto x=0.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd01415f329053c1a450867378fc1582_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> D&#8217;altra parte la funzione non ha punto di intersezione con l&#8217;asse X.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> I due limiti all&#8217;infinito (positivo e negativo) della funzione coseno iperbolico danno pi\u00f9 infinito.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a5aadc0c48684e553e9971aefe442d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\text{cosh}(x)=+\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"161\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb2a605c43e81635473abf73554d264f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to-\\infty}\\text{cosh}(x)=+\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"161\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il coseno iperbolico diminuisce fino a x = 0 e da quel punto aumenta indefinitamente, quindi la funzione ha un minimo in x = 0.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd01415f329053c1a450867378fc1582_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La funzione \u00e8 convessa in tutto il suo dominio, quindi non ha punti di flesso.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> La derivata della funzione coseno iperbolico \u00e8 il seno iperbolico:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a7a982aae764353843a57652f9a6797_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(x) \\ \\longrightarrow \\ f'(x)=\\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"286\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> L&#8217;integrale della funzione coseno iperbolico \u00e8 il seno iperbolico:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a509c96c515bb7115359764e7e4451df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\int \\text{cosh}(x) \\ dx= \\text{senh}(x) + C\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"221\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il polinomio di Taylor (o serie di Maclaurin) della funzione coseno iperbolico \u00e8 il seguente:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdbe87b63234b62e226371256f8a6c8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}(x)=1+\\cfrac{x^2}{2!}+\\cfrac{x^4}{4!}+\\cfrac{x^6}{6!}+\\dots=\\sum_{n=0}^\\infty\\cfrac{x^{2n}}{(2n)!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La trasformata di Laplace della funzione coseno iperbolico \u00e8 la seguente: <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee373a19450972f0c4cccc3a273770e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathcal{L}\\bigl[\\text{cosh}(at)\\bigr]=\\cfrac{s}{s^2-a^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"relaciones-matematicas-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Relazioni matematiche del coseno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Successivamente vedremo come il coseno iperbolico pu\u00f2 essere calcolato da altre funzioni iperboliche, poich\u00e9 sono tutte matematicamente correlate.<\/p>\n<p> L&#8217;equazione fondamentale mette in relazione il coseno iperbolico con il seno iperbolico:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4317a445a90e4d139b47db7cf4a49a1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}^2(x)-\\text{senh}^2(x)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-seno-iperbolico\/\"><span style=\"text-decoration: underline;\">seno iperbolico<\/span><\/a><\/p>\n<p> Le tre principali funzioni iperboliche (seno iperbolico, coseno e tangente) possono essere correlate dalla seguente equazione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12f286528bc0635705aadbe510b6ceb7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, il coseno iperbolico della somma (o sottrazione) di due numeri diversi pu\u00f2 essere determinato mediante le seguenti formule:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-75dff3fbdfd533e08cf581767a0d9b7d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}(x+y)=\\text{cosh}(x)\\text{cosh}(y)+\\text{senh}(y)\\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"363\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3762e67762eecb02ed3d30c39febca9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}(x-y)=\\text{cosh}(x)\\text{cosh}(y)-\\text{senh}(y)\\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"363\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il coseno iperbolico di due volte un numero \u00e8 uguale alla somma dei quadrati del coseno iperbolico e del seno iperbolico di questo numero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be5e2f8a1f407e6dce0c53932575d545_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}(2x)=\\text{cosh}^2(x)+\\text{senh}^2(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> L&#8217;addizione o la sottrazione di due coseni iperbolici pu\u00f2 essere calcolata applicando le seguenti formule:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02b9d1c798f2639e6503add69dcdb401_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}(x)+\\text{cosh}(y)=2\\text{cosh}\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)\\text{cosh}\\left(\\frac{x-y}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ec9d613adc720e383f1c3c0c9c8ca5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}(x)-\\text{cosh}(y)=2\\text{senh}\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)\\text{senh}\\left(\\frac{x-y}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"386\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Infine, il quadrato del coseno iperbolico pu\u00f2 essere calcolato con la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33c90357c8680ebd2ca5725aad7703f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}^2(x)=\\cfrac{1}{2}\\Bigl(\\text{cosh}(2x)+1\\Bigr)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"215\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Qui troverai tutto sulla funzione coseno iperbolico: qual \u00e8 la sua formula, la sua rappresentazione grafica, le sue caratteristiche, le relazioni matematiche con le altre funzioni, ecc. 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