{"id":365,"date":"2023-07-04T13:53:47","date_gmt":"2023-07-04T13:53:47","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-seno-iperbolico\/"},"modified":"2023-07-04T13:53:47","modified_gmt":"2023-07-04T13:53:47","slug":"funzione-seno-iperbolico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-seno-iperbolico\/","title":{"rendered":"Funzione seno iperbolico"},"content":{"rendered":"<p>In questo articolo troverai tutto sul seno iperbolico: qual \u00e8 la sua formula, la sua rappresentazione grafica, tutte le sue caratteristiche, le relazioni con le altre funzioni,\u2026 <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Formula del seno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La funzione <strong>seno iperbolico<\/strong> \u00e8 una delle principali funzioni iperboliche ed \u00e8 rappresentata dal simbolo <strong>sinh(x)<\/strong> o <strong>sinh(x)<\/strong> . Il seno iperbolico \u00e8 uguale a e <sup>x<\/sup> meno e <sup>-x<\/sup> diviso per 2.<\/p>\n<p> La formula del seno iperbolico \u00e8 quindi la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-924551c3d4c8b1d68b0c9a7cf2115ca8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{senh}(x)=\\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, il seno iperbolico \u00e8 correlato alla funzione esponenziale.<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-esponenziale\/\"><span style=\"text-decoration: underline;\">caratteristiche della funzione esponenziale<\/span><\/a> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"representacion-grafica-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Rappresentazione grafica del seno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Utilizzando la formula che abbiamo visto nella sezione precedente, possiamo creare una tabella dei valori del seno iperbolico e rappresentare graficamente la funzione: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/sinus-hyperbolique.webp\" alt=\"seno iperbolico\" class=\"wp-image-346\" width=\"281\" height=\"349\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> In questo grafico, possiamo vedere che il seno iperbolico \u00e8 una funzione <strong>dispari<\/strong> , perch\u00e9 le x opposte hanno immagini opposte o, in altre parole, il grafico del seno iperbolico \u00e8 simmetrico rispetto all&#8217;origine delle coordinate (0, 0).<\/p>\n<p> Come puoi vedere, il grafico del seno iperbolico \u00e8 molto diverso da quello del seno, che \u00e8 una funzione periodica. Puoi vedere la rappresentazione grafica del seno e tutte le differenze con il seno iperbolico nel seguente link:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-seno\/\">Rappresentazione grafica della funzione seno<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Caratteristiche del seno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il seno iperbolico ha le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n<ul>\n<li> Il dominio della funzione seno iperbolico \u00e8 composto da tutti i numeri reali:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cd1539b66edeb38040ed80168e1fd9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f = \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Anche l&#8217;intervallo o l&#8217;intervallo della funzione seno iperbolico sono tutti numeri reali.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a954b5c192478c3b7b14428ac8d5cbc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Im } f= \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il seno iperbolico \u00e8 una funzione continua e dispari.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b37f1a110d810d8dbf0b5a52a1175c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{senh}(-x) =- \\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Intercetta l&#8217;asse X e l&#8217;asse Y nello stesso punto di intersezione, l&#8217;origine delle coordinate:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9cf2000c782cfe94be6df5f499cd3e24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(0,0)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il limite della funzione seno iperbolico quando x tende a pi\u00f9\/meno infinito \u00e8 uguale a pi\u00f9\/meno infinito:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14c1cd1cfcf12880c94a1a992fca6636_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\text{senh}(x)=+\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"162\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3bad505c476b08f8494c9d4a558ca46_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to-\\infty}\\text{senh}(x)=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"162\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il seno iperbolico \u00e8 strettamente crescente in tutto il dominio, quindi non ha n\u00e9 massimi n\u00e9 minimi.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Tuttavia, cambia la sua curvatura nel punto x = 0, quindi \u00e8 un punto di flesso della funzione. Per valori inferiori a x=0 \u00e8 una funzione concava, invece per valori maggiori di x=0 \u00e8 una funzione convessa.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> La derivata della funzione seno iperbolico \u00e8 il coseno iperbolico:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c47c54bd2abef41b1660f7779cd51cc1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{senh}(x) \\ \\longrightarrow \\ f'(x)=\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"286\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Allo stesso modo, l&#8217;integrale della funzione seno iperbolico \u00e8 il coseno iperbolico:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb5ef4d6ad0649cda51f73b558814b45_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\int \\text{senh}(x) \\ dx= \\text{cosh}(x) + C\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"221\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La serie di Taylor della funzione seno iperbolico equivale alla seguente espressione:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3db771459579b232c860bb1276f1d665_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{senh}(x)=x+\\cfrac{x^3}{3!}+\\cfrac{x^5}{5!}+\\cfrac{x^7}{7!}+\\dots=\\sum_{n=0}^\\infty\\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"382\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La trasformata di Laplace della funzione seno iperbolico \u00e8 la seguente: <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3e6b1c1d82a639269c25218155f4019_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathcal{L}\\bigl[\\text{senh}(at)\\bigr]=\\cfrac{a}{s^2-a^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"172\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"relaciones-matematicas-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Relazioni matematiche del seno iperbolico<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il seno iperbolico \u00e8 collegato alle altre funzioni iperboliche dalle seguenti equazioni:<\/p>\n<p> L&#8217;equazione fondamentale mette in relazione il seno iperbolico con il coseno iperbolico:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4317a445a90e4d139b47db7cf4a49a1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}^2(x)-\\text{senh}^2(x)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, le funzioni seno iperbolico e coseno sono correlate dall&#8217;equazione dell&#8217;iperbole, che \u00e8 x <sup>2<\/sup> -y <sup>2<\/sup> =1. A differenza delle funzioni trigonometriche seno e coseno che sono collegate dall&#8217;equazione del cerchio (x <sup>2<\/sup> +y <sup>2<\/sup> =1).<\/p>\n<p> Le funzioni iperboliche di seno, coseno e tangente possono essere correlate dalla seguente equazione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12f286528bc0635705aadbe510b6ceb7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Invece, il seno iperbolico dell&#8217;addizione o della sottrazione di due numeri diversi pu\u00f2 essere calcolato con le seguenti formule:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0b2492cbc95b27046485a6d7d9cd08c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{senh}(x+y)=\\text{senh}(x)\\text{cosh}(y)+\\text{senh}(y)\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"364\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a2205899042608a33bd61b158526026_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{senh}(x-y)=\\text{senh}(x)\\text{cosh}(y)-\\text{senh}(y)\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"364\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il seno iperbolico del doppio di un numero pu\u00f2 essere determinato applicando la seguente relazione matematica:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0d5c63a53de957eac1f69a4fb209f96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{senh}(2x)=2\\text{senh}(x)\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"215\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La somma o la sottrazione di due seni iperbolici pu\u00f2 essere trovata utilizzando le seguenti formule:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d3598ef49dbf33b925a73edc773a85d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{senh}(x)+\\text{senh}(y)=2\\text{senh}\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)\\text{cosh}\\left(\\frac{x-y}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"387\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00ee545f4866d13406bc3d5de7de528a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{senh}(x)-\\text{senh}(y)=2\\text{senh}\\left(\\frac{x-y}{2}\\right)\\text{cosh}\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"387\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Infine, il quadrato del seno iperbolico pu\u00f2 essere calcolato applicando la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e3e8284b95e317f876a4f8802ebf5fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{senh}^2(x)=\\cfrac{1}{2}\\Bigl(\\text{cosh}(2x)-1\\Bigr)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"216\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questo articolo troverai tutto sul seno iperbolico: qual \u00e8 la sua formula, la sua rappresentazione grafica, tutte le sue caratteristiche, le relazioni con le altre funzioni,\u2026 Formula del seno iperbolico La funzione seno iperbolico \u00e8 una delle principali funzioni iperboliche ed \u00e8 rappresentata dal simbolo sinh(x) o sinh(x) . 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