{"id":355,"date":"2023-07-06T00:37:26","date_gmt":"2023-07-06T00:37:26","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-matrice-proprieta-nilpotenti\/"},"modified":"2023-07-06T00:37:26","modified_gmt":"2023-07-06T00:37:26","slug":"esempi-di-matrice-proprieta-nilpotenti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-matrice-proprieta-nilpotenti\/","title":{"rendered":"Matrice nilpotente"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai una spiegazione di cosa sia una matrice nilpotente, oltre a diversi esempi affinch\u00e9 tu possa capirla e non avere dubbi. Inoltre, potrai vedere le strutture delle matrici nilpotenti e tutte le propriet\u00e0 di questi tipi di matrici.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cos&#8217;\u00e8 una matrice nilpotente?<\/h2>\n<p> La definizione di matrice nilpotente \u00e8 la seguente: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Una <strong>matrice nilpotente<\/strong> \u00e8 una matrice quadrata che elevata a numero intero d\u00e0 la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-nulla-zero\/\">matrice zero<\/a> .<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4028c70ed3edfc0f2a8f7458ecce6580_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N^k =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5793832f979c2268e3694c246d53b1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la matrice nilpotente e<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> l&#8217;esponente della potenza che d\u00e0 la matrice zero.<\/p>\n<\/div>\n<p> Questa condizione non significa che la potenza di una matrice nilpotente d\u00e0 sempre zero indipendentemente dall&#8217;esponente, ma piuttosto che se esiste almeno una potenza della matrice il cui risultato \u00e8 una matrice piena di 0, allora la matrice \u00e8 nilpotente.<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, l&#8217; <strong>indice di nilpotenza<\/strong> di una matrice nilpotente \u00e8 il numero pi\u00f9 piccolo con cui \u00e8 soddisfatta la condizione di nilpotenza. Possiamo anche dire che la matrice nilpotente \u00e8 di ordine <em>k<\/em> , dove <em>k<\/em> \u00e8 il suo indice di nilpotenza.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempi di matrici nilpotenti<\/h2>\n<p> Per finire di comprendere il concetto di matrice nilpotente, vedremo diversi esempi di questo tipo di matrice:<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrice nilpotente 2 \u00d7 2<\/h3>\n<p> La seguente matrice quadrata di dimensione 2\u00d72 \u00e8 nilpotente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-nilpotente-22152-1.webp\" alt=\"esempio di matrice nilpotente di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-3769\" width=\"133\" height=\"132\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> La matrice \u00e8 nilpotente perch\u00e9 elevando al quadrato la matrice A si ottiene come risultato la matrice nulla:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fde370dd31b0e2a533fdf1e9d23cf2c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^2=\\begin{pmatrix} 2 &amp;-4 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 \\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix} 2 &amp;-4 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} \\bm{0} &amp;\\bm{0} \\\\[1.1ex] \\bm{0} &amp; \\bm{0} \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"291\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> \u00c8 quindi una matrice nilpotente e il suo indice di nilpotenza \u00e8 2, poich\u00e9 la matrice zero \u00e8 ottenuta alla seconda potenza.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrice nilpotente 3\u00d73<\/h3>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<p> La seguente <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-quadrata\/\">matrice quadrata<\/a> di ordine 3 \u00e8 nilpotente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-nilpotente-32153-1.webp\" alt=\"esempio di matrice nilpotente di dimensione 3x3\" class=\"wp-image-3773\" width=\"201\" height=\"112\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Sebbene elevando la matrice a 2 non otteniamo la matrice zero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbad4ccc270e2960ae50cc23eacc7530_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B^2=\\begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] 3&amp;0&amp;3\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] 3&amp;0&amp;3\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}-6&amp;0&amp;-6\\\\[1.1ex]0&amp;0&amp;0\\\\[1.1ex] 6&amp;0&amp;6\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"458\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ma quando calcoliamo il cubo della matrice, otteniamo una matrice con tutti gli elementi uguali a 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da876a04b14d80c156e24c95bd22372e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B^3= \\begin{pmatrix}-6&amp;0&amp;-6\\\\[1.1ex]0&amp;0&amp;0\\\\[1.1ex] 6&amp;0&amp;6\\end{pmatrix}\\cdot\\begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] 3&amp;0&amp;3\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}\\bm{0}&amp;\\bm{0}&amp;\\bm{0}\\\\[1.1ex]\\bm{0}&amp;\\bm{0}&amp;\\bm{0}\\\\[1.1ex] \\bm{0}&amp;\\bm{0}&amp;\\bm{0}\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"416\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi la matrice B \u00e8 una matrice nilpotente, e poich\u00e9 la matrice zero \u00e8 ottenuta con la potenza di 3, il suo indice di nilpotenza \u00e8 3.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Struttura di una matrice 2 \u00d7 2 nilpotente<\/h2>\n<p> Di seguito puoi vedere la struttura di tutte le matrici nilpotenti. La sua dimostrazione \u00e8 un po&#8217; noiosa, quindi vi lasciamo direttamente la <strong>formula per ottenere una matrice nilpotente di ordine 2:<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-la-matrice-nilpotente-1.webp\" alt=\"struttura e formula di una matrice 2x2 nilpotente\" class=\"wp-image-3789\" width=\"412\" height=\"161\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Quindi qualsiasi matrice che soddisfa la formula di cui sopra sar\u00e0 una matrice nilpotente. Per questo, i valori<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> possono essere arbitrari purch\u00e9 siano numeri reali.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriet\u00e0 delle matrici nilpotenti<\/h2>\n<p> Le matrici nilpotenti hanno le seguenti caratteristiche:<\/p>\n<ul>\n<li> La traccia di una matrice nilpotente \u00e8 sempre zero.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Allo stesso modo, il determinante di qualsiasi matrice nilpotente \u00e8 sempre 0. Tuttavia, non \u00e8 vero il contrario, ovvero il determinante di una matrice \u00e8 zero non implica che la matrice sia nilpotente.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> L&#8217;unica matrice nilpotente che pu\u00f2 essere diagonalizzata \u00e8 la matrice zero.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> L&#8217;indice di nilpotenza di una matrice nilpotente di dimensione <em>n\u00d7n<\/em> \u00e8 sempre uguale o inferiore a <em>n<\/em> . Questo \u00e8 il motivo per cui l&#8217;indice di nilpotenza di una matrice nilpotente 2 \u00d7 2 sar\u00e0 sempre 2.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Una matrice nilpotente non \u00e8 invertibile.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Anche qualsiasi <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-triangolare-superiore-inferiore\/\">matrice triangolare<\/a> con zeri sulla diagonale principale \u00e8 una matrice nilpotente. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> C&#8217;\u00e8 un teorema che dice che se la matrice\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5793832f979c2268e3694c246d53b1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 nilpotente, quindi la matrice<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63ce5395b5ca090528c69a062886ee6f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N+I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 invertibile, dove<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18b5e45cb4a1ee02e81b9a980f828db8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la matrice identit\u00e0. Inoltre, la sua matrice inversa pu\u00f2 essere trovata con la seguente formula:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b1cf043663e9cbfac772bf812359a18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle(N+I)^{-1} = \\sum_{m = 0}^\\infty (-N)^m=I-N+N^2-N^3+\\cdots\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"391\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Allo stesso modo, se\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5793832f979c2268e3694c246d53b1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 una matrice nilpotente, \u00e8 possibile calcolare l&#8217;inverso della matrice<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af0178ac2726008cea43b8cb2390e1a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N-I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> con la seguente equazione:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a87795d57f3ee25346a24219f59b813c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle(N-I)^{-1} = \\sum_{m = 0}^\\infty (N)^m=I+N+N^2+N^3+\\cdots\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"378\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Qualsiasi matrice singolare, cio\u00e8 non invertibile, pu\u00f2 essere scomposta nel prodotto di matrici nilpotenti.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Tutti gli autovalori (o autovalori) di una matrice nilpotente sono zero.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44fc8cf9845415c9f1e7a86c1b01f085_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lambda=0 \\qquad \\forall \\ \\lambda\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"104\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Infine, come curiosit\u00e0, esiste anche il concetto di trasformazione nilpotente, che definisce un&#8217;applicazione lineare\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66a9f474fc3c52efdfb0ba6a70199ee8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"L\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> di uno spazio vettoriale tale che<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71cac750ba2e7b5a3b7c1184f6115e4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"L^k=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai una spiegazione di cosa sia una matrice nilpotente, oltre a diversi esempi affinch\u00e9 tu possa capirla e non avere dubbi. 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