{"id":352,"date":"2023-07-06T01:13:03","date_gmt":"2023-07-06T01:13:03","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/proprieta-degli-esempi-di-matrice-idempotente\/"},"modified":"2023-07-06T01:13:03","modified_gmt":"2023-07-06T01:13:03","slug":"proprieta-degli-esempi-di-matrice-idempotente","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/proprieta-degli-esempi-di-matrice-idempotente\/","title":{"rendered":"Matrice idempotente"},"content":{"rendered":"

In questa pagina spieghiamo cosa sono le matrici idempotenti. Ti mostriamo anche diversi esempi di questo tipo di matrici in modo che tu possa comprenderlo completamente. Inoltre troverai la formula per trovare una matrice idempotente e, infine, tutte le propriet\u00e0 delle matrici idempotenti.<\/p>\n

Cos’\u00e8 una matrice idempotente?<\/h2>\n

La definizione di matrice idempotente \u00e8 la seguente: <\/p>\n

\n

Una matrice idempotente<\/strong> \u00e8 quella matrice che, moltiplicata per se stessa, d\u00e0 come risultato la stessa matrice.<\/p>\n<\/p>\n

\"A\\cdot<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Pertanto, qualsiasi potenza di una matrice idempotente<\/strong> \u00e8 uguale alla matrice stessa, indipendentemente dall’esponente: <\/p>\n

\n
\"potenza<\/figure>\n<\/div>\n

In effetti, questo \u00e8 il motivo per cui questo tipo di tavola ha preso il nome. Perch\u00e9 in matematica l’idempotenza \u00e8 un’operazione grazie alla quale otteniamo sempre lo stesso risultato indipendentemente dal numero di volte in cui viene eseguita.<\/p>\n

Esempi di matrici idempotenti<\/h2>\n

Una volta conosciuto il concetto di matrice idempotente, vedremo alcuni esempi di diverse dimensioni per completare la sua comprensione.<\/p>\n

Esempio di matrice idempotente 2\u00d72<\/h3>\n

La seguente matrice quadrata di dimensione 2\u00d72 \u00e8 idempotente: <\/p>\n

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\"esempio<\/figure>\n<\/div>\n

Per verificare che si tratta di una matrice idempotente, calcoliamo il suo quadrato:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Il risultato \u00e8 identico, dimostriamo quindi che si tratta di una matrice idempotente.<\/p>\n

Esempio di matrice idempotente 3\u00d73<\/h3>\n

La seguente matrice quadrata di dimensione 3\u00d73 \u00e8 idempotente: <\/p>\n

\n
\"esempio<\/figure>\n<\/div>\n

Per verificare che corrisponda una matrice idempotente, eleviamo la matrice a 2:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Il risultato \u00e8 lo stesso della matrice originale, quindi l’idempotenza della matrice \u00e8 dimostrata.<\/p>\n

<\/div>\n

Struttura di una matrice idempotente 2\u00d72<\/h2>\n

Qui vi mostriamo la formula per ottenere una matrice idempotente. Nel caso fossi pi\u00f9 interessato, puoi vedere la dimostrazione della formula qui sotto nei commenti, ma \u00e8 un po’ noiosa quindi qui ti lasciamo direttamente con la formula per le matrici idempotenti<\/strong> : <\/p>\n

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\"Formula<\/figure>\n<\/div>\n

In modo tale che gli elementi della diagonale secondaria di una matrice idempotente possono essere arbitrari purch\u00e9 la condizione sia soddisfatta<\/p>\n<\/p>\n

\"a^2+bc=a\"<\/p>\n

e i numeri sulla diagonale principale devono essere<\/p>\n

\"a\"<\/p>\n

E<\/p>\n

\"1-a.\"<\/p>\n<\/p>\n

Oltre a tutte le matrici descritte da questa formula, dobbiamo aggiungere la matrice Identit\u00e0, anch’essa una matrice idempotente sebbene non rispetti la formula. Se non sai cos’\u00e8 l’array, puoi chiedere cos’\u00e8 l’array Identity<\/a> .<\/p>\n

Propriet\u00e0 delle matrici idempotenti<\/h2>\n

Le matrici idempotenti hanno le seguenti caratteristiche:<\/p>\n