{"id":348,"date":"2023-07-06T02:05:07","date_gmt":"2023-07-06T02:05:07","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-e-proprieta-di-matrici-antisimmetriche\/"},"modified":"2023-07-06T02:05:07","modified_gmt":"2023-07-06T02:05:07","slug":"esempi-e-proprieta-di-matrici-antisimmetriche","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-e-proprieta-di-matrici-antisimmetriche\/","title":{"rendered":"Matrice antisimmetrica"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cosa sono le matrici antisimmetriche. Inoltre, potrai vedere diversi esempi e la sua struttura tipica per capirlo perfettamente. Spieghiamo anche la particolarit\u00e0 del calcolo del determinante di una matrice antisimmetrica e tutte le propriet\u00e0 di questo tipo di matrice. E infine, scoprirai come scomporre qualsiasi matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica pi\u00f9 un&#8217;altra matrice antisimmetrica. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/que-sont-les-matrices-antisymetriques-.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-3594\" width=\"201\" height=\"201\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cos&#8217;\u00e8 una matrice antisimmetrica?<\/h2>\n<p> La definizione di matrice antisimmetrica \u00e8 la seguente: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Una <strong>matrice antisimmetrica<\/strong> \u00e8 una matrice quadrata la cui trasposta \u00e8 uguale al negativo della matrice.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7af2e0eb5d0007196810dfded8574ec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t = -A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"70\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afd3cedfe0f405ed9f2d585b5ac1d8cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> rappresenta la matrice trasposta di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d09b2a922b3d10a159833112b4f3487_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la matrice<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> con tutti i suoi elementi cambi\u00f2 segno.<\/p>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempi di matrici antisimmetriche<\/h2>\n<p> Una volta conosciuto il concetto di matrice antisimmetrica, vedremo diversi esempi di matrici antisimmetriche per comprenderlo meglio:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Esempio di matrice antisimmetrica di ordine 2 \u00d7 2<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemples-de-matrices-antisymetriques-22152-1.webp\" alt=\"esempio di matrice antisimmetrica di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-3596\" width=\"136\" height=\"76\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-antisymetrique-22152-1.webp\" alt=\"esercizio risolto di matrice antisimmetrica di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-3597\" width=\"144\" height=\"73\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Esempio di matrice antisimmetrica di dimensione 3\u00d73<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-antisymetrique-32153-1.webp\" alt=\"esempio di matrice antisimmetrica di dimensione 3x3\" class=\"wp-image-3600\" width=\"195\" height=\"113\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-antisymetrique-32153-1.webp\" alt=\"esercizio risolto di matrice antisimmetrica di dimensione 3x3\" class=\"wp-image-3599\" width=\"201\" height=\"111\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Esempio di matrice antisimmetrica di dimensione 4\u00d74<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-antisymetrique-42154-1.webp\" alt=\"esempio di matrice antisimmetrica di dimensione 4x4\" class=\"wp-image-3601\" width=\"249\" height=\"146\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-antisymetrique-42154-1.webp\" alt=\"esercizio risolto di matrice antisimmetrica di dimensione 4x4\" class=\"wp-image-3602\" width=\"253\" height=\"144\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Trasponendo queste tre matrici verifichiamo che sono antisimmetriche, perch\u00e9 le matrici trasposte sono equivalenti alle rispettive matrici originali cambiate segno.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Struttura di una matrice antisimmetrica<\/h2>\n<p> Affinch\u00e9 la condizione di matrice antisimmetrica sia soddisfatta, devono avere sempre lo stesso tipo di struttura: i numeri sulla diagonale principale sono tutti uguali a zero e l&#8217;elemento della riga <em>i<\/em> e della colonna <em>j<\/em> \u00e8 il negativo dell&#8217;elemento della riga <em>j<\/em> e della colonna <em>io<\/em> . In altre parole, la forma delle matrici antisimmetriche \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21250d80d061affcf74ef1338b4d1314_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} 0 &amp; a &amp; b &amp; \\cdots &amp; c\\\\[1.1ex]-a &amp; 0 &amp; d &amp; \\cdots &amp;e\\\\[1.1ex]-b &amp; -d &amp; 0 &amp; \\cdots &amp; f\\\\[1.1ex]\\vdots &amp; \\vdots &amp; \\vdots &amp; \\ddots &amp; \\vdots\\\\[1.1ex] -c &amp; -e &amp; -f &amp; \\cdots &amp; 0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"149\" width=\"191\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, la diagonale principale di una matrice antisimmetrica funge da asse di antisimmetria. Da qui deriva il nome di questa particolare matrice.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Determinante di una matrice antisimmetrica<\/h2>\n<p> Il determinante di una matrice antisimmetrica dipende dalla dimensione di detta matrice. Ci\u00f2 \u00e8 dovuto alle propriet\u00e0 dei determinanti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba35ef7bdf1aed516219ba1d9bbf9244_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\text{det}(A)=\\text{det}(A^t)=\\text{det}(-A)=(-1)^n \\text{det}(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"342\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, <strong>se la matrice antisimmetrica \u00e8 di ordine dispari, il suo determinante sar\u00e0 pari a 0<\/strong> . Se invece la matrice antisimmetrica \u00e8 di dimensione pari, il determinante pu\u00f2 assumere qualsiasi valore.<\/p>\n<p> Pertanto, una matrice antisimmetrica di dimensione dispari \u00e8 una matrice singolare o degenere. D&#8217;altra parte, una matrice antisimmetrica di ordine pari \u00e8 una matrice regolare.<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriet\u00e0 delle matrici antisimmetriche<\/h2>\n<p> Le caratteristiche delle matrici antisimmetriche sono le seguenti:<\/p>\n<ul>\n<li> Aggiungendo (o sottraendo) due matrici antisimmetriche si ottiene un&#8217;altra matrice antisimmetrica. Poich\u00e9 trasporre due matrici aggiunte (o sottratte) equivale a trasporre ciascuna matrice separatamente:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7bd08c2680bc7fe6806bd8b6f93c2952_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(A+B\\right)^t = A^t+B^t = -A-B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Qualsiasi matrice antisimmetrica moltiplicata per uno scalare d\u00e0 origine anche a un&#8217;altra matrice antisimmetrica.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> La potenza di una matrice antisimmetrica \u00e8 equivalente a una matrice antisimmetrica o a una matrice simmetrica. Se l&#8217;esponente \u00e8 un numero pari, il risultato della potenza \u00e8 una matrice simmetrica, ma se l&#8217;esponente \u00e8 un numero dispari, il risultato della potenza \u00e8 una matrice antisimmetrica. Puoi consultare in questo link <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-e-proprieta-di-matrici-simmetriche\/\">cos&#8217;\u00e8 una matrice simmetrica<\/a> .<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> La traccia di una matrice antisimmetrica \u00e8 sempre uguale a zero.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> La somma di una qualsiasi matrice antisimmetrica pi\u00f9 la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\">matrice unitaria<\/a> d\u00e0 origine a una matrice invertibile.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d364455bbe71272e507da222e9f1cee9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{det}(A+I)\\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Tutti gli autovalori reali (o autovalori) di una matrice antisimmetrica sono 0. Tuttavia, una matrice antisimmetrica pu\u00f2 anche avere autovalori complessi.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Tutte le matrici antisimmetriche sono matrici normali. Pertanto sono soggetti al teorema spettrale, secondo il quale una matrice antisimmetrica pu\u00f2 essere diagonalizzata da una matrice unitaria. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Scomposizione di una matrice quadrata in una matrice simmetrica e una matrice antisimmetrica<\/h2>\n<p> Una caratteristica speciale delle matrici quadrate \u00e8 che possono essere scomposte nella somma di una matrice simmetrica pi\u00f9 una matrice antisimmetrica.<\/p>\n<p> La formula che ci permette di farlo \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3b9aa2b7ed0e9ce31587d4f00f1144e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c} C = S + A \\\\[2ex] S = \\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t) \\qquad A = \\cfrac{1}{2} \\cdot (C-C^t)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"293\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dove C \u00e8 la matrice quadrata che vogliamo scomporre, C la <sup>sua<\/sup> trasposta, ed infine S e A sono rispettivamente le matrici simmetrica e antisimmetrica in cui viene scomposta la matrice C.<\/p>\n<p> Di seguito hai un esercizio risolto per dimostrare la formula. Scomponiamo la seguente matrice:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5534c773c54b15eab3d0ab4a5823ce6c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=\\begin{pmatrix} 1&amp; 5 \\\\[1.1ex] -3 &amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Calcoliamo la matrice simmetrica e antisimmetrica con le formule:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f44ecbf11344f1de645aed313f801fa0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle S=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t)= \\begin{pmatrix} 1&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"210\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bc3c78415b6596b99186207efde54e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C-C^t)= \\begin{pmatrix} 0&amp; 4 \\\\[1.1ex] -4 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"225\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E possiamo verificare che l&#8217;equazione sia soddisfatta sommando le due matrici: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2a938eebbcc10adb3c3392634a62fbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A \\quad ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2725b1e3a2de74b4446145ef32b61d1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{pmatrix} 1&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;2\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix} 0&amp; 4 \\\\[1.1ex] -4 &amp;0\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 1&amp; 5 \\\\[1.1ex] -3 &amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"251\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d009f71f52fd49559eefc457d18a8be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> \u2705<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cosa sono le matrici antisimmetriche. 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