{"id":346,"date":"2023-07-06T02:49:35","date_gmt":"2023-07-06T02:49:35","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-e-proprieta-di-matrici-simmetriche\/"},"modified":"2023-07-06T02:49:35","modified_gmt":"2023-07-06T02:49:35","slug":"esempi-e-proprieta-di-matrici-simmetriche","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-e-proprieta-di-matrici-simmetriche\/","title":{"rendered":"Matrice simmetrica"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai la spiegazione di cosa sono le matrici simmetriche. Inoltre, ti mostriamo come identificare rapidamente quando una matrice \u00e8 simmetrica, insieme a diversi esempi per non avere dubbi. Troverai anche tutte le propriet\u00e0 delle matrici simmetriche. E infine, spieghiamo una caratteristica particolare che possiede qualsiasi matrice quadrata: pu\u00f2 essere scomposta nella somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cos&#8217;\u00e8 una matrice simmetrica?<\/h2>\n<p> La definizione di matrice simmetrica \u00e8 la seguente: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Una <strong>matrice simmetrica<\/strong> \u00e8 una matrice quadrata la cui trasposta \u00e8 uguale alla matrice stessa.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d91251629a6f0241682eed5c4d82847_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t = A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afd3cedfe0f405ed9f2d585b5ac1d8cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> rappresenta la matrice trasposta di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<\/div>\n<p> Una volta conosciuto il concetto di matrice simmetrica, vedremo come qualsiasi matrice simmetrica possa essere facilmente identificata:<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Quando una matrice \u00e8 simmetrica?<\/h2>\n<p> Riconoscere la struttura di una matrice simmetrica \u00e8 molto semplice: l&#8217;elemento di riga <em>i<\/em> e colonna <em>j<\/em> deve essere identico all&#8217;elemento di riga <em>j<\/em> e colonna <em>i<\/em> . E i valori della diagonale principale della matrice possono essere qualsiasi.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempi di matrici simmetriche<\/h2>\n<p> Ecco alcuni esempi di matrici simmetriche per aiutarti a capire:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Esempio di matrice simmetrica di ordine 2 \u00d7 2<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-symetrique-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"esempio di matrice simmetrica di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-3524\" width=\"77\" height=\"71\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Esempio di matrice simmetrica di dimensione 3\u00d73<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-tridimensionnelle-symetrique3-1.webp\" alt=\"esempio di matrice simmetrica di dimensione 3x3\" class=\"wp-image-3525\" width=\"112\" height=\"118\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Esempio di matrice simmetrica di dimensione 4\u00d74<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-symetrique-de-dimension-42154-1.webp\" alt=\"esempio di matrice simmetrica di dimensione 4x4\" class=\"wp-image-3526\" width=\"206\" height=\"138\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Trasponendo queste tre matrici verifichiamo che sono simmetriche, perch\u00e9 le matrici trasposte sono equivalenti alle rispettive matrici originali.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Perch\u00e9 si chiama matrice simmetrica?<\/h2>\n<p> Se osservi attentamente gli esempi precedenti, la diagonale principale di una matrice simmetrica \u00e8 un asse di simmetria, o in altre parole, funge da specchio tra i numeri sopra la diagonale e quelli sotto. Per questo motivo questi tipi di matrici sono dette simmetriche.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriet\u00e0 delle matrici simmetriche<\/h2>\n<p> Le caratteristiche delle matrici simmetriche sono le seguenti:<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<ul>\n<li> L&#8217;aggiunta (o la sottrazione) di due matrici simmetriche fornisce un&#8217;altra matrice simmetrica. Poich\u00e9 trasporre due matrici aggiunte (o sottratte) equivale a trasporre ciascuna matrice separatamente:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9942bb6c2d0b3b406e42f6b1365e7151_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(A+B\\right)^t = A^t+B^t = A+B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Qualsiasi matrice simmetrica moltiplicata per uno scalare d\u00e0 origine anche a un&#8217;altra matrice simmetrica.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Allo stesso modo, il prodotto matriciale tra due matrici simmetriche non \u00e8 sempre uguale a un&#8217;altra matrice simmetrica, solo se e solo se le due matrici possono essere commutate. Questa condizione pu\u00f2 essere dimostrata con la propriet\u00e0 di moltiplicazione di matrici trasposte:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03f81c2643b3093a4db891724660c3b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(A\\cdot B\\right)^t = B^t\\cdot A^t = BA=AB\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La potenza di una matrice simmetrica d\u00e0 origine a un&#8217;altra matrice simmetrica, purch\u00e9 l&#8217;esponente sia un numero intero.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ovviamente la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\">matrice unitaria<\/a> e la matrice zero sono esempi di matrici simmetriche.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Una matrice congruente a una matrice simmetrica deve essere anche simmetrica.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Se una matrice simmetrica \u00e8 regolare o invertibile, anche la sua matrice inversa \u00e8 simmetrica.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Lo stesso vale per l&#8217;aggiunta di una matrice simmetrica: la matrice aggiunta di una matrice simmetrica fornisce come soluzione un&#8217;altra matrice simmetrica.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Una vera matrice simmetrica \u00e8 anche una matrice normale.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Poich\u00e9 le matrici simmetriche sono un caso speciale di matrici hermitiane, tutti gli autovalori (o autovalori) di una matrice simmetrica sono numeri reali.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Il teorema spettrale ci dice che tutte le matrici i cui elementi sono reali sono matrici diagonalizzabili e, inoltre, la diagonalizzazione viene effettuata mediante una matrice ortogonale. Pertanto, tutte le matrici reali simmetriche sono diagonalizzate ortogonalmente.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> D&#8217;altra parte, le matrici simmetriche con numeri complessi possono essere diagonalizzate tramite una matrice unitaria.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> La matrice dell&#8217;Assia \u00e8 sempre simmetrica. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Scomposizione di una matrice quadrata in una matrice simmetrica e una matrice antisimmetrica<\/h2>\n<p> Una caratteristica speciale delle matrici quadrate \u00e8 che possono essere scomposte nella somma di una matrice simmetrica pi\u00f9 una matrice antisimmetrica.<\/p>\n<p> La formula che ci permette di farlo \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3b9aa2b7ed0e9ce31587d4f00f1144e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c} C = S + A \\\\[2ex] S = \\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t) \\qquad A = \\cfrac{1}{2} \\cdot (C-C^t)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"293\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dove C \u00e8 la matrice quadrata che vogliamo scomporre, C la <sup>sua<\/sup> trasposta, ed infine S e A sono rispettivamente le matrici simmetrica e antisimmetrica in cui viene scomposta la matrice C.<\/p>\n<p> Di seguito hai un esercizio risolto per vedere come \u00e8 fatto. Scomponiamo la seguente matrice:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-852a7267895a7f332ad3f28f8a8dda0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=\\begin{pmatrix} 2&amp; -1 \\\\[1.1ex] 3 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Calcoliamo la matrice simmetrica e antisimmetrica con le formule:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-994670ecc17b3bc8757482f1656e543e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle S=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t)= \\begin{pmatrix} 2&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"210\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d87e1d30d2bc657c20535f45c0fb7be6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C-C^t)= \\begin{pmatrix} 0&amp; -2 \\\\[1.1ex] 2 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"225\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E possiamo verificare che l&#8217;equazione sia soddisfatta sommando le due matrici: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2a938eebbcc10adb3c3392634a62fbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A \\quad ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cfdbffec6801c13041cd2996da13e96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{pmatrix} 2&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;0\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix} 0&amp; -2 \\\\[1.1ex] 2 &amp;0\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 2&amp; -1 \\\\[1.1ex] 3 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"251\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d009f71f52fd49559eefc457d18a8be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> \u2705<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai la spiegazione di cosa sono le matrici simmetriche. 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