{"id":345,"date":"2023-07-06T03:16:38","date_gmt":"2023-07-06T03:16:38","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-e-proprieta-di-matrici-simili-o-simili\/"},"modified":"2023-07-06T03:16:38","modified_gmt":"2023-07-06T03:16:38","slug":"esempi-e-proprieta-di-matrici-simili-o-simili","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-e-proprieta-di-matrici-simili-o-simili\/","title":{"rendered":"Matrici simili o simili"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai la spiegazione delle matrici simili, chiamate anche matrici simili. Inoltre, ti mostriamo un chiaro esempio di due matrici simili e tutte le propriet\u00e0 di questo tipo di matrici affinch\u00e9 tu non abbia dubbi. Infine, sarai anche in grado di vedere come si relazionano alle matrici congruenti.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cosa sono le matrici simili (o simili)?<\/h2>\n<p> La definizione di matrici simili \u00e8 la seguente: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> due matrici<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sono <strong>simili (o simili)<\/strong> se esiste una matrice<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> con cui \u00e8 soddisfatta la seguente condizione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a9d8fcb81e8bfa5645d23ba85832892_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P^{-1}AP = B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> O equivalente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1aab9713a82d78b188aaf0e426aca74f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"AP = PB\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"79\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> In effetti, la matrice<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> funge da matrice di cambiamento di base. Pertanto, ci\u00f2 che significa questa equazione \u00e8 che la matrice<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> pu\u00f2 essere espresso in un&#8217;altra base (<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ), che d\u00e0 origine alla matrice<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<p> Questo termine pu\u00f2 anche essere chiamato <em>trasformazione di somiglianza<\/em> , poich\u00e9 stiamo effettivamente trasformando la matrice<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> nella matrice<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<p> Ovviamente la matrice<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> deve essere una matrice regolare o non degenere (determinante diverso da zero).<\/p>\n<p> Possiamo invece indicare che due matrici sono simili alla seguente espressione: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/explication-des-matrices-similaires-ou-similaires.webp\" alt=\"spiegazione di matrici simili o simili\" class=\"wp-image-3488\" width=\"71\" height=\"71\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Questa classe di matrici \u00e8 pi\u00f9 importante di quanto sembri per l&#8217;algebra lineare. Vengono utilizzati principalmente per matrici diagonalizzabili, perch\u00e9 la procedura per diagonalizzare qualsiasi matrice si basa sul concetto di similarit\u00e0 di matrice.<\/p>\n<p> Infatti, il processo di diagonalizzazione di una matrice comporta il calcolo di una matrice simile che, allo stesso tempo, \u00e8 una matrice diagonale. Puoi vedere come si fa in <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/come-diagonalizzare-una-matrice-diagonalizzabile-diagonalizzazione-di-matrici-2x2-3x3-4x4-esercizi-risolti-passo-dopo-passo\/\">come diagonalizzare una matrice<\/a> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrici simili o simili<\/h2>\n<p> Poi vedremo un esempio di matrici simili di dimensione 2\u00d72 per finire di assimilare il concetto.<\/p>\n<ul>\n<li> Le matrici quadrate A e B sono simili tra loro attraverso la matrice invertibile P:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4978e1117b69063b63256a0663eaf207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A= \\begin{pmatrix}-1&amp;2\\\\[1.1ex] 3&amp;1\\end{pmatrix} \\qquad B= \\begin{pmatrix}-5&amp;-3\\\\[1.1ex] 6&amp;5\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"275\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6344f1d5a14dd381ab105bcb52827455_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P= \\begin{pmatrix}2&amp;1\\\\[1.1ex] -1&amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per dimostrare che si tratta di matrici tra loro simili, dobbiamo prima calcolare la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-inversa\/\">matrice inversa<\/a> di P:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c49a4a995246e782635e2e2b43302798_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P^{-1}= \\begin{pmatrix}0&amp;-1\\\\[1.1ex] 1&amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"128\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E ora controlliamo che siano simili eseguendo il prodotto di matrici che definisce la somiglianza di due matrici: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08a687bbdc46a46639909c263d9a9864_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P^{-1}AP = B \\quad ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"123\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrices-similaires-ou-similaires-22152-1.webp\" alt=\"esempi di matrici 2x2 simili o simili\" class=\"wp-image-3472\" width=\"529\" height=\"73\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa1f8005d6559c27a4c9871fbd071d34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P^{-1}AP = B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u2705<\/p>\n<p> S\u00ec, la relazione di similarit\u00e0 \u00e8 soddisfatta, quindi sono matrici simili.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriet\u00e0 simili della matrice<\/h2>\n<p> Due matrici simili A e B condividono le seguenti caratteristiche:<\/p>\n<ul>\n<li> Stesso grado.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36c08d3b697e5c80c43bc8eca0eb994e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A)=rg(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Le determinanti delle due matrici sono le stesse.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96449de60b8a83016035f562f99e2ca3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"det(A)=det(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Stessa tracciatura.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39c97e89fcd3198999489af3ede0f8ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"tr(A)=tr(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Stessi <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/calcolare-autovalori-autovalori-e-autovettori-autovettori-di-una-matrice\/\">autovalori<\/a> (o autovalori). Tuttavia, gli autovettori (o autovettori) sono generalmente diversi.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Stesso polinomio caratteristico e polinomio minimo.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-matrice-trasposta-o-trasposta-ed-esercizi-risolti\/\">La trasposizione di una matrice<\/a> \u00e8 simile alla matrice originale.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> La matrice B pu\u00f2 essere trovata applicando operazioni elementari sulle righe della matrice A, e viceversa.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ovviamente la somiglianza si riflette. Cio\u00e8, se A \u00e8 simile a B, allora anche B \u00e8 simile ad A.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Inoltre, anche la somiglianza delle matrici \u00e8 simmetrica. In altre parole, se con la matrice P si pu\u00f2 ottenere la matrice simile ad A (B), con la stessa matrice P si pu\u00f2 ottenere anche la matrice simile a B (A):<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b42b2b64f904396c1ab3a7c395ec1948_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B=P^{-1}AP\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-163fd36257f7436438080e7f9fa92dfc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=PBP^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"96\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Inoltre la somiglianza \u00e8 transitiva. Quindi se la matrice A \u00e8 simile alla matrice B e la matrice B \u00e8 simile alla matrice C, anche la matrice A \u00e8 simile alla matrice C.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9f845ee4a4c9e72220ecb4033ea9640_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{l}A\\sim B \\\\[2ex] B \\sim C \\end{array}\\right\\} \\longrightarrow A \\sim C\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"165\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Infine, ogni matrice \u00e8 simile ad una matrice a dente di sega. E da questa propriet\u00e0 si pu\u00f2 dedurre il seguente corollario: ogni matrice quadrata \u00e8 simile ad una matrice triangolare.<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> matrici congruenti<\/h2>\n<p> D&#8217;altra parte, esiste anche un&#8217;altra relazione molto simile tra le matrici ma invece di essere con la matrice inversa, \u00e8 con la matrice trasposta. Questa si chiama <strong>congruenza<\/strong> .<\/p>\n<p> Due matrici A e B sono <strong>congruenti<\/strong> se esiste una matrice invertibile P con la quale \u00e8 soddisfatta la seguente uguaglianza:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d41e2b46ad81b140c9f4908d5f3df744_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P^tAP = B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"84\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come puoi vedere, questo \u00e8 l&#8217;analogo di matrici simili ma con la matrice trasposta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai la spiegazione delle matrici simili, chiamate anche matrici simili. Inoltre, ti mostriamo un chiaro esempio di due matrici simili e tutte le propriet\u00e0 di questo tipo di matrici affinch\u00e9 tu non abbia dubbi. 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