{"id":338,"date":"2023-07-06T04:44:28","date_gmt":"2023-07-06T04:44:28","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-singolare-o-degenere\/"},"modified":"2023-07-06T04:44:28","modified_gmt":"2023-07-06T04:44:28","slug":"matrice-singolare-o-degenere","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-singolare-o-degenere\/","title":{"rendered":"Matrice singolare o degenere"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina vedrai cosa significa per una matrice essere singolare o degenere. Inoltre, ti mostriamo diversi esempi per non farti avere dubbi e, infine, ti spieghiamo tutte le propriet\u00e0 di questo tipo di matrice.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cos&#8217;\u00e8 una matrice singolare o degenere?<\/h2>\n<p> La definizione di matrice singolare, detta anche matrice degenere, \u00e8 la seguente:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#dff6ff\"> Una <strong>matrice singolare o degenere<\/strong> \u00e8 una matrice quadrata che non pu\u00f2 essere invertita e quindi il suo determinante \u00e8 uguale a 0.<\/p>\n<p> Quindi, per sapere <strong>quando una matrice \u00e8 singolare,<\/strong> \u00e8 sufficiente calcolarne il determinante: se il risultato \u00e8 0, la matrice \u00e8 singolare, se invece il determinante \u00e8 diverso da 0, la matrice non \u00e8 singolare .<\/p>\n<p> Se vuoi saperne di pi\u00f9 sulla matrice inversa, puoi consultare questa pagina dove viene spiegato in dettaglio <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-inversa\/\">come invertire una matrice utilizzando il metodo di Gauss<\/a> , troverai anche diversi esempi ed esercizi risolti passo passo per esercitarti.<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, le matrici singolari sono anche chiamate matrici non regolari, perch\u00e9 hanno il significato esattamente opposto di <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/quando-e-una-matrice-regolare-o-invertibile-esempi-e-proprieta\/\">matrice regolare<\/a> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempi di matrici singolari<\/h2>\n<p> Una volta vista la spiegazione della matrice singolare o degenere, vediamo alcuni esempi di matrici singolari a pi\u00f9 dimensioni:<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrice singolare 2\u00d72 <\/h3>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-singuliere-ou-degeneree-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"esempio di matrice singolare o degenere di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-3393\" width=\"68\" height=\"68\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Possiamo facilmente verificare che si tratta di una matrice singolare calcolandone il determinante:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e8466c3a7108986306c5e06a6b49049_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{vmatrix} 2&amp;1 \\\\[1.1ex] 4 &amp; 2\\end{vmatrix}\\bm{=0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"74\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il determinante della matrice di ordine 2 \u00e8 uguale a 0, quindi \u00e8 una matrice singolare.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrice singolare 3\u00d73 <\/h3>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-singuliere-ou-degeneree-de-dimension-32153-1.webp\" alt=\"esempio di matrice singolare o degenere di dimensione 3x3\" class=\"wp-image-3397\" width=\"98\" height=\"102\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Dobbiamo risolvere il determinante della matrice per verificare che si tratti di una matrice non invertibile:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1aebdc318be6773a6d4d78e9fcedaf5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{vmatrix} 1&amp;3&amp;0\\\\[1.1ex] 4&amp;7&amp;2\\\\[1.1ex] 3&amp;4&amp;2\\end{vmatrix}\\bm{=0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"99\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il determinante della matrice di ordine 3 d\u00e0 0, \u00e8 quindi una matrice singolare.<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrice singolare 4 \u00d7 4 <\/h3>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-singuliere-ou-degeneree-de-dimension-42154-1.webp\" alt=\"esempio di matrice singolare o degenere di dimensione 4x4\" class=\"wp-image-3400\" width=\"195\" height=\"132\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Facendo il determinante della matrice mostriamo che si tratta di una matrice singolare:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ad6c7444321a65bb993c2abc87f93a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;4&amp;-1\\\\[1.1ex] 3&amp;-2&amp;1&amp;0\\\\[1.1ex] 5&amp;1&amp;-3&amp;2\\\\[1.1ex] -1&amp;3&amp;3&amp;-1\\end{vmatrix}\\bm{=0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"180\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il determinante della matrice di ordine 4 \u00e8 zero, quindi la sua matrice inversa non esiste.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#fffde7\"> <strong>Attenzione:<\/strong> Se hai dubbi sui calcoli dei determinanti puoi consultare la pagina <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\" rel=\"nofollow\">come calcolare un determinante<\/a> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriet\u00e0 delle matrici singolari<\/h2>\n<p> Le caratteristiche di questo tipo di matrici sono le seguenti:<\/p>\n<ul>\n<li> Almeno due colonne o due righe di una matrice singolare sono combinazioni lineari e sono lineari quindi dipendenti.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Qualsiasi matrice contenente una riga o una colonna riempita di zeri \u00e8 una matrice singolare.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Il rango di una matrice singolare o degenere \u00e8 inferiore alla sua dimensione.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Il prodotto matriciale di una matrice singolare moltiplicato per qualsiasi altra matrice d\u00e0 un&#8217;altra matrice singolare. Questa condizione pu\u00f2 essere dedotta dalle propriet\u00e0 dei determinanti:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b7c7e6f9873e3d41b0171cc76380be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{det}(AB) = \\text{det}(A) \\cdot \\text{det}(B)=0 \\cdot \\text{det}(B) = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"338\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Allo stesso modo, la potenza di una matrice singolare \u00e8 uguale a quella di un&#8217;altra matrice singolare, indipendentemente dalla potenza a cui \u00e8 elevata.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> La trasposizione di una matrice singolare d\u00e0 origine ad un&#8217;altra matrice singolare, poich\u00e9 il determinante di una matrice trasposta (o trasposta) \u00e8 equivalente al determinante della matrice non trasposta:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f612a114c9aeca3df37e6f267ba12b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{det}(A^t) = \\text{det}(A)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Moltiplicando una matrice singolare per uno scalare non cambia il suo status di matrice degenere.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Anche l&#8217; <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-aggiunti-minori-e-complementari-di-matrice-ed-esercizi-risolti\/\">aggiunto di una matrice singolare<\/a> \u00e8 singolare.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Le matrici triangolari e le matrici diagonali sono matrici degeneri se almeno un elemento della loro diagonale principale \u00e8 zero.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ovviamente la matrice zero \u00e8 una matrice singolare.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Allo stesso modo, anche una matrice nilpotente \u00e8 una matrice singolare.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Un sistema di equazioni lineari associato ad una matrice singolare non ha soluzioni o ha infinite soluzioni.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Infine, una matrice quadrata \u00e8 singolare se e solo se ha almeno un autovalore (o autovalore) pari a 0.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina vedrai cosa significa per una matrice essere singolare o degenere. 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