{"id":335,"date":"2023-07-06T05:26:21","date_gmt":"2023-07-06T05:26:21","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-matrici-ortogonali-proprieta-2x2-3x3\/"},"modified":"2023-07-06T05:26:21","modified_gmt":"2023-07-06T05:26:21","slug":"esempi-di-matrici-ortogonali-proprieta-2x2-3x3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-matrici-ortogonali-proprieta-2x2-3x3\/","title":{"rendered":"Matrice ortogonale"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina vedrai cosa sono le matrici ortogonali e la relazione che hanno con l&#8217;inversa di una matrice. Vedrai anche diversi esempi per capirlo perfettamente. Inoltre, ti insegniamo la formula che controlla qualsiasi matrice ortogonale, con la quale saprai trovarne una rapidamente. Ed infine troverete le propriet\u00e0 e le applicazioni di queste particolari matrici oltre ad un tipico esercizio d&#8217;esame risolto.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cos&#8217;\u00e8 una matrice ortogonale?<\/h2>\n<p> La definizione di matrice ortogonale \u00e8 la seguente: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Una <strong>matrice ortogonale<\/strong> \u00e8 una matrice di numeri reali quadrati che moltiplicata per la sua trasposizione (o trasposizione) equivale alla matrice identit\u00e0. Cio\u00e8, \u00e8 soddisfatta la seguente condizione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ce7debd9ea0083703f398f280e534f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cdot A^t = A^t \\cdot A =I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"147\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 una matrice ortogonale e<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afd3cedfe0f405ed9f2d585b5ac1d8cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ne rappresenta la matrice trasposta.<\/p>\n<\/div>\n<p> Affinch\u00e9 questa condizione sia soddisfatta, le colonne e le righe di una matrice ortogonale devono essere vettori unitari ortogonali, cio\u00e8 devono formare una base ortonormale. Per questo motivo alcuni matematici le chiamano anche <strong>matrici ortonormali<\/strong> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Inversa di una matrice ortogonale<\/h2>\n<p> Un altro modo per spiegare il concetto di matrice ortogonale \u00e8 attraverso la matrice inversa, perch\u00e9 <strong>la matrice trasposta (o trasposta) di una matrice ortogonale \u00e8 uguale alla sua inversa.<\/strong><\/p>\n<p> Per comprendere appieno questo teorema, \u00e8 importante sapere come <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-inversa\/\">invertire una matrice<\/a> . In questo link troverai una spiegazione dettagliata dell&#8217;inverso di una matrice, tutte le sue propriet\u00e0 e avrai anche degli esercizi risolti passo dopo passo con cui esercitarti.<\/p>\n<p> Si pu\u00f2 facilmente dimostrare che la matrice inversa di una matrice ortogonale \u00e8 equivalente alla sua trasposta utilizzando la condizione di matrice ortogonale e la propriet\u00e0 principale delle matrici inverse:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36f7666e4730a6311c088c7e8d7f0f38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} A \\cdot A^t =I \\\\[2ex] A \\cdot A^{-1} = I\\end{array} \\right\\} \\longrightarrow \\ A^t=A^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"231\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto una matrice ortogonale sar\u00e0 sempre una <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/quando-e-una-matrice-regolare-o-invertibile-esempi-e-proprieta\/\">matrice invertibile<\/a> , ovvero sar\u00e0 una matrice regolare o non degenere.<\/p>\n<p> Successivamente vedremo diversi esempi di matrici ortogonali per finire di comprendere il concetto di tutto.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrice ortogonale 2\u00d72<\/h2>\n<p> La seguente matrice \u00e8 una matrice ortogonale di dimensione 2\u00d72: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-orthogonale-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"matrice ortogonale di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-3302\" width=\"132\" height=\"70\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Possiamo verificare che \u00e8 ortogonale calcolando il prodotto per la sua trasposta:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d157361ae2a13dbeabc4ba1aab7f8a94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7baa091c2fd963507b93e6bec5c386b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t= \\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 0 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 0 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"315\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Poich\u00e9 il risultato d\u00e0 la matrice Identica, verifichiamo che A \u00e8 una matrice ortogonale.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrice ortogonale 3\u00d73<\/h2>\n<p> La seguente matrice \u00e8 una matrice ortogonale di dimensione 3\u00d73: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-orthogonale-de-dimension-32153-1.webp\" alt=\"matrice ortogonale di dimensione 3x3\" class=\"wp-image-3304\" width=\"193\" height=\"102\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Possiamo dimostrare che \u00e8 ortogonale moltiplicando la matrice A per la sua trasposta:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35687f56ff4ad5d1b19ea673b4ac85de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t = \\begin{pmatrix}0.8&amp;0.6&amp;0\\\\[1.1ex] -0.6&amp;0.8&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;0&amp;1\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix}0.8&amp;-0.6&amp;0\\\\[1.1ex] 0.6&amp;0.8&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;0&amp;1\\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0\\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0&amp;0&amp;1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"453\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Poich\u00e9 la soluzione \u00e8 la matrice unitaria, dimostriamo che A \u00e8 una matrice ortogonale.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Formula per trovare una matrice ortogonale 2&#215;2<\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<p> Vedremo poi la dimostrazione che tutte le matrici ortogonali di ordine 2 seguono lo stesso schema.<\/p>\n<p> Consideriamo una generica matrice di dimensione 2\u00d72:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac19d6ab63d390a9340cbce4014b1136_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\begin{pmatrix} a &amp; b \\\\[1.1ex] c &amp; d \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"96\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Affinch\u00e9 questa matrice sia ortogonale, deve essere soddisfatta la seguente equazione di matrice:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05ba7bc31dc95f239c8ddb0ffdd72a81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t =I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"78\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e108701513ef6f2118e3b7d32657cd8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} a &amp; b \\\\[1.1ex] c &amp; d \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} a &amp; c \\\\[1.1ex] b &amp; d \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"216\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Risolvendo la moltiplicazione di matrici, otteniamo le seguenti equazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5435c614cb0da442fe04f65aec89637_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} a^2+b^2 &amp; ac+bd \\\\[1.1ex] ac+bd &amp; c^2+d^2 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"233\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8897132ecdbf389450e8c5fa1707226_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c}a^2+b^2=1 \\\\[2ex] ac+bd=0 \\\\[2ex] c^2+d^2=1 \\end{array} \\qquad \\begin{array}{l} (1) \\\\[2ex] (2) \\\\[2ex] (3) \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"162\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Se guardi da vicino, queste uguaglianze assomigliano molto alla <em>fondamentale relazione trigonometrica pitagorica<\/em> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cbd8ab83a790807844d1d30e63429337_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\sin ^2\\alpha+\\cos ^2\\alpha=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Di conseguenza, i termini che soddisfano le equazioni (1) e (3) ottenuti sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9abeb023c5050d8d7f6fbab8c52227ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{l} a = \\cos \\theta \\qquad \\qquad \\qquad c = \\sin\\phi \\\\[2ex] b = \\sin \\theta \\qquad \\qquad \\qquad d = \\cos \\phi\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"242\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Inoltre, sostituendo i valori nella seconda equazione, otteniamo la relazione tra i due angoli: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b210cbf7eb8602c723c54204fc5ad8d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle ac+bd=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c5edfeb3556ee37b43da4afaeb0c3f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cos\\theta\\sin\\phi+\\sin\\theta\\cos\\phi=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2b1e1085946911044e2758ca2783eb8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\tan\\phi=-\\tan\\theta\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Cio\u00e8, deve essere soddisfatta una delle seguenti due condizioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0eb6746afdcb971294de82ecebad37b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{si} \\quad c=\\sin\\phi=-\\sin\\theta \\quad \\longrightarrow \\quad  d=\\cos\\phi=\\cos\\theta\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"373\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6face2f33e95163135f12204424969f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{si} \\quad d=\\cos \\phi=-\\cos \\theta \\quad \\longrightarrow \\quad c=\\sin\\phi=\\sin\\theta\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"373\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi, in conclusione, le matrici ortogonali devono avere la struttura di una delle due matrici seguenti: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-la-matrice-orthogonale-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"formula per la matrice ortogonale di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-3267\" width=\"623\" height=\"143\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-356a08e839ab6974a16448e16e56745d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\theta\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 un numero reale.<\/p>\n<p> Infatti, se ad esempio ne concediamo il valore<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3f94c7fef174aa94efe99c9aa192cab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\theta=\\frac{\\pi}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<p> e prendiamo la prima struttura, otterremo la matrice che abbiamo verificato ortogonale nella sezione \u201cEsempio di matrice ortogonale 2\u00d72\u201d: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1a331cab64745933f7c8a5009c799be6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle M_1 \\left(\\theta =\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\begin{pmatrix} \\cos \\cfrac{\\pi}{2} &amp;\\sin \\cfrac{\\pi}{2} \\\\[4ex] -\\sin \\cfrac{\\pi}{2} &amp; \\cos \\cfrac{\\pi}{2} \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} \\vphantom{\\frac{\\pi}{2}}0 &amp;1 \\\\[2ex]\\vphantom{\\frac{\\pi}{2}} -1 &amp; 0 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"366\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriet\u00e0 della matrice ortogonale<\/h2>\n<p> Le caratteristiche di questo tipo di matrice sono:<\/p>\n<ul>\n<li> Una matrice ortogonale non pu\u00f2 mai essere una <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-singolare-o-degenere\/\">matrice singolare<\/a> , perch\u00e9 pu\u00f2 sempre essere invertita. In questo senso l&#8217;inverso di una matrice ortogonale \u00e8 un&#8217;altra matrice ortogonale.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Qualsiasi matrice ortogonale pu\u00f2 essere diagonalizzata. Diciamo allora che le matrici ortogonali sono <em>ortogonalmente diagonalizzabili.<\/em><\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Tutti gli autovalori o autovalori di una matrice ortogonale hanno modulo pari a 1.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Anche qualsiasi matrice ortogonale composta solo da numeri reali \u00e8 una matrice normale.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> L&#8217;analogo della matrice ortogonale in un ambiente con numeri complessi \u00e8 la matrice unitaria.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ovviamente la matrice identit\u00e0 \u00e8 una matrice ortogonale.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> L&#8217;insieme delle matrici ortogonali di dimensione n \u00d7 n nonch\u00e9 l&#8217;operazione del prodotto di matrici formano un gruppo chiamato gruppo ortogonale. Cio\u00e8 il prodotto di due matrici ortogonali \u00e8 uguale a un&#8217;altra matrice ortogonale.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Inoltre, il risultato della moltiplicazione di una matrice ortogonale per la sua trasposta pu\u00f2 essere espresso dal delta di Kronecker:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d0922008f857f33f46de7551a8ff7cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (A\\cdot A^{t})_{ij} = \\delta_{ij}=\\begin{cases}1 &amp; \\mbox{si }i = j, \\\\[2ex] 0 &amp; \\mbox{si }i \\ne j\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"238\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Infine, il determinante di una matrice ortogonale \u00e8 sempre +1 o -1.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12d5717a2cb94708642478117c7c309d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{det}(A)=\\pm 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio risolto di matrici ortogonali<\/h2>\n<p> Risolveremo poi un esercizio sulle matrici ortogonali.<\/p>\n<ul>\n<li> Data la seguente matrice quadrata di ordine 3, trovare i valori di\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> per renderlo ortogonale:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-892ca58ec5cd36060396cb566902d65d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\frac{1}{3}\\begin{pmatrix}a&amp;a&amp;1\\\\[1.1ex] b&amp;1&amp;b\\\\[1.1ex] 1&amp;a&amp;a\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"140\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Affinch\u00e9 l&#8217;ortogonalit\u00e0 della matrice sia soddisfatta, il prodotto della matrice per la sua trasposta deve essere uguale alla matrice Identit\u00e0. COS\u00cc:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-301d774ec2d0663c858c91e548000749_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t = I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"78\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2dc9ef8c514302f183ca66626cabc1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{3}\\begin{pmatrix}a&amp;a&amp;1\\\\[1.1ex] b&amp;1&amp;b\\\\[1.1ex] 1&amp;a&amp;a\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{1}{3}\\begin{pmatrix}a&amp;b&amp;1\\\\[1.1ex] a&amp;1&amp;a\\\\[1.1ex] 1&amp;b&amp;a\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;1&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;0&amp;1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"334\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Moltiplichiamo le matrici:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18a21a22f3cc9747c310d271c3fe4c5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{9}\\begin{pmatrix}2a^2+1&amp;ab+a+b&amp;2a+a^2\\\\[1.5ex] ab+a+b&amp;2b^2+1&amp;b+a+ab\\\\[1.5ex] 2a+a^2&amp;b+a+ab&amp;1+2a^2\\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\\\[1.5ex] 0&amp;1&amp;0\\\\[1.5ex] 0&amp;0&amp;1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"87\" width=\"418\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora possiamo ottenere un&#8217;equazione dall&#8217;angolo in alto a sinistra delle matrici, perch\u00e9 gli elementi in quella posizione devono corrispondere. Ancora: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a4d0f699410c3a7de5d6af181073f8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{9}(2a^2+1) = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-119\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Risolviamo l&#8217;equazione ed eliminiamo l&#8217;incognita: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6700a19d58afe1d84668664734ef725_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 2a^2+1 = 9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2007d061c6ecfda4deef22882bfce17_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 2a^2 = 8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"59\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fd565f4a4ab39908601493ada1575cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle a^2 = 4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f617bc4be3760ed1e13564672a4b6ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{a = \\pm 2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"55\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Tuttavia, ci sono equazioni che non valgono con la soluzione positiva, ad esempio quella nell&#8217;angolo in alto a destra. Quindi <strong>\u00e8 possibile solo la soluzione negativa<\/strong> .<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, per calcolare la variabile<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> possiamo abbinare, ad esempio, i termini posti nella seconda riga della prima colonna:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16d30b554d24bd4b8a00b156ed1503d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{9}(ab+a+b) = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe062334bff68f2ba70f0f025d2a2d9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle ab+a+b = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sostituendo il valore di<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> nell&#8217;equazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8e6825541c5d7e2a12df99d9dc7b3b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -2b-2+b = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a13af6b471ccdb2e6804fc02b87abc4f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -b =2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27e8de15a4a0f239878f4cc4f5b8db24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{b =-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In sintesi l\u2019unica soluzione possibile \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70dc1f4331f63bff4d12f4bad8ef34e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{a=b =-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"86\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi la matrice ortogonale che corrisponde a questi valori \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb7e7a27658da85f7b0d16b17f1f0815_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\frac{1}{3}\\begin{pmatrix}-2&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] -2&amp;1&amp;-2\\\\[1.1ex] 1&amp;-2&amp;-2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"179\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Applicazioni delle matrici ortogonali<\/h2>\n<p> Anche se pu\u00f2 non sembrare, perch\u00e9 solitamente hanno una forma molto semplice, le matrici ortogonali sono molto importanti in matematica, soprattutto nel campo dell&#8217;algebra lineare.<\/p>\n<p> In geometria, le matrici ortogonali rappresentano trasformazioni isometriche (che non modificano distanze e angoli) in spazi vettoriali reali, motivo per cui vengono chiamate trasformazioni ortogonali. Inoltre tali trasformazioni sono isomorfismi interni dello spazio vettoriale considerato. Queste trasformazioni possono essere <strong>rotazioni<\/strong> , <strong>riflessioni speculari<\/strong> o <strong>inversioni<\/strong> .<\/p>\n<p> Infine, questo tipo di matrice viene utilizzata anche in fisica, poich\u00e9 permette di studiare il movimento dei corpi rigidi. E vengono utilizzati anche nella formulazione di alcune teorie sul campo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina vedrai cosa sono le matrici ortogonali e la relazione che hanno con l&#8217;inversa di una matrice. Vedrai anche diversi esempi per capirlo perfettamente. Inoltre, ti insegniamo la formula che controlla qualsiasi matrice ortogonale, con la quale saprai trovarne una rapidamente. 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