{"id":327,"date":"2023-07-06T08:09:51","date_gmt":"2023-07-06T08:09:51","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-matrici-commutabili-commutabili\/"},"modified":"2023-07-06T08:09:51","modified_gmt":"2023-07-06T08:09:51","slug":"esempi-di-matrici-commutabili-commutabili","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-matrici-commutabili-commutabili\/","title":{"rendered":"Matrici commutabili"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cosa sono le matrici commutabili. Inoltre, potrai vedere degli esempi per comprendere bene il concetto e, infine, troverai un esercizio risolto passo passo in cui impariamo a calcolare tutte le matrici che commutano con qualsiasi matrice.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cosa sono le matrici commutabili? <\/h2>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Due <strong>matrici sono commutabili<\/strong> se il risultato del loro prodotto non dipende dall&#8217;ordine di moltiplicazione. In altre parole, le matrici commutabili soddisfano la seguente condizione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6eb88f6da7a7fb25d88ae172483b637c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot B = B \\cdot A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"104\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> Questa \u00e8 la definizione di matrici commutabili, vediamo ora un esempio:<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrici commutabili<\/h2>\n<p> Le seguenti due matrici di dimensione 2\u00d72 sono commutabili tra loro:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4afa74407be7cf7a0142ce931dbba98_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\begin{pmatrix} 2 &amp; 0\\\\[1.1ex] 1 &amp; -1 \\end{pmatrix} \\quad B= \\begin{pmatrix} 3&amp; 0\\\\[1.1ex] 1 &amp; 0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"229\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La commutabilit\u00e0 delle due matrici potrebbe essere dimostrata calcolando il loro prodotto in entrambe le direzioni: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrices-commutables-22152-1.webp\" alt=\"esempio di matrici commutabili di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-2759\" width=\"377\" height=\"169\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere, il risultato di entrambe le moltiplicazioni \u00e8 lo stesso, indipendentemente dall&#8217;ordine in cui vengono moltiplicate. Quindi le matrici<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sono commutabili.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio di cambio matrice risolto<\/h2>\n<p> Poi vedremo passo passo come risolvere un esercizio di matrice commutabile:<\/p>\n<ul>\n<li> Determina tutte le matrici che commutano con la seguente matrice quadrata:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f69e9df9aa524aeabcc1716a92b5e8d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\begin{pmatrix} 3 &amp; 1\\\\[1.1ex] 1 &amp; 0 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"95\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per risolvere questo problema creeremo una matrice sconosciuta:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee9183823ea39248018c37cbac3bf2ae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B=\\begin{pmatrix} a &amp; b\\\\[1.1ex] c &amp; d \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dobbiamo quindi trovare questa matrice sconosciuta.<\/p>\n<p> Per fare ci\u00f2 sfrutteremo la propriet\u00e0 che tutte le matrici di pendolarismo soddisfano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6eb88f6da7a7fb25d88ae172483b637c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot B = B \\cdot A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"104\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-98ac92178351b7dc235918b2bc02ed90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix}3 &amp; 1\\\\[1.1ex] 1 &amp; 0\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix} a &amp; b\\\\[1.1ex] c &amp; d \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a &amp; b\\\\[1.1ex] c &amp; d \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 3 &amp; 1\\\\[1.1ex] 1 &amp; 0 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"291\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora moltiplichiamo le matrici su entrambi i lati dell&#8217;equazione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5bd3e34eadc944aa1aea8f323f9796ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} 3a+c &amp;3b+d\\\\[1.1ex] a &amp; b \\end{pmatrix} =  \\begin{pmatrix}3a+b &amp; a\\\\[1.1ex] 3c+d &amp; c \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"256\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, affinch\u00e9 l\u2019uguaglianza sia valida, devono essere soddisfatte le seguenti equazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1f3094807b37f4fbc9875b5dddc5f25_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\\\[2ex] 3b+d=a \\\\[2ex] a=3c+d\\\\[2ex] b= c \\end{array}\\right\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"129\" width=\"140\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi tutto ci\u00f2 che dobbiamo fare \u00e8 risolvere il sistema di equazioni. Dall&#8217;ultima equazione possiamo dedurlo<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> deve essere uguale a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41a04eeea923a1a0c28094a8a4680525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"c\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08cf30e231c919c278f8af358e06df4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b=c\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E se queste due incognite sono equivalenti, la terza equazione si ripete con la seconda, possiamo quindi eliminarla:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3e25af3ab248d099ae0515f9912cdf1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\\\[2ex] 3b+d=a \\\\[2ex] \\cancel{a=3c+d}\\\\[2ex] b= c \\end{array}\\right\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"129\" width=\"140\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Inoltre, dalla prima equazione non possiamo trarre alcuna conclusione, perch\u00e9: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7608b6e0c6fb91990657aa470c48f5f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3a+c=3a+b \\ \\xrightarrow{b \\ = \\ c} \\ 3a+b=3a+b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"305\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-762f5011b3045c2f20b77035ae8473f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3a=3a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"60\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-378ae3997c3bacdce60cc73eb967fdb6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a=a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, ci rimane solo la seconda ed ultima equazione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3486d0076e11ddae06ffbfcbb3fab66a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{l} 3b+d=a \\\\[2ex] b= c \\end{array}\\right\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"101\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In modo che le matrici commutano con la matrice<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sono tutti quelli che verificano le due equazioni precedenti. Pertanto, sostituendo le espressioni trovate fin dall&#8217;inizio nella matrice incognita, possiamo trovare la forma delle matrici che commutano con<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-944477c7f7578892a57aa3b7c7dd8268_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ccd60f786e1324e748a7d91e41f86442_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} a &amp; b\\\\[1.1ex] c &amp; d \\end{pmatrix} \\ \\longrightarrow \\ \\begin{pmatrix} 3b+d &amp; b \\\\[1.1ex] b &amp; d \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"206\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e8716946f6a868f015e0d62f28bc540_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sono due numeri reali.<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<p> Quindi un esempio di una matrice che commuterebbe con la matrice<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sarebbe il seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c22c13d155ba46f6a9d0f6891747699_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} 6 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3  \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"54\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriet\u00e0 delle matrici commutabili<\/h2>\n<p> Le matrici commutabili hanno le seguenti caratteristiche:<\/p>\n<ul>\n<li> Gli array commutabili <strong>non hanno la propriet\u00e0 transitiva<\/strong> . In altre parole, anche se la matrice\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> commutare con le matrici<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f34f74d98915e33f37a086f8cbfb996a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , questo non significa questo<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f34f74d98915e33f37a086f8cbfb996a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sono commutabili tra loro.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-diagonale\/\">Le matrici diagonali<\/a> commutano tra loro, cio\u00e8 una matrice diagonale commuta con qualsiasi altra matrice diagonale.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Allo stesso modo, una matrice scalare commuta equamente con tutte le matrici. Ad esempio, la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\">matrice Identit\u00e0 o Unit\u00e0<\/a> commuta con tutte le matrici.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Due <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-hermitiana-o-hermitiana\/\">matrici hermitiane<\/a> commutano se i loro autovettori (o autovettori) coincidono.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ovviamente anche la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-nulla-zero\/\">matrice zero<\/a> commuta con tutte le matrici.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Se il prodotto di due <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-e-proprieta-di-matrici-simmetriche\/\">matrici simmetriche<\/a> d\u00e0 un&#8217;altra matrice simmetrica, allora le due matrici devono commutare.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Se la diagonalizzazione di due matrici pu\u00f2 essere fatta simultaneamente, queste devono essere commutabili. Pertanto, queste due matrici condividono anche la stessa base ortonormale di autovettori o autovettori.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cosa sono le matrici commutabili. Inoltre, potrai vedere degli esempi per comprendere bene il concetto e, infine, troverai un esercizio risolto passo passo in cui impariamo a calcolare tutte le matrici che commutano con qualsiasi matrice. Cosa sono le matrici commutabili? 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