{"id":326,"date":"2023-07-06T08:26:38","date_gmt":"2023-07-06T08:26:38","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/teorema-dei-fattori\/"},"modified":"2023-07-06T08:26:38","modified_gmt":"2023-07-06T08:26:38","slug":"teorema-dei-fattori","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/teorema-dei-fattori\/","title":{"rendered":"Teorema dei fattori"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cos&#8217;\u00e8 il teorema dei fattori. Inoltre, mostriamo a cosa serve il teorema dei fattori: divisibilit\u00e0 dei polinomi, ricerca delle radici, fattorizzazione dei polinomi, ecc. Infine, potrai esercitarti con esercizi passo passo sul teorema dei fattori. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-teorema-del-factor\"><\/span> Qual \u00e8 il teorema dei fattori? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> In matematica, il <strong>teorema dei fattori<\/strong> dice che un polinomio P(x) \u00e8 divisibile per un altro polinomio della forma (xa) se e solo se P(a)=0. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-des-facteurs.jpg\" alt=\"teorema dei fattori\" class=\"wp-image-2179\" width=\"247\" height=\"247\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Parimenti, come conseguenza del teorema dei fattori, segue che se un polinomio P(x) \u00e8 divisibile per il termine (x\u2212a), ci\u00f2 significa che il valore a \u00e8 radice (o zero) del polinomio P( x ).<\/p>\n<p> Che un polinomio sia divisibile per un altro significa che il resto (o resto) della divisione tra i due polinomi \u00e8 uguale a zero. Nel caso in cui non ricordi completamente questo concetto, nel link seguente puoi vedere <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/divisione-di-polinomi-esempi-esercizi-risolti-dividere\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">esempi di divisione di polinomi<\/span><\/strong><\/a> , l\u00ec troverai anche la spiegazione di come dividere i polinomi ed esercizi risolti passo passo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplos-del-teorema-del-factor\"><\/span> Esempi di teorema dei fattori<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Ora che conosciamo la definizione matematica del teorema dei fattori, diamo un&#8217;occhiata a diversi esempi per vedere come viene applicato.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio 1<\/h3>\n<p> Un&#8217;applicazione del teorema dei fattori \u00e8 scoprire se un dato polinomio \u00e8 divisibile per un <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/binomi\/\">binomio<\/a><\/span><\/strong> . Vediamo un esempio di come ci\u00f2 si realizza con il teorema dei fattori:<\/p>\n<ul>\n<li> Determina se il polinomio P(x) \u00e8 divisibile per il binomio Q(x), essendo entrambi:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67a5b0b8df744da98b4d71433f73c9e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^2-4x+3 \\qquad \\qquad Q(x)=x-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"323\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Innanzitutto, il polinomio divisore, Q(x), \u00e8 un polinomio di tipo (xa), quindi possiamo applicare il teorema dei fattori per risolvere il problema.<\/p>\n<p> Quindi, per verificare se P(x) pu\u00f2 essere diviso per Q(x) dobbiamo calcolare il valore numerico del polinomio P(x) per x=1, poich\u00e9 1 \u00e8 il termine indipendente del polinomio divisore con segno cambiato :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00216efc4a2e53b0b38de1175e73a5bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(1) &amp; =1^2-4\\cdot 1+3 \\\\[2ex] &amp; = 1-4+3 \\\\[2ex] &amp; = 0 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"100\" width=\"159\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il valore numerico del polinomio P(x) in x = 1 d\u00e0 zero, quindi secondo il teorema dei fattori P(x) \u00e8 divisibile per Q(x), o in altre parole, il resto della divisione per entrambi sar\u00e0 nullo.<\/p>\n<p> Possiamo verificare che la condizione di divisibilit\u00e0 \u00e8 soddisfatta dividendo i 2 polinomi per <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/regole-risolte-esempi-esercizi-ruffini\/\">il teorema di Ruffini<\/a><\/span><\/strong> : <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-factoriel-exercices-resolus-pdf.jpg\" alt=\"Teorema dei fattori esercizi risolti pdf online\" class=\"wp-image-2189\" width=\"172\" height=\"130\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere in questo esempio, il teorema dei fattori \u00e8 un caso speciale del teorema del resto (o del resto). Ti lascio questo articolo in cui spiega cos&#8217;\u00e8 <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-teorema-del-resto-ed-esercizi-risolti\/\">il teorema del resto<\/a><\/span><\/strong> , troverai anche esempi ed esercizi risolti con esso. E inoltre potrai vedere qual \u00e8 la differenza tra il teorema del resto e il teorema dei fattori.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio 2<\/h3>\n<p> Il teorema dei fattori pu\u00f2 essere utilizzato anche per trovare le radici (o gli zeri) di un polinomio. Ma, ovviamente, per comprendere questo tipo di problemi \u00e8 necessario sapere <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/radici-di-un-polinomio\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">quali sono le radici di un polinomio<\/span><\/strong><\/a> . Se ancora non hai capito questo concetto puoi dare un&#8217;occhiata alla pagina collegata, che \u00e8 spiegata in dettaglio.<\/p>\n<p> Vediamo quindi attraverso un esempio come si applica il teorema dei fattori per trovare la radice di un polinomio:<\/p>\n<ul>\n<li> Dato il polinomio P(x), calcola se una delle sue radici \u00e8 x=2:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3d4052b7ff040dd41473d225569289b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3-3x^2+5x-6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Applicando il teorema dei fattori, il termine x=2 sar\u00e0 radice del polinomio P(x) solo se il valore numerico di P(x) per x=2 \u00e8 zero. Quindi dobbiamo trovare questo valore numerico:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82d50f0361613cb6c540051f8da4bc20_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(2) &amp; =2^3-3\\cdot 2^2+5\\cdot 2-6 \\\\[2ex] &amp; = 8-3\\cdot 4 +5\\cdot 2 -6\\\\[2ex] &amp; = 8-12+10-6 \\\\[2ex] &amp; = 0\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"219\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Infatti, il valore numerico del polinomio P(x) si annulla in x=2, quindi grazie al teorema dei fattori possiamo affermare che x=2 \u00e8 radice del polinomio P(x). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorizacion-de-polinomios-utilizando-el-teorema-del-factor\"><\/span> Fattorizzazione di polinomi utilizzando il teorema dei fattori<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Un&#8217;altra applicazione del teorema dei fattori \u00e8 la <strong>fattorizzazione dei polinomi<\/strong> . Nel caso non sapessi di cosa si tratta, fattorizzare un polinomio significa trasformare l&#8217;espressione di un polinomio in un prodotto di fattori, ovvero fattorizzare un polinomio ne semplifica l&#8217;espressione algebrica.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Il teorema fattoriale stabilisce quindi che se un polinomio P(x) soddisfa P(a)=0 per un dato valore a, allora l&#8217;espressione di detto polinomio pu\u00f2 essere fattorizzata nel prodotto P(x)=(xa)\u00b7 Q( x), dove Q(x) \u00e8 il polinomio risultante dalla divisione del polinomio P(x) per (xa). <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/facteur-theoreme-preuve.jpg\" alt=\"dimostrazione del teorema dei fattori\" class=\"wp-image-2199\" width=\"470\" height=\"157\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ad esempio, fattorizzeremo il seguente polinomio utilizzando il teorema fattoriale:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e7291b669031afd3421168b7662c71c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3+2x^2+4x+8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dal polinomio precedente possiamo sapere che x=-2 \u00e8 una delle sue radici, poich\u00e9 il valore numerico del polinomio per x=-2 \u00e8 uguale a zero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d94a4657a385e672badeabd7458b376_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(-2) &amp; =(-2)^3+2\\cdot (-2)^2+4\\cdot (-2)+8 \\\\[2ex] &amp; =-8+2\\cdot 4+4\\cdot (-2)+8 \\\\[2ex] &amp; = -8+8-8+8 \\\\[2ex] &amp; = 0 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"316\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dividiamo quindi con la regola di Ruffini il polinomio P(x) tra il binomio formato da x e questa radice cambiata segno, cio\u00e8 il fattore (x+2): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-du-facteur-zero.jpg\" alt=\"Lo afferma il teorema del fattore zero\" class=\"wp-image-2201\" width=\"205\" height=\"130\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Quindi il quoziente della divisione polinomiale \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8787f77c00f3813ff7e93f147ae7a8d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{P(x)}{x+2} =x^2+4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E infine, dal teorema dei fattori, possiamo esprimere il polinomio P(x) sotto forma di moltiplicazione del fattore (x+2) per il quoziente ottenuto nella divisione precedente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a63580effbfd7304133453960e84843_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = (x+2) \\cdot (x^2+4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Abbiamo quindi fattorizzato il polinomio P(x), ma solo parzialmente. Per fattorizzare completamente un polinomio \u00e8 necessario applicare una procedura pi\u00f9 lunga. Abbiamo realizzato una guida in cui insegniamo passo dopo passo <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">come fattorizzare i polinomi di Ruffini<\/span><\/strong><\/a> , inoltre in questo articolo abbiamo spiegato tutti i tipi di fattorizzazione e potrai esercitarti con esercizi risolti. Quindi fai clic sul collegamento per scoprire come fattorizzare un polinomio dall&#8217;insieme. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-del-teorema-del-factor\"><\/span> Problemi risolti sul teorema dei fattori<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Quindi, abbiamo preparato diversi esercizi risolti passo dopo passo sul teorema dei fattori in modo che tu possa esercitarti e quindi verificare se hai capito questo teorema. Ti consigliamo di provare a eseguirli tu stesso e poi vedere se capisci correttamente la soluzione. Inoltre, non dimenticare che puoi lasciarci le tue domande qui sotto nei commenti! \u2753\u2753\ud83d\udcac\ud83d\udcac<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Utilizza il teorema fattoriale per scoprire se il polinomio P(x) \u00e8 divisibile per il binomio Q(x) e, in tal caso, trova una radice del polinomio e fattorizzala. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d91041d9502129f8feb71f75ec493bab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=2x^3-4x^2+x-7 \\qquad \\qquad Q(x)=x-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"372\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso il divisore polinomiale Q(x) \u00e8 un binomio composto solo da una x e da un termine indipendente. Quindi per dimostrare che il polinomio P(x) pu\u00f2 essere diviso per l&#8217;altro polinomio Q(x) con il teorema fattoriale, dobbiamo valutare il valore numerico del polinomio P(x) nel termine indipendente del polinomio divisore cambiato segno, cio\u00e8 in x=3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e8ac752f8e16fae1d66386e9d2a02a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(3) &amp; =2\\cdot 3^3-4\\cdot 3^2+3-7\\\\[2ex] &amp; = 2\\cdot 27-4\\cdot 9+3-7 \\\\[2ex] &amp; = 54-36+3-7\\\\[2ex] &amp; = 14 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"219\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il valore numerico del polinomio P(x) in x=3 \u00e8 equivalente a 14, cio\u00e8 \u00e8 diverso da zero. Quindi, secondo il teorema dei fattori, P(x) NON \u00e8 divisibile per Q(x) perch\u00e9 il resto della divisione non \u00e8 zero.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 2<\/h3>\n<p> Scopri con il teorema fattoriale se il polinomio P(x) \u00e8 divisibile per il binomio Q(x) e, in tal caso, trova una radice del polinomio P(x) e fattorizzala. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c66c882f468d9bf67c8ae19b9629a24c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3+5x^2+3x-1 \\qquad \\qquad Q(x)=x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"371\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso il divisore polinomiale Q(x) \u00e8 un binomio composto solo da una x e da un termine indipendente, possiamo quindi applicare il teorema fattoriale.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E per verificare se il polinomio P(x) pu\u00f2 essere diviso per il polinomio Q(x), dobbiamo trovare il valore numerico del polinomio P(x) per il termine indipendente del polinomio Q(x) cambiato segno, \u00e8 cio\u00e8, in x=-1:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34b63772a1b44bee2c746d94b6ca4785_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(-1) &amp; =(-1)^3+5\\cdot (-1)^2+3\\cdot (-1)-1\\\\[2ex] &amp; = -1+5\\cdot 1+3\\cdot (-1)-1\\\\[2ex] &amp; = -1+5-3-1\\\\[2ex] &amp; = 0 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"315\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo problema, il valore numerico del polinomio in x=-1 \u00e8 zero, quindi P(x) \u00e8 divisibile per Q(x).<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Allora possiamo dedurre dal teorema fattoriale che x=-1 \u00e8 una radice del polinomio P(x), poich\u00e9 il valore numerico di P(x) in x=-1 si annulla.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, poich\u00e9 x=-1 \u00e8 una radice del polinomio P(x), per fattorizzarlo \u00e8 sufficiente dividerlo per x+1. E per questo utilizzeremo il metodo Ruffini: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/facteur-et-reste-theoreme-2.jpg\" alt=\"Teorema dei fattori e dei resti\" class=\"wp-image-2223\" width=\"212\" height=\"130\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi il risultato dell&#8217;operazione \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d359811cb1941ccb7181216d4eb2667_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+4x-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Possiamo quindi fattorizzare il polinomio P(x) come segue: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4793f7847d400b7df22361f6b856a0e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = (x+1) \\cdot (x^2+4x-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Trovare con il teorema fattoriale se il polinomio P(x) \u00e8 divisibile per il binomio Q(x) e, in tal caso, trovare anche una radice del polinomio P(x) e fattorizzarla. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3aead584139f397504eb04454974899_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3+5x^2+4x-6 \\qquad \\qquad Q(x)=x+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"372\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso il polinomio che divide Q(x) \u00e8 un binomio formato solo da una x e da un termine indipendente, quindi possiamo utilizzare il teorema dei fattori.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E per verificare se il polinomio P(x) \u00e8 divisibile per il polinomio Q(x), dobbiamo determinare il valore numerico del polinomio P(x) per il termine indipendente del polinomio Q(x) cambiato segno, cio\u00e8- cio\u00e8 in x =-3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef8bb895fe041193d71351ffadb94f2f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(-3) &amp; =(-3)^3+5\\cdot (-3)^2+4\\cdot (-3)-6\\\\[2ex] &amp; = -27+5\\cdot 9+4\\cdot (-3)-6\\\\[2ex] &amp; = -27+45-12-6\\\\[2ex] &amp; = 0 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"316\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso, il valore numerico del polinomio in x=-3 \u00e8 zero, quindi effettivamente P(x) \u00e8 divisibile per Q(x).<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per questo motivo, dal teorema fattoriale deduciamo che x=-3 \u00e8 radice del polinomio P(x), poich\u00e9 P(-3) \u00e8 uguale a zero.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi, poich\u00e9 x=-3 \u00e8 una radice del polinomio P(x), per fattorizzarlo dobbiamo dividerlo per x+3. E per questo utilizzeremo la regola di Ruffini: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/facteur-theoreme-factorisation-par-ruffini.jpg\" alt=\"Teorema dei fattori fattore di Ruffini\" class=\"wp-image-2226\" width=\"216\" height=\"130\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi il risultato della divisione \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-990e12f6ae2d0b9effdb52dfaea8edbe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+2x-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E quindi possiamo fattorizzare il polinomio P(x) nel modo seguente: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4929cce053644c03cdafec2fbfd77008_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = (x+3) \\cdot (x^2+2x-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Cosa ne pensi del teorema dei fattori? Pensi che sia utile in algebra? Ti leggiamo nei commenti!<br \/> \ud83d\udc40\u2b07\u2b07\u2b07\ud83d\udc40<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cos&#8217;\u00e8 il teorema dei fattori. Inoltre, mostriamo a cosa serve il teorema dei fattori: divisibilit\u00e0 dei polinomi, ricerca delle radici, fattorizzazione dei polinomi, ecc. Infine, potrai esercitarti con esercizi passo passo sul teorema dei fattori. Qual \u00e8 il teorema dei fattori? 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