{"id":325,"date":"2023-07-06T08:31:48","date_gmt":"2023-07-06T08:31:48","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-di-iuta-iuta-2x2-3x3\/"},"modified":"2023-07-06T08:31:48","modified_gmt":"2023-07-06T08:31:48","slug":"matrice-di-iuta-iuta-2x2-3x3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-di-iuta-iuta-2x2-3x3\/","title":{"rendered":"Matrice dell&#39;assia (o hesse)"},"content":{"rendered":"<p>Questa pagina \u00e8 sicuramente la spiegazione pi\u00f9 completa esistente della matrice dell&#8217;Assia. Qui viene spiegato il concetto di matrice Hessiana, come calcolarla con esempi e ci sono anche diversi esercizi risolti per esercitarsi. Inoltre, potrai scoprire come vengono calcolati i valori massimo e minimo di una funzione multivariabile e se si tratta di una funzione concava o convessa. Infine, troverai anche le utilit\u00e0 e le applicazioni della matrice dell&#8217;Assia.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cos&#8217;\u00e8 la matrice dell&#8217;Assia?<\/h2>\n<p> La definizione della matrice dell&#8217;Assia (o dell&#8217;Assia) \u00e8 la seguente:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#dff6ff\"> La <strong>matrice Hessiana<\/strong> \u00e8 una matrice quadrata di dimensione n \u00d7 n composta dalle derivate seconde parziali di una funzione di n variabili.<\/p>\n<p> Questa matrice \u00e8 conosciuta anche come Hessiana, o anche in alcuni libri di matematica viene chiamata Discriminante. Ma il modo pi\u00f9 comune per chiamarla \u00e8 matrice dell&#8217;Assia.<\/p>\n<p> La formula per la matrice Hessiana \u00e8 quindi la seguente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-matricielle-hessienne.webp\" alt=\"Formula della matrice dell'Assia o dell'Assia\" class=\"wp-image-2445\" width=\"541\" height=\"345\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Pertanto, la matrice Hessiana sar\u00e0 sempre una matrice quadrata la cui dimensione sar\u00e0 uguale al numero di variabili nella funzione. Ad esempio, se la funzione ha 3 variabili, la matrice dell&#8217;Assia avr\u00e0 dimensione 3\u00d73.<\/p>\n<p> Inoltre <strong>il teorema di Schwarz<\/strong> (o teorema di Clairaut) dice che l&#8217;ordine di differenziazione non ha importanza, cio\u00e8 derivare parzialmente per primo rispetto alla variabile<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01a7b7b5dca66cb33a1207e1f39c1140_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> quindi rispetto alla variabile<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1cd6be340b4fce14489cf5b565a169e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> equivale a differenziare parzialmente rispetto a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1cd6be340b4fce14489cf5b565a169e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> quindi rispetto<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01a7b7b5dca66cb33a1207e1f39c1140_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e5cc28564c40c6588680df48d8255ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_i\\partial x_j} = \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_j\\partial x_i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -18px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, la matrice Hessiana \u00e8 una matrice <strong>simmetrica<\/strong> , o in altre parole, ha una simmetria il cui asse \u00e8 la sua diagonale principale.<\/p>\n<p> Per curiosit\u00e0, la matrice dell&#8217;Assia prende il nome da Ludwig Otto Hesse, un matematico tedesco del XIX secolo che diede contributi molto importanti al campo dell&#8217;algebra lineare.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di calcolo della matrice Hessiana<\/h2>\n<p> Vediamo un esempio di come trovare una matrice Hessiana di dimensione 2\u00d72:<\/p>\n<ul>\n<li> Calcola la matrice dell&#8217;Assia nel punto (1,0) della seguente funzione:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03bcc33e393ddc95defdc3cc04da35c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  f(x,y)=y^4+x^3+3x^2+ 4y^2 -4xy -5y +8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"348\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per prima cosa dobbiamo calcolare le derivate parziali del primo ordine:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd57722dfa592f129cac21ba8f183e05_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial x} = 3x^2 +6x -4y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1847d0b9ecd032b396d64ac27e5e3eeb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial y} = 4y^3+8y -4x -5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Una volta conosciute le derivate prime, calcoliamo tutte le derivate parziali del secondo ordine:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-294ce075a54a240e012d30770fa10e3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} = 6x +6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-895c605e3c401f96a0a9b07ea105522c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y^2} =12y^2 +8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ea4b2979928198e9fb91592d9e38874_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} = \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}= -4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p>Pertanto, ora possiamo trovare la matrice Hessiana dalla formula per le matrici 2 \u00d7 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-926f350fe0ac3184ec0b563b57fd6041_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f (x,y)=\\begin{pmatrix}\\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} \\\\[4ex] \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y^2} \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"111\" width=\"215\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b7f3d45918645a5b6019896ed45eda75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f (x,y)=\\begin{pmatrix}6x +6 &amp;-4 \\\\[2ex] -4 &amp; 12y^2+8 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"246\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto la matrice Hessiana valutata al punto (1,0) sar\u00e0: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdccfc61f7befe6c75f66c8a4658f3e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f (1,0)=\\begin{pmatrix}6(1) +6 &amp;-4 \\\\[2ex] -4 &amp; 12(0)^2+8 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"270\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-matrice-hessienne-de-dimension-22152.webp\" alt=\"esempi di trafile di tela o di iuta\" class=\"wp-image-2487\" width=\"230\" height=\"80\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Problemi risolti delle matrici Hessiane<\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Calcola la matrice Hessiana della seguente funzione con 2 variabili nel punto (1,1): <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1e63eb1506d471fb8fdbc0e6db8de0a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  f(x,y)=x^2y+y^2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa dobbiamo trovare le derivate parziali del primo ordine della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9786ccaea4ad9305eb8b50d98f7f2626_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial x} = 2xy+y^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b68a8a666732d228ad06ebd8bade063_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial y} = x^2+2yx\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Una volta che abbiamo gi\u00e0 calcolato le derivate prime, procediamo a risolvere tutte le derivate parziali del secondo ordine: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef3e5008f32d204cae79f8faceafb6ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} = 2y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e3f3f68ddab03ad22776b84f441cb7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y^2} =2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6383bbe85e851dd1e573981b52a0158_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} = \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}=2x+2y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"188\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto la matrice Hessiana \u00e8 definita come segue: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-hessian-22152-1.webp\" alt=\"Esercizio risolto della matrice Hessiana o matrice Hessiana di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-2492\" width=\"290\" height=\"81\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine non resta che valutare la matrice Hessiana al punto (1,1): <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5353c0229942269e07455047284f92b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f (1,1)=\\begin{pmatrix}2\\cdot 1 &amp;2 \\cdot 1+2\\cdot 1 \\\\[1.5ex] 2\\cdot 1+2\\cdot 1 &amp; 2\\cdot 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"292\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf00fccdb37a19388e76b5a84a408d02_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{H_f (1,1)}=\\begin{pmatrix}\\bm{2} &amp; \\bm{4} \\\\[1.1ex] \\bm{4} &amp; \\bm{2} \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Calcola l&#8217;Assia nel punto (1,1) della seguente funzione in due variabili: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d577030e612ef7b6ab7b59aea4469539_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  f(x,y)= e^{y\\ln x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa dobbiamo calcolare le derivate parziali del primo ordine della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1025a749344fdf59c8c016387b7e2c37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial x} = e^{y\\ln x} \\cdot \\cfrac{y}{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ddfad6313a350d43404b19a2278d771_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial y} = e^{y\\ln x} \\cdot \\ln x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Una volta ottenute le derivate prime, calcoliamo le derivate parziali del secondo ordine della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edcdf882fac053dc938c4f0d10060d30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} = e^{y\\ln x} \\cdot \\cfrac{y^2}{x^2} - e^{y\\ln x} \\cdot \\cfrac{y}{x^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"219\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f59a0f7a852311293edd2231235ae7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y^2} =e^{y\\ln x} \\cdot \\ln ^2 x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b760e29d744c2f294cf9cec33d61d1e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}=\\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} =e^{y\\ln x} \\cdot \\cfrac{y}{x}\\cdot \\ln x + e^{y\\ln x}\\cdot \\cfrac{1}{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"323\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto la matrice Hessiana della funzione \u00e8 una matrice quadrata di dimensione 2\u00d72: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-hesse-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"Risolto Esercizio Hessiano o matrice Hessiana di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-2516\" width=\"620\" height=\"135\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine non resta che valutare la matrice Hessiana al punto (1,1): <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c316cc61e6d007e5d034274e0f494520_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f (1,1)=\\begin{pmatrix} e^{1\\ln (1)} \\displaystyle \\cdot \\cfrac{1^2}{1^2} - e^{1\\ln (1)} \\cdot \\cfrac{1}{1^2}&amp; e^{1\\ln (1)} \\cdot \\cfrac{1}{1}\\cdot \\ln (1) + e^{1\\ln (1)}\\cdot \\cfrac{1}{1} \\\\[3ex] e^{1\\ln (1)} \\cdot \\cfrac{1}{1}\\cdot \\ln (1) + e^{1\\ln (1)}\\cdot \\cfrac{1}{1} &amp; e^{1\\ln (1)} \\cdot \\ln ^2 (1) \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"99\" width=\"557\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e456b856c722a140d73ade63f13ec9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f (1,1)=\\begin{pmatrix}e^{0} \\cdot 1 - e^{0} \\cdot 1&amp; e^{0} \\cdot 1\\cdot 0 + e^{0}\\cdot 1 \\\\[2ex] e^{0} \\cdot 1\\cdot 0 + e^{0}\\cdot 1 &amp; e^{0} \\cdot 0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"366\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-929fbf6e7f0f90110d11d4ccd51fd51a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f (1,1)=\\begin{pmatrix}1 - 1&amp; 0+ 1 \\\\[1.5ex] 0 +1 &amp; 1 \\cdot 0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"206\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce780ddb8c09515afccfb2da2d842584_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{H_f (1,1)}=\\begin{pmatrix}\\bm{0} &amp; \\bm{1} \\\\[1.1ex] \\bm{1} &amp; \\bm{0} \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Trova la matrice Hessiana nel punto<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b324eec3855aa704cfe7cef3a72713f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(0,1,\\pi)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> della seguente funzione con 3 variabili: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07614221c6aa91fe6591ecfdd7ee064b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  f(x,y,z)= e^{-x}\\cdot \\text{sen}(yz)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"189\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa calcoliamo le derivate parziali del primo ordine della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3403bbb8643fb0c3f01dc93031683d1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial x} = -e^{-x}\\cdot \\text{sen}(yz)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"155\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e77e08ad03b7a454f9a9f5c320d4902_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial y} = ze^{-x}\\cdot \\text{cos}(yz)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-912b948c3339efba02beb10da8853e89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial z} = ye^{-x}\\cdot \\text{cos}(yz)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Una volta ottenute le derivate prime, calcoliamo le derivate parziali del secondo ordine della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-831ffaaf0208ac80132c58e97c10696d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} =e^{-x}\\cdot \\text{sen}(yz)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8c77e5f03861145b5370a208642c199_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}=\\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} =-ze^{-x}\\cdot \\text{cos}(yz)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3a5180d638ffbedb5028da56c5c2b9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial z}=\\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial z \\partial x} =-ye^{-x}\\cdot \\text{cos}(yz)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-001a3978b472e9085c4658d19e976079_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y^2} =-z^2e^{-x}\\cdot \\text{sen}(yz)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"179\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8c2c222f469c688e41ed773c1721834_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial z}=\\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial z \\partial y} =e^{-x}\\cdot \\text{cos}(yz)-yze^{-x}\\cdot \\text{sen}(yz)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"360\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-98dcbe5198ef8336355c89a80bb981ce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial^2 z} = -y^2e^{-x}\\cdot \\text{sen}(yz)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"179\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi la matrice Hessiana della funzione \u00e8 una matrice quadrata di dimensione 3\u00d73: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-de-hesse-en-3-dimensions-32153-1.webp\" alt=\"esempio di tela o matrice di tela di dimensione 3x3\" class=\"wp-image-2537\" width=\"857\" height=\"109\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine, sostituiamo le variabili con i rispettivi valori nel punto <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf0e780dfde4cefb749a03fe14266290_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(0,1,\\pi):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e198192f67babd81228caa53b66e8a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f(0,1,\\pi)=\\begin{pmatrix}e^{-0}\\cdot \\text{sen}(1\\pi) &amp; -\\pi e^{-0}\\cdot \\text{cos}(1\\pi) &amp;-1e^{-0}\\cdot \\text{cos}(1\\pi) \\\\[1.5ex] -\\pi e^{-0}\\cdot \\text{cos}(1 \\pi)&amp;-\\pi^2e^{-0}\\cdot \\text{sen}(1 \\pi) &amp;e^{-0}\\cdot \\text{cos}(1 \\pi)-1 \\pi e^{-0}\\cdot \\text{sen}(1 \\pi) \\\\[1.5ex] -1e^{-0}\\cdot \\text{cos}(1 \\pi)&amp; e^{-0}\\cdot \\text{cos}(1 \\pi)-1 \\pi e^{-0}\\cdot \\text{sen}(1 \\pi)&amp; -1^2e^{-0}\\cdot \\text{sen}(1 \\pi) \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"87\" width=\"756\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ce9c6b4cfcddfb0c2eb51db1189c653_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f(0,1,\\pi)=\\begin{pmatrix}1\\cdot 0 &amp; -\\pi \\cdot 1 \\cdot (-1)&amp;-1\\cdot 1 \\cdot (-1) \\\\[1.5ex] -\\pi \\cdot 1 \\cdot (-1) &amp;-\\pi^2\\cdot 1\\cdot 0 &amp;1 \\cdot (-1)-\\pi \\cdot 1\\cdot 0 \\\\[1.5ex] -1\\cdot 1 \\cdot (-1) &amp; 1\\cdot (-1) - \\pi \\cdot 1\\cdot 0 &amp; -1\\cdot 1 \\cdot 0 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"527\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-hessiana-32153-1.webp\" alt=\"esercizio risolto passo passo su matrice Hessiana o matrice Hessiana di dimensione 3x3\" class=\"wp-image-2536\" width=\"291\" height=\"109\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 4<\/h3>\n<p> Determina la matrice dell&#8217;Assia nel punto (2,-1,1,-1) della seguente funzione con 4 variabili: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4cf4dde4cb282d4f494142475a514b6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  f(x,y,z,w)= 2x^3y^4zw^2 - 2y^3w^4+ 3x^2z^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"320\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il primo passo \u00e8 trovare le derivate parziali del primo ordine della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d559c24695adc4e5bf25a07162b0b82c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial x} =6x^2y^4zw^2 + 6xz^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"175\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e4b630227d3c64561c2a87f729612b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial y} =8x^3y^3zw^2 - 6y^2w^4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"186\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c473febcf510cf11a4b30fad46fb3d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial z} = 2x^3y^4w^2 + 6x^2z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"166\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afc9ac6f800c06919a5bee6d6ea20a38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f}{\\partial w} =4x^3y^4zw - 8y^3w^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ora risolviamo le derivate parziali del secondo ordine della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55333bf53a5934f849b6eea4d5a4f64c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} =12xy^4zw^2 + 6z^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ecd6fb72d35cb8c8b09e14dd2337bdfd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}=\\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}=24x^2y^3zw^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02885e698f3ae93bbf9515970de030ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial z}=\\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial z \\partial x}=6x^2y^4w^2 + 12xz\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a43e7868272e5f9981fd6961c4d2078_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial w} = \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial w \\partial x}=12x^2y^4zw\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"212\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd1617aa3759b2cab9621b821d06f42d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y^2} =24x^3y^2zw^2 - 12yw^4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c019a5c8dd396e6d0ee491d1e96b0f42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial z}=\\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial z}=8x^3y^3w^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83dc31061c77785623e54e55f39c7bea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial w} = \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial w \\partial y}=16x^3y^3zw - 24y^2w^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"287\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57b2a8d35948c0ac623709a00922f2a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial^2 z} =6x^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"78\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-260eacc428eb6db6a9a5ad0b7c7e9649_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial z \\partial w} = \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial w \\partial z}=4x^3y^4w\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"192\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d4cb2a8938dfd2d17cc68cd9260eae5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial^2 w} =4x^3y^4z - 24y^3w^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto l\u2019espressione della matrice Hessiana 4\u00d74 ottenuta risolvendo tutte le derivate parziali \u00e8 la seguente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-toile-de-jute-ou-matrice-de-toile-de-jute-de-dimension-44.webp\" alt=\"esempio risolto passo dopo passo di tela o matrice di tela di dimensione 4x4\" width=\"854\" height=\"180\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine sostituiamo le incognite con i rispettivi valori in punti (2,-1,1,-1) ed eseguiamo i calcoli: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-hesse-ou-matrice-hessienne-de-dimension-44.webp\" alt=\"Esercizio risolto passo passo su matrice Hessiana o matrice Hessiana di dimensione 4x4\" width=\"457\" height=\"182\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Come fai a sapere quando la matrice dell&#8217;Assia \u00e8 positiva, negativa o indefinita?<\/h2>\n<p> Come vedremo pi\u00f9 avanti, \u00e8 molto utile sapere se la matrice hessiana \u00e8 una matrice semidefinita positiva, definita positiva, semidefinita negativa, definita negativa o indefinita. Vediamo quindi come scoprirlo:<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Criterio degli autovalori (o autovalori)<\/h3>\n<p> Un modo per sapere di che tipo di matrice si tratta \u00e8 esaminare gli autovalori (o autovalori) della matrice assiana:<\/p>\n<ul>\n<li> La matrice Hessiana \u00e8 <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>semidefinita positiva<\/strong><\/span> se ha autovalori (o autovalori) uguali e maggiori di zero. Vale a dire che ha autovalori positivi e almeno uno uguale a 0:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21d0afe89f5d1545ccda3d2bd0d8660a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lambda \\geq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La matrice Hessiana \u00e8 <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>definita positiva<\/strong><\/span> se tutti i suoi autovalori (o autovalori) sono esclusivamente maggiori di 0 (positivi):<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f203da6c7fff0b1487c2084e3d90966b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lambda > 0&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;14&#8243; width=&#8221;43&#8243; style=&#8221;vertical-align: -2px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La matrice Hessiana \u00e8 <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>semidefinita negativa<\/strong><\/span> se ha autovalori (o autovalori) uguali e inferiori a zero. Vale a dire che ha autovalori negativi e almeno uno uguale a 0:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfdf139bb553d680b38761b565dd3db8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lambda \\leq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La matrice Hessiana \u00e8 <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>definita negativa<\/strong><\/span> se tutti i suoi autovalori (o autovalori) sono minori di 0 (negativi):<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1fdc8fd3de7c5d7643ca8e4dbfe3704d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lambda < 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La matrice Hessiana \u00e8 <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>indefinita<\/strong><\/span> quando ha autovalori (o autovalori) positivi e negativi:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa9eea2abe5f790e65f0c5afab8c3adb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lambda > 0 \\qquad \\lambda <0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Criterio di Silvestro<\/h3>\n<p> Un altro modo per sapere di che tipo \u00e8 la matrice assiana \u00e8 utilizzare il criterio di Sylvester, anche se questo teorema ci permette solo di sapere se \u00e8 definita positiva, definita negativa o indefinita. Ma a volte pu\u00f2 essere molto pi\u00f9 veloce da usare perch\u00e9 i calcoli sono generalmente pi\u00f9 semplici. <\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Pertanto, il <strong>criterio di Sylvester<\/strong> \u00e8 il seguente:<\/p>\n<ul>\n<li> Se tutti i minori principali della matrice assiana sono maggiori di 0, si tratta di una matrice <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>definita positiva<\/strong><\/span> .<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Se i minori principali della matrice Hessiana con indice pari sono maggiori di 0 e quelli con indice dispari sono minori di 0, si tratta di una matrice <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>definita negativa<\/strong><\/span> .<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Se tutti i minori principali della matrice assiana sono diversi da 0 e nessuna delle due condizioni precedenti \u00e8 soddisfatta, si tratta di una matrice <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>indefinita<\/strong><\/span> . <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/majeurs-mineurs-d-une-matrice.webp\" alt=\"principali minori di matrice assiana\" class=\"wp-image-2583\" width=\"417\" height=\"361\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ovviamente il massimo principale minore della matrice Hessiana coincider\u00e0 sempre con il suo determinante. Solo a scopo informativo, il determinante della matrice dell&#8217;Assia \u00e8 anche chiamato \u201cl&#8217;Assia\u201d, anche se non lo faremo qui per evitare confusione.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Come calcolare il massimo o il minimo di una funzione con la matrice Hessiana<\/h2>\n<p> Una volta che sai come calcolare la matrice dell&#8217;Assia, probabilmente ti starai chiedendo: e a cosa serve questa matrice?<\/p>\n<p> Ebbene, una delle applicazioni della matrice Hessiana \u00e8 trovare il massimo o il minimo di una funzione con pi\u00f9 di una variabile. Ecco una spiegazione passo passo su come calcolare i massimi e i minimi:<\/p>\n<ol style=\"color:#1976d2; font-weight: bold;>\n<li><span style=\" color:#262626;font-weight:=\"\" normal;\"=\"\">\n<li style=\"margin-bottom:18px\"><span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">Innanzitutto vengono calcolati i <strong>punti critici<\/strong> della funzione multivariabile. Per fare ci\u00f2, calcoliamo il gradiente o la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-jacobiana-jacobiana\/\">matrice Jacobiana<\/a> della funzione, impostiamolo uguale a 0 e risolviamo le equazioni.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">Viene calcolata la matrice dell&#8217;Assia.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">I punti critici trovati nel passaggio 1 vengono sostituiti nella matrice dell&#8217;Assia. Otterremo cos\u00ec tante matrici Hessiane quanti sono i punti critici che hanno la funzione.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">Vediamo che tipo di matrice \u00e8 ciascuna matrice dell&#8217;Assia. Osserviamo cio\u00e8 se \u00e8 definito positivo, definito negativo, indefinito, ecc.<\/span>\n<ul>\n<li style=\"margin-left:30px; margin-bottom:10px; margin-top:10px\"> <span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">Se la matrice Hessiana \u00e8 definita positiva, il punto critico \u00e8 un <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>minimo relativo<\/strong><\/span> della funzione.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-left:30px; margin-bottom:10px\"> <span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">Se la matrice Hessiana \u00e8 definita negativa, il punto critico \u00e8 un <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>massimo relativo<\/strong><\/span> della funzione.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-left:30px;\"> <span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">Se la matrice Hessiana non \u00e8 definita, il punto critico \u00e8 un <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>punto di sella<\/strong><\/span> .<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di calcolo dei massimi e dei minimi di una funzione multivariabile<\/h3>\n<p> Per vedere come viene fatto, ecco un esempio di calcolo e classificazione degli estremi relativi di una funzione utilizzando la matrice Hessiana:<\/p>\n<ul>\n<li> Trova tutti gli estremi relativi della seguente funzione multivariabile:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f422cf8ac57ec69b69af091986d534da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  f(x,y)=x^2-y^2+2xy+ 4x-4y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"262\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 calcolare la matrice Jacobiana della funzione, che in questo caso coincider\u00e0 con il gradiente perch\u00e9 \u00e8 una funzione scalare:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b583925d8f0f0a93afa22c409ae00aa8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\nabla f (x,y)=(2x+2y+4 \\ , \\ -2y+2x-4 )\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"315\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dobbiamo ora determinare i punti critici, per fare questo uguagliamo a 0 le equazioni ottenute e risolviamo il sistema di equazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b72f879adb6df18c19610c21eba3887_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\nabla f (x,y)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d851eb626a9bd385aec8f68c9df71a39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left. \\begin{array}{l} 2x+2y+4 =0 \\\\[2ex] -2y+2x-4=0 \\end{array}\\right\\} \\longrightarrow \\left. \\begin{array}{c} x = 0 \\\\[1.1ex] y = -2 \\end{array}\\right\\} \\longrightarrow \\ (0,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"383\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi il punto critico che abbiamo trovato \u00e8 (0,-2).<\/p>\n<p> Trovato il punto critico della funzione, dobbiamo calcolare la matrice Hessiana:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-702fa5f5c3e3d872e1ec0dad0e3216c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f (x,y)=\\begin{pmatrix}2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; -2  \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"160\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E, ovviamente, la matrice Hessiana valutata nel punto critico \u00e8 la stessa:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b56ffff28d1a9b98c9848891ae924eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f (0,-2)=\\begin{pmatrix}2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; -2 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"172\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per vedere di che tipo di matrice si tratta, utilizzeremo il criterio di Sylvester. Risolviamo quindi i minori principali della matrice:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-226cf6a18d27a9da300823c13158d56a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix}2 \\end{vmatrix} = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d66efe9fca481475009bb1703939e4f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix}2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; -2 \\end{vmatrix} = -8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"104\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La principale minore 1 (dispari) \u00e8 positiva e la principale minore 2 (pari) \u00e8 negativa, quindi secondo il criterio di Sylvester \u00e8 una <strong>matrice indefinita.<\/strong> E, quindi, il punto critico (0,-2) \u00e8 un <strong>punto di sella.<\/strong> <\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-119\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Determinazione della concavit\u00e0 o convessit\u00e0 di una funzione con la matrice Hessiana<\/h2>\n<p> Un altro utilizzo della matrice Hessiana \u00e8 sapere se una funzione \u00e8 concava o convessa. E questo pu\u00f2 essere determinato secondo il seguente teorema:<\/p>\n<p> Essere<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e87f01194fba5ba72beb64431139ece0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A \\subseteq \\mathbb{R}^n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> un insieme aperto e<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fa98607bbf0ec2af91778a78a134c97_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f \\colon A \\to \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> una funzione le cui derivate seconde sono continue, la sua concavit\u00e0 e convessit\u00e0 sono definite dalla matrice Hessiana:<\/p>\n<ul style=\"color:#1976d2; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">Funzione\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p><\/span> \u00e8 <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>convesso<\/strong><\/span> ovunque<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> se e solo se la sua matrice Hessiana \u00e8 semidefinita positiva in ogni punto dell&#8217;insieme.<\/li>\n<li> <span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">Funzione\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p><\/span> \u00e8 <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>rigorosamente convesso<\/strong><\/span> ovunque<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> se e solo se la sua matrice Hessiana \u00e8 definita positiva in ogni punto dell&#8217;insieme.<\/li>\n<\/ul>\n<p> <strong><span style=\"color:#1976d2;\">\u2713<\/span><\/strong> Pertanto, se<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 una funzione convessa in un punto in cui anche la matrice Jacobiana svanisce, questo punto \u00e8 un <strong>minimo locale<\/strong> .<\/p>\n<ul style=\"color:#1976d2; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">Funzione\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p><\/span> \u00e8 complessivamente <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>concavo<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> se e solo se la sua matrice Hessiana \u00e8 semidefinita negativa in ogni punto dell&#8217;insieme.<\/li>\n<li> <span style=\"color:#262626;font-weight: normal;\">Funzione\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p><\/span> \u00e8 complessivamente <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>rigorosamente concavo<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> se e solo se la sua matrice Hessiana \u00e8 definita negativa in ogni punto dell&#8217;insieme.<\/li>\n<\/ul>\n<p> <strong><span style=\"color:#1976d2;\">\u2713<\/span><\/strong> Pertanto, se<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 una funzione concava in un punto in cui anche la matrice Jacobiana svanisce, questo punto \u00e8 un <strong>massimo locale<\/strong> .<\/p>\n<p> Di seguito hai un esempio di funzione convessa e un altro di funzione concava rappresentata in uno spazio tridimensionale: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-7\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> funzione convessa <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/convexite-et-concavite-d-une-fonction-avec-la-matrice-hessienne.webp\" alt=\"determinare la funzione convessa o concava con la matrice dell'Assia\" width=\"411\" height=\"308\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>funzione concava<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/concavite-et-convexite-d-une-fonction-avec-la-matrice-hessienne.webp\" alt=\"L'immagine ha un attributo ALT vuoto; il nome del file \u00e8 concavit\u00e0-e-convessit\u00e0-di-una-funzione-con-la-matrice-di-iuta-1024x768.jpg\" width=\"411\" height=\"307\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Ulteriori applicazioni della matrice dell&#8217;Assia<\/h2>\n<p> Gli usi principali della matrice Hessiana sono quelli che abbiamo gi\u00e0 visto, tuttavia ha anche altre applicazioni. Ve li spieghiamo di seguito per i pi\u00f9 curiosi.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Polinomio di Taylor<\/h3>\n<p> L&#8217;espansione del <strong>polinomio di Taylor<\/strong> per funzioni di 2 o pi\u00f9 variabili nel punto<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> inizia cos\u00ec:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-813a551888f2fe0d61201e11c9cf83da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  T(x) = f(a) + (x-a)^T \\nabla f(a) + \\frac{1}{2}(x-a)^T \\operatorname{H}_f(a)(x-a) + \\ldots\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"475\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come puoi vedere, i termini del secondo ordine dell&#8217;espansione di Taylor sono dati dalla matrice Hessiana valutata nel punto di espansione del polinomio.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Matrice di tela bordata<\/h3>\n<p> Un altro utilizzo della matrice Hessiana \u00e8 calcolare i minimi e i massimi di una funzione multivariata<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9f627258270ef54673906bdea5bc47c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x,y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> limitato a un altro ruolo<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-629bf228b3d2b0003d598c1591ec6000_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g(x,y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . Per risolvere questo problema si utilizza la <strong>matrice Hessiana limitata<\/strong> e si segue la seguente procedura:<\/p>\n<p> <strong>Passaggio 1:<\/strong> viene calcolata la funzione Lagrange, definita dalla seguente espressione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7253e3e437e00468c7dc9b5e4546991a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle L(x,y,\\lambda) = f(x,y)+ \\lambda \\cdot g(x,y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"241\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Passo 2:<\/strong> Vengono trovati i punti critici della funzione Lagrange. Per fare ci\u00f2, calcoliamo il gradiente della funzione di Lagrange, impostiamo le equazioni uguali a 0 e risolviamo le equazioni.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-372152b499747854f2da5a2c8c211ce4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\nabla L = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d76d99126f67279a1302a805e2b12e2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial L}{\\partial x} = 0 \\qquad \\cfrac{\\partial L}{\\partial y}=0 \\qquad \\cfrac{\\partial L}{\\partial \\lambda}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"240\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Passaggio 3:<\/strong> Per ogni punto trovato, calcoliamo l&#8217;Assia delimitata, che \u00e8 definita dalla seguente matrice:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d1b2b04de9559a521e6704151c27bc4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H(f,g) = \\begin{pmatrix}0 &amp; \\cfrac{\\partial g}{\\partial x_1} &amp; \\cfrac{\\partial g}{\\partial x_2} &amp; \\cdots &amp; \\cfrac{\\partial g}{\\partial x_n} \\\\[4ex] \\cfrac{\\partial g}{\\partial x_1} &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_1^2} &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_1\\,\\partial x_2} &amp; \\cdots &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_1\\,\\partial x_n} \\\\[4ex] \\cfrac{\\partial g}{\\partial x_2} &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_2\\,\\partial x_1} &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_2^2} &amp; \\cdots &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_2\\,\\partial x_n} \\\\[3ex] \\vdots &amp; \\vdots &amp; \\vdots &amp; \\ddots &amp; \\vdots \\\\[3ex] \\cfrac{\\partial g}{\\partial x_n} &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_n\\,\\partial x_1} &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_n\\,\\partial x_2} &amp; \\cdots &amp; \\cfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_n^2}\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"289\" width=\"415\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Passaggio 4:<\/strong> determiniamo per ciascun punto critico se \u00e8 un massimo o un minimo:<\/p>\n<ul>\n<li> Questo sar\u00e0 un massimo locale della funzione\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> sotto vincoli di funzione<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> se gli ultimi <em>nm<\/em> (dove <em>n<\/em> \u00e8 il numero di variabili e <em>m<\/em> il numero di vincoli) principali minori della matrice Hessiana delimitata valutata nel punto critico hanno segni alternati iniziando dal segno negativo.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Questo sar\u00e0 un minimo locale della funzione\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> sotto vincoli di funzione<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> se gli ultimi <em>nm<\/em> (dove <em>n<\/em> \u00e8 il numero di variabili e <em>m<\/em> il numero di vincoli) principali minori della matrice Hessiana netta valutata nel punto critico hanno tutti segno negativo.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Va tenuto presente che i minimi o massimi relativi di una funzione vincolata rispetto a un&#8217;altra non devono necessariamente essere cos\u00ec per la funzione non vincolata. La matrice Hessiana delimitata \u00e8 quindi utile solo per questo tipo di problemi.<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Rapporto con altre operazioni<\/h3>\n<p> Infine, la matrice Hessiana \u00e8 legata anche ad altre importanti operazioni o matrici, principalmente con la matrice Jacobiana e con l&#8217;operatore di Laplace.<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Relazione con la matrice Jacobiana<\/h4>\n<p> La matrice Hessiana di una funzione<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la <strong>matrice Jacobiana<\/strong> del gradiente della stessa funzione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96ab1054f3c447eedac17f9ce04b4606_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f = J(\\nabla f)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Operatore di Laplace<\/h4>\n<p> La traccia della matrice Hessiana \u00e8 equivalente <strong>all&#8217;operatore di Laplace<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77f16c5285ca6a9ac5899d6e832e9a40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle tr( H_f) = \\Delta f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questa uguaglianza pu\u00f2 essere facilmente dimostrata, poich\u00e9 la definizione dell&#8217;operatore di Laplace \u00e8 la divergenza del gradiente di una funzione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a3e06f41c5bd51c969601d46507a9c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\Delta f =\\nabla \\cdot (\\nabla f) = (\\nabla \\cdot \\nabla )f = \\nabla^2 f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"262\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La sua espressione \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7e1ec07ef9178ea4dd56d9cae72d275_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\Delta f = \\cfrac{\\partial ^2 f}{\\partial^2 x_1} +\\cfrac{\\partial ^2 f}{\\partial^2 x_2} + \\cfrac{\\partial ^2 f}{\\partial^2 x_3}+ \\ldots +\\cfrac{\\partial ^2 f}{\\partial^2 x_n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -15px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E questa somma \u00e8 solo la traccia della matrice assiana, quindi l&#8217;equivalenza \u00e8 dimostrata.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questa pagina \u00e8 sicuramente la spiegazione pi\u00f9 completa esistente della matrice dell&#8217;Assia. 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