{"id":323,"date":"2023-07-06T09:09:37","date_gmt":"2023-07-06T09:09:37","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-antihermitiana-o-antihermitiana\/"},"modified":"2023-07-06T09:09:37","modified_gmt":"2023-07-06T09:09:37","slug":"matrice-antihermitiana-o-antihermitiana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-antihermitiana-o-antihermitiana\/","title":{"rendered":"Matrice antihermitiana (o antihermitiana)."},"content":{"rendered":"

In questa pagina vedrai cos’\u00e8 una matrice antihermitiana, detta anche matrice antihermitiana. Troverai esempi di matrici anti-Hermitiane, tutte le loro propriet\u00e0 e la forma di questo tipo di matrici quadrate complesse. Infine, troverai la spiegazione di come scomporre qualsiasi matrice complessa nella somma di una matrice anti-Hermitiana pi\u00f9 un’altra matrice Hermitiana.<\/p>\n

Cos’\u00e8 una matrice antihermitiana o antihermitiana? <\/h2>\n
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Una matrice anti-Hermitiana<\/strong> , o detta anche matrice anti-Hermitiana, \u00e8 una matrice quadrata di numeri complessi la cui trasposizione coniugata \u00e8 uguale alla stessa matrice ma di segno diverso.<\/p>\n<\/p>\n

\"A^*=-A\"<\/p>\n<\/p>\n

Oro<\/p>\n<\/p>\n

\"A^*\"<\/p>\n

\u00e8 la matrice coniugata trasposta<\/a> di<\/p>\n

\"A\"<\/p>\n

.<\/p>\n<\/div>\n

Per curiosit\u00e0, questo tipo di matrice \u00e8 chiamata cos\u00ec perch\u00e9 soddisfa la condizione opposta della matrice hermitiana<\/a> , il cui nome deriva dall’importante matematico francese Charles Hermite, professore e ricercatore di matematica del XIX secolo che comp\u00ec importanti studi tra cui in il campo dell\u2019algebra lineare.<\/p>\n

Esempi di matrici antihermitiane<\/h2>\n

Una volta vista la definizione di matrice antihermitiana (o matrice antihermitiana) vedremo alcuni esempi di matrici antihermitiane di diverse dimensioni:<\/p>\n

Esempio di matrice antihermitiana di ordine 2\u00d72<\/span> <\/p>\n

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\"matrice<\/figure>\n<\/div>\n

Esempio di matrice antihermitiana di dimensione 3\u00d73<\/span> <\/p>\n

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\"matrice<\/figure>\n<\/div>\n

Esempio di matrice antihermitiana di dimensione 4\u00d74<\/span> <\/p>\n

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\"matrice<\/figure>\n<\/div>\n

Come puoi vedere, le matrici A, B e C sono anti-Hermitiane perch\u00e9 la matrice trasposta coniugata di ciascuna \u00e8 uguale alla matrice stessa ma con tutti gli elementi cambiati segno.<\/p>\n

Struttura di una matrice antihermitiana<\/h2>\n

Se avete gi\u00e0 visto gli esempi precedenti, le matrici anti-Hermitiane hanno sempre la stessa struttura: sono formate dai numeri immaginari (privi di parte reale) sulla diagonale principale, e dall’elemento complesso situato sulla i-esima retta e sulla j-esima linea. la colonna deve avere la stessa parte immaginaria e la stessa parte reale ma cambiato segno come l’elemento della j-esima riga e della i-esima colonna.<\/p>\n

Anche se questo pu\u00f2 sembrare un po\u2019 complicato, \u00e8 sicuramente meglio compreso dal seguente esempio:<\/p>\n

Struttura di una matrice antihermitiana di dimensione 2\u00d72<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Come puoi vedere, gli elementi della diagonale principale di una matrice antihermitiana sono totalmente immaginari e gli elementi della diagonale secondaria hanno la stessa parte immaginaria e la parte reale ha cambiato segno.<\/p>\n

Pertanto, la parte reale di una matrice antihermitiana deve essere antisimmetrica e la parte immaginaria simmetrica.<\/p>\n

Propriet\u00e0 della matrice antihermitiana<\/h2>\n

Vedremo ora quali sono le propriet\u00e0 di questo tipo di matrice quadrata complessa:<\/p>\n