{"id":322,"date":"2023-07-06T09:24:32","date_gmt":"2023-07-06T09:24:32","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-hermitiana-o-hermitiana\/"},"modified":"2023-07-06T09:24:32","modified_gmt":"2023-07-06T09:24:32","slug":"matrice-hermitiana-o-hermitiana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-hermitiana-o-hermitiana\/","title":{"rendered":"Matrice hermitiana (o hermitiana)."},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina puoi scoprire cos&#8217;\u00e8 una matrice Hermitiana, nota anche come matrice Hermitiana. Troverai esempi di matrici hermitiane, tutte le loro propriet\u00e0 e la forma che hanno questi tipi di matrici per comprenderle perfettamente. Infine, spiegheremo anche come scomporre qualsiasi matrice complessa nella somma di una matrice Hermitiana pi\u00f9 una matrice anti-Hermitiana.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cos&#8217;\u00e8 una matrice hermitiana o hermitiana? <\/h2>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Una <strong>matrice Hermitiana<\/strong> , o detta anche matrice Hermitiana, \u00e8 una matrice quadrata di numeri complessi che ha la caratteristica di essere uguale alla sua <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/coniugato-di-matrice-complessa-e-coniugato-di-trasposizione\/\">trasposta coniugata<\/a> .<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30b1f42fa0ce4bd6ccc8246e80f5ac19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=A^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d4c81a666954cf4d9d7889c69274641_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la matrice di trasposizione coniugata di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<\/div>\n<p> Per curiosit\u00e0, questo tipo di matrice prende il nome in onore di Charles Hermite, un matematico francese del XIX secolo che fece importanti ricerche in matematica, in particolare nel campo dell&#8217;algebra lineare.<\/p>\n<p> Il motivo per cui questa matrice \u00e8 stata chiamata in questo modo \u00e8 che mostra che gli autovalori (o gli autovalori) di queste particolari matrici sono sempre numeri reali, ma lo spiegheremo pi\u00f9 in dettaglio in Propriet\u00e0 delle matrici hermitiane.<\/p>\n<p> Infine, questa matrice pu\u00f2 talvolta essere definita anche matrice autoaggiunta, sebbene ci\u00f2 sia molto raro.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempi di matrici hermitiane<\/h2>\n<p> Una volta vista la definizione di matrice Hermitiana (o matrice Hermitiana), vediamo alcuni esempi di matrici Hermitiane di diverse dimensioni:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Esempio di matrice Hermitiana di ordine 2\u00d72<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/hermitienne-ou-matrice-hermitienne-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"Matrice Hermitiana o Hermitiana di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-2263\" width=\"154\" height=\"68\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Esempio di matrice hermitiana di dimensione 3 \u00d7 3<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/hermitienne-ou-matrice-hermitienne-de-dimension-32153-1.webp\" alt=\"Matrice Hermitiana o Hermitiana di dimensione 3x3\" class=\"wp-image-2264\" width=\"211\" height=\"102\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Esempio di matrice Hermitiana di dimensione 4\u00d74<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/hermitienne-ou-matrice-hermitienne-de-dimension-42154-1.webp\" alt=\"Matrice Hermitiana o Hermitiana di dimensione 4x4\" class=\"wp-image-2265\" width=\"292\" height=\"140\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Tutte queste matrici sono hermitiane perch\u00e9 la matrice di trasposizione coniugata di ciascuna \u00e8 uguale alla matrice stessa.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Struttura di una matrice Hermitiana<\/h2>\n<p> Le matrici Hermitiane hanno una struttura molto facile da ricordare: sono costituite da numeri reali sulla diagonale principale, e l&#8217;elemento complesso situato nella i-esima riga e nella j-esima colonna deve essere il coniugato dell&#8217;elemento che si trova nella j-esima riga e l&#8217;iesima colonna.<\/p>\n<p> Ecco alcuni esempi di strutture di matrice Hermitiana. <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-11\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>Struttura hermitiana 2&#215;2<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7c3eb7e683eabc86f70d307886a25f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix}a&amp; b\\\\[1.1ex] \\overline{b} &amp; c \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>Struttura hermitiana 3\u00d73<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f7d10b69e2e0edf09a8dd5eca195c00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix}a&amp; b &amp; c \\\\[1.1ex] \\overline{b} &amp; d &amp; e \\\\[1.1ex] \\overline{c} &amp; \\overline{e} &amp; f\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"83\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>Struttura Hermitiana 4\u00d74<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d2a67c9e5748a431c83128df2b720df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix}a&amp; b &amp; c &amp; d \\\\[1.1ex] \\overline{b} &amp; e &amp; f &amp; g \\\\[1.1ex] \\overline{c} &amp; \\overline{f} &amp; h &amp; i \\\\[1.1ex] \\overline{d} &amp; \\overline{g} &amp; \\overline{i} &amp; j \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"117\" width=\"110\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriet\u00e0 della matrice hermitiana<\/h2>\n<p> Vedremo ora quali sono le propriet\u00e0 di questo tipo di matrice quadrata complessa:<\/p>\n<ul>\n<li> Qualsiasi matrice Hermitiana \u00e8 una <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-normale\/\">matrice normale<\/a> . Sebbene non tutte le matrici normali siano matrici hermitiane.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Qualsiasi matrice Hermitiana \u00e8 diagonalizzabile. Inoltre, la matrice diagonale risultante contiene solo elementi reali.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Pertanto gli autovalori (o autovalori) di una matrice hermitiana sono sempre numeri reali. Questa propriet\u00e0 fu scoperta da Charles Hermite, e per questo motivo ebbe l&#8217;onore di chiamare Hermitiana questa matrice cos\u00ec speciale.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Allo stesso modo, gli autospazi di una matrice hermitiana sono ortogonali a due a due: esiste una base ortonormale di\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc61a7b2bce8192ab9946341daf2177a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbb{C}^n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> costituito da autovettori (autovettori) della matrice.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Una matrice di numeri reali, vale a dire che nessun elemento ha una parte immaginaria, \u00e8 hermitiana se e solo se \u00e8 una matrice simmetrica. Come ad esempio la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\">matrice identit\u00e0 2\u00d72<\/a> .<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Una matrice hermitiana pu\u00f2 essere espressa come la somma di una matrice simmetrica reale e di una <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-e-proprieta-di-matrici-antisimmetriche\/\">matrice antisimmetrica<\/a> immaginaria. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6665f14b3ae5de02e85e92f2a15ba1d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A =B+Ci\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<ul>\n<li> La somma (o sottrazione) di due matrici Hermitiane \u00e8 uguale ad un&#8217;altra matrice Hermitiana, perch\u00e9:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ce5d6e5007ded4d8c7c740a9a1a63d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A\\pm B)^* = A^*\\pm B^* = A \\pm B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il risultato del prodotto di una matrice Hermitiana per uno scalare \u00e8 un&#8217;altra matrice Hermitiana se lo scalare \u00e8 un numero reale.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4244f2ea9895585bd55fd0f9732034b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(k \\cdot A)^* = \\overline{k}\\cdot A^* = k \\cdot A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"183\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il prodotto di due matrici hermitiane generalmente non \u00e8 pi\u00f9 hermitiano. Tuttavia il prodotto \u00e8 hermitiano quando le due matrici sono commutabili, cio\u00e8 quando il risultato della moltiplicazione delle due matrici \u00e8 lo stesso indipendentemente dalla direzione in cui vengono moltiplicate, perch\u00e9 allora la seguente condizione delle operazioni con trasposizione coniugata matrici:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ebe46eaf703e2b0c322383991dcfd10d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A \\cdot B)^* = B^*\\cdot A^* = B \\cdot A = A \\cdot B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"268\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Se una matrice Hermitiana \u00e8 invertibile, anche la sua inversa risulta essere una matrice Hermitiana.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49f97d0c351dcca3d6dd325c016d8f48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = A^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"183\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il determinante di una matrice hermitiana \u00e8 sempre equivalente a un numero reale. Ecco la prova di questa propriet\u00e0:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2131a8de361ad2b31e22f5a61333347c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"det(A) = det(A^t) \\ \\longrightarrow \\ det(A^*) = \\overline{det(A)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"315\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Assetato<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-671e0d35eb1b321fb9eb2c728815e8f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A = A^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b726da4490306c53066a62df96765c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"det(A) = \\overline{det(A)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, affinch\u00e9 questa condizione sia soddisfatta, il determinante di una matrice hermitiana deve necessariamente essere un numero reale. In questo modo il coniugato del risultato \u00e8 uguale al risultato stesso.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Scomposizione di una matrice complessa in una matrice Hermitiana e una matrice anti-Hermitiana<\/h2>\n<p> Qualsiasi matrice con elementi complessi pu\u00f2 essere <strong>scomposta nella somma di una matrice Hermitiana pi\u00f9 un&#8217;altra <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-antihermitiana-o-antihermitiana\/\">matrice anti-Hermitiana<\/a><\/strong> . Ma per questo \u00e8 necessario conoscere le seguenti particolarit\u00e0 di questi tipi di matrici:<\/p>\n<ul>\n<li> La somma di una matrice quadrata complessa pi\u00f9 il suo coniugato trasposto d\u00e0 una matrice hermitiana.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57572ba6df31f7ad03d06358f2dcf50c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C + C^* = \\text{Matriz Hermitiana}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La differenza tra una matrice quadrata complessa e il suo coniugato trasposto d\u00e0 una matrice anti-Hermitiana (o anti-Hermitiana).<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70585e93ed3cecd58925a5a0c33ab14a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C - C^* = \\text{Matriz Antihermitiana}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"258\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Pertanto, tutte le matrici complesse possono essere scomposte nella somma di una matrice Hermitiana e di una matrice anti-Hermitiana. Questo teorema \u00e8 noto come <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>decomposizione di Teoplitz<\/strong><\/span> :<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74e1d9a0d55d77dd927109e42986c200_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c} C = A + B \\\\[2ex] A =  \\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^*) \\qquad B = \\cfrac{1}{2} \\cdot (C-C^*)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"299\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dove C \u00e8 la matrice complessa che vogliamo scomporre, C* il suo coniugato trasposto, ed infine A e B sono rispettivamente le matrici Hermitiana e AntiHermitiana in cui viene scomposta la matrice C.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina puoi scoprire cos&#8217;\u00e8 una matrice Hermitiana, nota anche come matrice Hermitiana. 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