{"id":321,"date":"2023-07-06T09:59:20","date_gmt":"2023-07-06T09:59:20","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-unitaria\/"},"modified":"2023-07-06T09:59:20","modified_gmt":"2023-07-06T09:59:20","slug":"matrice-unitaria","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-unitaria\/","title":{"rendered":"Matrice unitaria"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cos&#8217;\u00e8 la matrice unitaria e, inoltre, la illustriamo con diversi esercizi in modo che sia ben compresa. Scoprirai inoltre quali sono tutte le propriet\u00e0 di questo tipo di matrice cos\u00ec importante per l&#8217;algebra lineare.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cos&#8217;\u00e8 una matrice unitaria?<\/h2>\n<p> La definizione di matrice unitaria \u00e8 la seguente: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Una <strong>matrice unitaria<\/strong> \u00e8 una matrice complessa che moltiplicata per la sua <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/coniugato-di-matrice-complessa-e-coniugato-di-trasposizione\/\">matrice di trasposizione coniugata<\/a> \u00e8 uguale alla matrice identit\u00e0. Cio\u00e8, \u00e8 soddisfatta la seguente condizione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b382ce59eebf001ec9f1a07cebfd7d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"U\\cdot U^* = U^* \\cdot U =I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"152\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b60fc262803f27ba3717d8ec4eb656d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"U\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 una matrice unitaria e<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db11158221d0c663d1a4da78e077a3f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"U^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> la sua trasposizione coniugata.<\/p>\n<\/div>\n<p> Pertanto, questa condizione implica che <strong>l&#8217;inversa di una matrice unitaria sia la sua trasposta coniugata<\/strong> , perch\u00e9, secondo la definizione di matrice inversa, una matrice \u00e8 l&#8217;inversa di un&#8217;altra se il suo prodotto \u00e8 equivalente alla matrice d&#8217;identificazione .<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8f035ef94e00b67acffd2881944642f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} U \\cdot U^*  =I \\\\[2ex] U \\cdot U^{-1} = I\\end{array} \\right\\} \\longrightarrow \\ U^*=U^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"236\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto una matrice unitaria sar\u00e0 sempre una <strong>matrice regolare o non degenere<\/strong> , poich\u00e9 avr\u00e0 sempre un&#8217;inversa.<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, l&#8217;analogo di una matrice unitaria in un ambiente di numeri reali \u00e8 la <strong>matrice ortogonale<\/strong> , e in questo caso \u00e8 vero che la matrice unitaria moltiplicata per la sua trasposta \u00e8 uguale alla matrice identit\u00e0.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cc2f9e0f4e1c41a0e3ab402c6465d59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"U\\cdot U^t = U^t \\cdot U =I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"149\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi in questo caso la matrice inversa di U sarebbe direttamente la sua matrice trasposta (o trasposta).<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempi di matrici unitarie<\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrice unitaria di dimensione 2\u00d72<\/h3>\n<p> Una volta visto il concetto di matrice unitaria, vedremo un esempio di matrice unitaria 2\u00d72 per capirlo bene: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-unitaire-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"esempio di matrice unitaria di dimensione 2x2\" class=\"wp-image-2204\" width=\"222\" height=\"69\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Questa matrice \u00e8 unitaria perch\u00e9 la moltiplicazione di se stessa per la sua matrice coniugata d\u00e0 la matrice Identit\u00e0 (o Unit\u00e0):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11df575022f8a50881fedc994f4f12af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle U\\cdot U^*=\\cfrac{1}{3} \\begin{pmatrix} 2 &amp; -2+i \\\\[1.1ex] 2+i &amp; 2 \\end{pmatrix}\\cdot \\cfrac{1}{3} \\begin{pmatrix} 2 &amp; 2-i \\\\[1.1ex] -2-i &amp; 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"456\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E, come abbiamo visto in precedenza, qualsiasi matrice unitaria \u00e8 commutabile con la sua trasposta coniugata: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4848f3eab836be0996049e221bb8a8c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle U^*\\cdot U=\\cfrac{1}{3} \\begin{pmatrix} 2 &amp; 2-i \\\\[1.1ex] -2-i &amp; 2 \\end{pmatrix}\\cdot \\cfrac{1}{3} \\begin{pmatrix} 2 &amp; -2+i \\\\[1.1ex] 2+i &amp; 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"456\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di matrice diagonale unitaria<\/h3>\n<p> Anche la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-diagonale\/\">matrice diagonale<\/a> composta solo dal numero complesso <em>i<\/em> \u00e8 un esempio di matrice unitaria, indipendentemente dalla dimensione della matrice. Di seguito \u00e8 riportato un esercizio risolto che illustra questo con una matrice unitaria di dimensione 3 \u00d7 3: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-unitaire-de-3-dimensions-32153-1.webp\" alt=\"esempio di matrice unitaria di dimensione 3x3\" class=\"wp-image-2211\" width=\"153\" height=\"105\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Si noti che se risolviamo il prodotto della matrice mediante la sua trasposizione coniugata, si ottiene come soluzione la matrice Identit\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61bc73f95b9c2515595fe3ed2e18df3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle U\\cdot U^* =\\begin{pmatrix} i &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; i &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0&amp; 0 &amp; i \\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix} -i &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; -i &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0&amp; 0 &amp; -i \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0&amp; 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"406\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E la stessa cosa accade se moltiplichiamo le matrici al contrario:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5cdf7b15d442ec89fde613ba2fd3fe45_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle U^*\\cdot U =\\begin{pmatrix} -i &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; -i &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0&amp; 0 &amp; -i \\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix} i &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; i &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0&amp; 0 &amp; i \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0&amp; 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"406\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La caratteristica di questa matrice \u00e8 che serve come esempio di matrice unitaria di qualsiasi dimensione, poich\u00e9 ogni volta che la matrice \u00e8 formata dal numero immaginario <em>i<\/em> sulla diagonale principale e il resto degli elementi sono zero (0 ) sar\u00e0 una matrice unitaria.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriet\u00e0 di una matrice unitaria<\/h2>\n<p> Le propriet\u00e0 delle matrici unitarie sono le seguenti:<\/p>\n<ul>\n<li> Ovviamente qualsiasi matrice unitaria \u00e8 una <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-normale\/\">matrice normale<\/a> . Sebbene non tutte le matrici normali siano matrici unitarie.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Le matrici unitarie sono sempre <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/matrice-quadrata\/\">matrici quadrate<\/a> .<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Tutte le matrici unitarie sono diagonalizzabili, cio\u00e8 possono essere trasformate in matrici diagonali.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Il valore assoluto del determinante di una matrice unitaria \u00e8 sempre pari a 1.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3fd4555e54680e0af331c0cc03865df1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{vmatrix} det(U) \\end{vmatrix} = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\">matrice identica<\/a> \u00e8 una matrice unitaria.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> per tutti\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , l&#8217;insieme di tutte le matrici unitarie<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b31629cb1899edcc0029f841492d4f36_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\\times n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"9\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> con l&#8217;operazione prodotto matrice, formano un gruppo, detto gruppo unitario.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> In modo che la moltiplicazione di due matrici unitarie dello stesso ordine d\u00e0 un&#8217;altra matrice unitaria.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Il modulo di tutti gli autovalori (o autovalori) di una matrice unitaria \u00e8 sempre uguale a 1.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05a9b3dcd4707885f2c0a2de613cfb57_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{vmatrix} \\lambda \\end{vmatrix} = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Gli autospazi di questo tipo di matrice sono ortogonali.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cos&#8217;\u00e8 la matrice unitaria e, inoltre, la illustriamo con diversi esercizi in modo che sia ben compresa. Scoprirai inoltre quali sono tutte le propriet\u00e0 di questo tipo di matrice cos\u00ec importante per l&#8217;algebra lineare. Cos&#8217;\u00e8 una matrice unitaria? 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