{"id":320,"date":"2023-07-06T09:59:57","date_gmt":"2023-07-06T09:59:57","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/tartaglia-o-triangolo-di-pascal\/"},"modified":"2023-07-06T09:59:57","modified_gmt":"2023-07-06T09:59:57","slug":"tartaglia-o-triangolo-di-pascal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/tartaglia-o-triangolo-di-pascal\/","title":{"rendered":"Triangolo di tartaglia (o di pascal)."},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cos&#8217;\u00e8 il triangolo di Tartaglia, detto anche triangolo di Pascal. Impariamo come costruire matematicamente il triangolo di Tartaglia (o Pascal), a cosa serve e quali sono tutte le sue propriet\u00e0. Infine, mostriamo come e quando \u00e8 nato questo importantissimo triangolo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-triangulo-de-Tartaglia-o-de-Pascal\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 il triangolo di Tartaglia (o di Pascal)? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> <strong>Il triangolo di Tartaglia<\/strong> , chiamato anche <strong>triangolo di Pascal<\/strong> , \u00e8 una rappresentazione matematica di numeri interi ordinati sotto forma di triangolo. Il triangolo di Tartaglia (o Pascal) viene utilizzato per effettuare calcoli matematici.<\/p>\n<p> Questa \u00e8 la definizione del triangolo di Tartaglia o Pascal, ma sicuramente capirai meglio il concetto con un&#8217;immagine del triangolo: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/triangle-de-tartaglia-ou-pascal.png\" alt=\"triangolo di tartaglia o pascal\" class=\"wp-image-1928\" width=\"347\" height=\"335\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Il triangolo di Tartaglia \u00e8 chiamato anche triangolo di Pascal dal nome del filosofo e matematico francese Blaise Pascal, che introdusse questa espressione triangolare nel 1654, sebbene questo triangolo fosse gi\u00e0 conosciuto fin dall&#8217;antichit\u00e0. Di seguito, approfondiremo la storia di questo particolare triangolo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFComo-se-construye-el-triangulo-de-Tartaglia-o-de-Pascal\"><\/span> Come \u00e8 costruito il triangolo di Tartaglia o di Pascal?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Come hai visto nel triangolo di Pascal (o Tartaglia), i numeri sono tanti, ma questo non significa che dobbiamo conoscerli a memoria (meno male). Esiste una formula che permette di trovare facilmente tutti i numeri del triangolo di Pascal o di Tartaglia, basta risolvere semplici somme.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Per <strong>costruire il triangolo di Tartaglia o Pascal,<\/strong> si inizia dalla parte superiore del triangolo, che \u00e8 sempre un 1, e poi si calcolano le linee sottostanti. Ogni numero nelle righe seguenti \u00e8 la somma dei due numeri direttamente sopra di esso, tranne le estremit\u00e0 delle righe che sono sempre 1. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-construire-le-triangle-tartaglia-de-pascal.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1936\" width=\"204\" height=\"267\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Puoi quindi calcolare quante linee del triangolo di Tartaglia vuoi, perch\u00e9 puoi sommare successivamente le linee sommando i numeri. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFPara-que-sirve-el-triangulo-de-Tartaglia-o-de-Pascal\"><\/span>A cosa serve il triangolo di Tartaglia o di Pascal?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sapere come costruire il triangolo di Tartaglia \u00e8 molto utile, ma\u2026 a cosa serve questo triangolo aritmetico? Ebbene, il triangolo di Tartaglia (o di Pascal) ha molte applicazioni in matematica, soprattutto nel campo dell&#8217;algebra.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Numeros-combinatorios\"><\/span> numeri combinatori<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Innanzitutto il triangolo di Tartaglia viene utilizzato per calcolare direttamente <strong>i numeri combinatori<\/strong> , detti anche coefficienti binomiali. Se non sai cosa sono questo tipo di operazioni, puoi cercarle sul nostro sito (abbiamo un motore di ricerca in alto a destra) perch\u00e9 abbiamo scritto un articolo dettagliato in cui spieghiamo come si risolvono e tu l\u00ec Tu troverai anche esempi ed esercizi risolti passo passo. Ma in sintesi, l\u2019espressione algebrica di un numero combinatorio \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48e679742a7495d191ee7294e52ef892_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ebbene, tutti i numeri combinatori possono essere facilmente determinati con il triangolo di Tartaglia, perch\u00e9 la soluzione di ciascun coefficiente binomiale equivale ad un numero di questa espressione triangolare come mostrato nella figura seguente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/tirangulo-de-tartaglia-pascal-nombres-combinatoires.jpg\" alt=\"numeri combinatori del triangolo di Tartaglia o Pascal\" class=\"wp-image-1969\" width=\"569\" height=\"216\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ad esempio, il numero combinatorio<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e258d8614201bad260ffdfbad6758ecc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> restituisce 6, perch\u00e9 nel triangolo di Tartaglia invece c&#8217;\u00e8 un 6.<\/p>\n<p> Quindi, se sai costruire il triangolo di Tartaglia o di Pascal, puoi calcolare qualsiasi numero combinatorio velocemente e senza usare la loro formula.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Binomio-de-Newton\"><\/span> Il binomio di Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Un altro utilizzo del triangolo di Tartaglia (o Pascal) \u00e8 quello di poter calcolare le potenze dei <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/binomi\/\">binomi<\/a><\/span><\/strong> (clicca su questo link per scoprire cos&#8217;\u00e8 un binomio).<\/p>\n<p> Un esempio del potenziamento di un binomio sono identit\u00e0 notevoli, come:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef98ef741811c17cd99e75e5f848ea69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Le identit\u00e0 notevoli sono molto importanti per la matematica, perch\u00e9 ci permettono di salvare molti calcoli e risolvere operazioni complicate in modo diretto e rapido. Ecco perch\u00e9 ti consigliamo di controllare il seguente link se ancora non sai<a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/identita-prodotti-uguaglianze-notevoli-esercizi-risolti\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">cosa sono le identit\u00e0 notevoli<\/span><\/strong><\/a> .<\/p>\n<p> Come hai visto nel link precedente, i prodotti notevoli possono essere risolti direttamente con le loro formule. Ma&#8230; cosa succede quando la coppia viene elevata al cubo o ad un livello superiore?<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b0a3cca7974eff9ac7a93f3178897c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c} (a+b)^3 = \\ ? \\\\[3ex] (a+b)^4 = \\ ? \\\\[3ex] (a+b)^5 = \\ ? \\\\[3ex] \\bm{\\vdots} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"159\" width=\"92\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ebbene, questi binomi possono essere calcolati in modo molto semplice con il triangolo di Tartaglia grazie al <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/formula-del-teorema-binomiale-o-binomiale-di-newton-ed-esercizi-risolti\/\">teorema del binomio<\/a><\/span><\/strong> (o binomio di Newton). una volta padroneggiato il metodo \u00e8 veloce da applicare, per spiegarlo bene serve una pagina intera. Quindi se sei pi\u00f9 interessato a come risolvere questo tipo di binomi, clicca sulla pagina collegata e potrai vedere come si fa.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Combinatoria\"><\/span> Combinatoria<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Il triangolo di Tartaglia, o triangolo di Pascal, pu\u00f2 essere utilizzato anche per determinare combinazioni e probabilit\u00e0.<\/p>\n<p> Se mai dovessimo incontrare un problema in cui dobbiamo determinare quanti gruppi diversi possono essere formati da un gruppo indipendentemente dall&#8217;ordine, possiamo utilizzare il triangolo di Tartaglia.<\/p>\n<p> Ad esempio, se abbiamo 5 carte, per sapere in quanti modi possiamo sceglierne 3, basta andare sulla terza colonna (la prima colonna \u00e8 zero) della quinta riga (la prima riga \u00e8 anche riga 0) del triangolo di Tartaglia. Il numero in questa posizione (10) corrisponde al numero di possibilit\u00e0 che ci sono per scegliere 3 carte.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8003481089d515094558da6166401936_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1 \\quad 5 \\quad 10 \\quad \\color{blue}\\boxed{ \\color{black}10} \\color{black} \\quad 5 \\quad 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"280\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi da 5 carte si possono formare 10 diversi gruppi di tre carte. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propiedades-del-triangulo-de-Tartaglia-o-de-Pascal\"><\/span> Propriet\u00e0 del triangolo di Tartaglia o Pascal<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il triangolo di Tartaglia, detto anche triangolo di Pascal, ha le seguenti caratteristiche:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Il triangolo di Tartaglia (o Pascal) \u00e8 simmetrico, cio\u00e8 la linea verticale che divide l&#8217;intero triangolo in due triangoli equilateri uguali \u00e8 un asse di simmetria.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">La somma orizzontale di tutti i numeri in qualsiasi linea del triangolo di Pascal \u00e8 uguale a una potenza di 2.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/proprietes-du-triangle-tartaglia-ou-pascal.jpg\" alt=\"propriet\u00e0 del triangolo di Tartaglia o di Pascal\" class=\"wp-image-1944\" width=\"481\" height=\"234\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Importanti sono anche le diagonali del triangolo di Tartaglia: i numeri sulla prima diagonale (diagonale esterna) sono uno, la seconda diagonale \u00e8 formata dalla successione di tutti i numeri naturali, la terza diagonale corrisponde ai numeri triangolari, e la quarta diagonale \u00e8 composta di numeri tetragonali (o tetraedrici).<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/tartaglia-triangle-ou-pascal-nombres-triangulaires-et-tetragonaux.jpg\" alt=\"triangolo tartaglia o numeri triangolari e tetragonali pascal\" class=\"wp-image-1948\" width=\"485\" height=\"280\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> I numeri triangolari sono numeri che possono essere rappresentati sotto forma di un triangolo. E i numeri tetragonali sono quelli che formano piramidi triangolari.<\/p>\n<p> Se non sai cosa sono i numeri triangolari o tetragonali non succede nulla, \u00e8 solo una curiosit\u00e0 sul triangolo di Tartaglia. Tuttavia, \u00e8 necessario conoscere il significato dei numeri naturali (numeri utilizzati per contare gli elementi).<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Ad eccezione del numero 1, se il primo numero di una riga \u00e8 un numero primo, tutti i numeri della stessa riga sono divisibili per quel numero. Ad esempio, nell&#8217;ottava riga (1-7-21-35-35-21-7-1), i numeri 7, 21 e 35 possono essere divisi per 7 (sette \u00e8 un numero primo).<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Un&#8217;altra particolarit\u00e0 del triangolo di Tartaglia \u00e8 che la serie di Fibonacci si pu\u00f2 trovare sommando le diagonali in un certo modo:<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/tartaglia-or-pascal-triangle-fibonacci-series.jpg\" alt=\"serie di fibonacci tartaglia o triangolo pascal\" class=\"wp-image-1956\" width=\"310\" height=\"340\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ricorda che ogni termine della sequenza di Fibonacci \u00e8 uguale alla somma dei due precedenti, i primi due termini sono 1 e 1. Pertanto i numeri che appartengono alla sequenza di Fibonacci sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,\u2026<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se sommiamo due numeri consecutivi della terza diagonale del triangolo di Pascal (1-3-6-10-15-\u2026) otteniamo un quadrato perfetto (1, 4, 9, 16, 25,\u2026).<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se dipingiamo i numeri pari del triangolo di Pascal in un colore e i numeri dispari in un altro colore, otteniamo la figura del triangolo di Sierpinski, un famoso insieme geometrico. Qui sotto puoi vedere il triangolo di Pascal di altezza 512 rappresentato con i numeri dispari colorati di nero e i numeri pari colorati di bianco:<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/sierpinski-triangle-tartaglia-pascal.png\" alt=\"triangolo di tagliaglia o triangolo di pascal di sierpinski\" class=\"wp-image-1958\" width=\"260\" height=\"251\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">La congettura di Singmaster dice che il numero di volte in cui si presenta ogni numero maggiore di 1 \u00e8 finito. O in altre parole, sebbene il numero di righe nel triangolo di Tartaglia sia infinito, il numero di volte in cui appare ogni numero tranne 1 \u00e8 finito. Per curiosit\u00e0, il numero 3003 \u00e8 l&#8217;unico finora noto ad apparire fino a otto volte nel triangolo.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Historia-del-triangulo-de-Tartaglia-o-Pascal\"><\/span> Storia del triangolo di Tartaglia o Pascal<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Ora che sappiamo come appare il triangolo di Tartaglia, vediamo quando \u00e8 stato inventato questo triangolo matematico molto speciale.<\/p>\n<p> Sebbene il nome del triangolo aritmetico sia attribuito principalmente ai famosi scienziati Tartaglia e Pascal, questo triangolo algebrico era gi\u00e0 utilizzato prima.<\/p>\n<p> La prima testimonianza di un triangolo formato da coefficienti binomiali risale al X secolo in India. Tuttavia, i persiani iniziarono a studiarne le propriet\u00e0, in particolare i matematici Al-Karaji (953-1029) e Omar Khayyam (1048-1131). Questo \u00e8 il motivo per cui in Iran \u00e8 stato reso popolare come il triangolo Khayyam-Pascal o anche semplicemente <strong>il triangolo Khayyam<\/strong> .<\/p>\n<p> Questo triangolo cominci\u00f2 ad essere introdotto in Cina nell&#8217;XI secolo dal matematico Jia Xian, ma fu pi\u00f9 tardi nel XIII secolo che Yang Hui lo introdusse come <em>triangolo aritmetico<\/em> . E per questo motivo nel Paese asiatico lo chiamano <strong>triangolo Yang Hui<\/strong> .<\/p>\n<p> Il triangolo matematico raggiunse pi\u00f9 tardi il continente europeo attraverso il tedesco Petrus Apianus, appositamente pubblicato nell&#8217;anno 1527 nel suo libro <em>Rechnung<\/em> . Da l\u00ec, il famoso algebrista italiano <strong>Niccol\u00f2 Fontana Tartaglia<\/strong> studi\u00f2 approfonditamente il triangolo durante la prima met\u00e0 del XVI secolo, e in suo onore in paesi come l&#8217;Italia \u00e8 noto come triangolo di Tartaglia.<\/p>\n<p> Infine, il francese <strong>Blaise Pascal<\/strong> dimostr\u00f2 molte delle propriet\u00e0 del triangolo studiate nella sua pubblicazione del <em>Trattato sul<\/em> <em>triangolo aritmetico<\/em> nel 1654, da cui il nome triangolo di Pascal. Va notato che alcune di queste propriet\u00e0 erano gi\u00e0 note, ma fu Pascal a realizzarne la dimostrazione per induzione matematica.<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina spieghiamo cos&#8217;\u00e8 il triangolo di Tartaglia, detto anche triangolo di Pascal. 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