{"id":308,"date":"2023-07-06T14:08:28","date_gmt":"2023-07-06T14:08:28","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/discussione-di-sistemi-di-equazioni-con-parametri\/"},"modified":"2023-07-06T14:08:28","modified_gmt":"2023-07-06T14:08:28","slug":"discussione-di-sistemi-di-equazioni-con-parametri","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/discussione-di-sistemi-di-equazioni-con-parametri\/","title":{"rendered":"Discussione di sistemi di equazioni con parametri"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina vedremo come discutere e risolvere un <strong>sistema di equazioni con parametri<\/strong> . Inoltre, troverai esempi ed esercizi risolti di sistemi di equazioni lineari con cui esercitarti.<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, per analizzare sistemi di equazioni lineari \u00e8 importante che tu sappia <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-regole-ed-esercizi-risolti-di-cramer\/\">qual \u00e8 la regola di Cramer<\/a> e <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/teorema-di-de-rouche-frobenius-con-esempi-ed-esercizi-risolti\/\">qual \u00e8 il teorema di Rouch\u00e9\u2013Frobenius<\/a> , perch\u00e9 li useremo costantemente.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di sistema di equazioni lineari con parametri<\/h2>\n<ul>\n<li> Discuti e risolvi il seguente sistema di equazioni in termini del parametro <em>m<\/em> :<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ab2286d15c20029b98a5ea4622033d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} x+y+2z= 2 \\\\[1.5ex] -x+my+2z=0 \\\\[1.5ex] 3x+mz = 4\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"155\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per prima cosa realizziamo la matrice A e la matrice estesa A&#8217; del sistema:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bef8e6b26595703c77c65178cbf90ffc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc}1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; m &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; m \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; m &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; m &amp; 4 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"404\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora risolviamo il determinante di A utilizzando la regola di Sarrus, per vedere di che rango \u00e8 la matrice:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e823f83f25f798bd854612a7352680d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{aligned}  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; m &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; m \\end{vmatrix} &amp; =m^2+6+0-6m-0+m \\\\ &amp; = m^2-5m+6 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"110\" width=\"366\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi il risultato del determinante di A dipende dal valore di <em>m<\/em> . Vedremo quindi per quali valori di <em>m<\/em> il determinante svanisce. Per fare ci\u00f2 <strong>impostiamo il risultato uguale a 0<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2101d9a1d88f3e3d29bb4758d2fb8a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle   m^2-5m+6 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E risolviamo l&#8217;equazione quadratica con la formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-51910dd69f9df6fdde6dd7597f889700_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  m = \\cfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e863082ac1f9b43df4de9fe93f5eb305_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  m = \\cfrac{-(-5) \\pm \\sqrt{(-5)^2-4\\cdot 1 \\cdot 6}}{2 \\cdot 1} = \\cfrac{5 \\pm \\sqrt{25-24}}{2} =\\cfrac{5 \\pm 1}{2} = \\begin{cases} \\bm{m = 3} \\\\[2ex] \\bm{m =2} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"537\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi quando <em>m<\/em> \u00e8 uguale a 2 o 3, il determinante di A sar\u00e0 0. E quando <em>m<\/em> \u00e8 diverso da 2 e diverso da 3, il determinante di A sar\u00e0 diverso da 0.<\/p>\n<p> Dobbiamo quindi analizzare ogni caso separatamente:<\/p>\n<p style=\"font-size:26px\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>m\u22603 e m\u22602:<\/strong><\/span><\/p>\n<p> Come abbiamo appena visto, quando il parametro <em>m<\/em> \u00e8 diverso da 2 e 3, il determinante della matrice A \u00e8 diverso da 0. Pertanto il <strong>rango di A \u00e8 3<\/strong> .<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-842ae3b68df41813d9e409968f3ae946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Inoltre, <strong>anche il rango della matrice A&#8217; \u00e8 3<\/strong> , perch\u00e9 al suo interno c&#8217;\u00e8 una sottomatrice 3\u00d73 il cui determinante \u00e8 diverso da 0. E non pu\u00f2 essere di rango 4 poich\u00e9 &#8216;non possiamo fare un determinante 4\u00d74.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Allora, poich\u00e9 il rango della matrice A \u00e8 pari al rango della matrice A&#8217; e al numero di incognite del sistema (3), per il <strong>teorema di Rouch\u00e9-Frobenius<\/strong> sappiamo che si tratta di un <strong>Sistema Determinato Compatibile<\/strong> (SCD) :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-557185e16670c72d23eec5a3ea13b487_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 3 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3  \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCD}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"436\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Una volta che sappiamo che il sistema \u00e8 un sistema determinato compatibile (DCS), applichiamo <strong>la regola di Cramer<\/strong> per risolverlo. Per fare ci\u00f2 ricordiamo che la matrice A, il suo determinante e la matrice A&#8217; sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bef8e6b26595703c77c65178cbf90ffc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc}1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; m &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; m \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; m &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; m &amp; 4 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"404\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aac47361358555f733a42cffecabdbe9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; m &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; m \\end{vmatrix} = m^2-5m+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"268\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per calcolare x con la regola di Cramer, cambiamo la prima colonna del determinante della matrice A nella colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b17f49436fdadbb014011b5c461a4a56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 2 &amp; 1 &amp; 2\\\\[1.1ex]0&amp;m&amp;2 \\\\[1.1ex] 4 &amp; 0 &amp; m \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"257\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per calcolare y con la regola di Cramer, cambiamo la seconda colonna del determinante di A nella colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6a2bf75bdabfb2c83870f1869ce19e3d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix}1 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 0 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 4 &amp; m \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}}=\\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"255\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per calcolare z con la regola di Cramer, cambiamo la terza colonna del determinante di A nella colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eebb3c4d280afc8a9aed8877ddcd4ac5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{z} = \\cfrac{\\begin{vmatrix}  1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; m &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; 4\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"254\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, la soluzione del sistema di equazioni per il caso m\u22603 e m\u22602 \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cba73a14f41d3314575e075f1229e87_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x =} \\cfrac{\\bm{2m^2+8-8m}}{\\bm{m^2-5m+6}} \\qquad \\bm{y=} \\cfrac{\\bm{-4+2m}}{\\bm{m^2-5m+6}} \\qquad \\bm{z =} \\cfrac{\\bm{-2m+4}}{\\bm{m^2-5m+6}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"470\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come puoi vedere, in questo caso la soluzione del sistema di equazioni \u00e8 una funzione di m.<\/p>\n<p> Una volta trovata la soluzione per quando m \u00e8 diverso da 2 e 3, risolveremo il sistema per quando m \u00e8 uguale a 2:<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<p style=\"font-size:26px\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>m=2:<\/strong><\/span><\/p>\n<p> Analizzeremo ora il sistema quando il parametro <em>m<\/em> \u00e8 uguale a 2. In questo caso le matrici A e A&#8217; sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f42ec4801f3e84cd44b4e0b2ae6351cf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc}1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; 2 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 2 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 4 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"377\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come abbiamo visto in precedenza, quando m=2 il determinante di A \u00e8 0. Pertanto la matrice A non \u00e8 di rango 3. Ma al suo interno ha 2\u00d72 determinanti diversi da 0, ad esempio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55ef6cd148fca7a869e14760007e1f2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}1 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 2  \\end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"213\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi, in questo caso <strong>, il rango di A \u00e8 2<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Una volta noto il rango della matrice A, calcoliamo il rango di A&#8217;. Il determinante delle prime 3 colonne d\u00e0 0, quindi proviamo gli altri possibili determinanti 3\u00d73 nella matrice A&#8217;:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c68c742cae37c52ad2566b7feec5301_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 2 &amp; 4 \\end{vmatrix} = 0 \\qquad \\begin{vmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 &amp; 4 \\end{vmatrix}=0\\qquad \\begin{vmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; 4\\end{vmatrix}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"412\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Tutti i possibili determinanti della dimensione 3\u00d73 danno 0. Ma, ovviamente, la matrice A&#8217; ha lo stesso determinante 2\u00d72 non 0 della matrice A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55ef6cd148fca7a869e14760007e1f2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}1 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 2  \\end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"213\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto <strong>anche la matrice A&#8217; \u00e8 di rango 2<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80398cfd2fff647f81c0d4160f3b2f7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi, poich\u00e9 il rango della matrice A \u00e8 uguale al rango della matrice A&#8217; ma questi due sono inferiori al numero di incognite del sistema (3), sappiamo dal <strong>teorema di Rouch\u00e9-Frobenius<\/strong> che \u00e8 Questo \u00e8 un <strong>sistema indeterminatamente compatibile<\/strong> (ICS):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96868a2569ea0ab5ca99d8dc606d3dc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=2 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \\ < \\ n =3  \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"475\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Poich\u00e9 si tratta di un ICS, dobbiamo trasformare il sistema per risolverlo. Per fare ci\u00f2 dobbiamo prima eliminare un&#8217;equazione dal sistema, in questo caso <strong>elimineremo l&#8217;ultima equazione:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10c7facda35cb8894e6bbb236e4953f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} x+y+2z= 2 \\\\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \\\\[1.5ex] \\cancel{3x+2z = 4} \\end{cases} \\longrightarrow \\quad \\begin{cases}  x+y+2z= 2 \\\\[1.5ex] -x+2y+2z=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"377\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Ora convertiamo la variabile z in \u03bb:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0155083595420da31a486927e953805c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases}x+y+2z= 2 \\\\[1.5ex] -x+2y+2z=0  \\end{cases} \\xrightarrow{z \\ = \\ \\lambda}\\quad \\begin{cases} x+y+2\\lambda= 2 \\\\[1.5ex] -x+2y+2\\lambda=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"398\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E mettiamo <strong>i termini con \u03bb con i termini indipendenti:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8486baee4be39f417988ee12b5e67c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases}x+y=2-2\\lambda \\\\[1.5ex] -x+2y=-2\\lambda \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"133\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto la matrice A e la matrice A&#8217; del sistema restano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8591e8c21bce2f49998311bbb08f7dee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 1 &amp; 1  \\\\[1.1ex] -1 &amp; 2 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{cc|c} 1 &amp; 1 &amp; 2 -2\\lambda \\\\[1.1ex] -1 &amp; 2 &amp; -2\\lambda \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"363\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Infine, una volta trasformato il sistema, <strong>applichiamo la regola di Cramer<\/strong> . Per fare ci\u00f2, risolviamo prima il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c34669d7234c9736c350f793df337bd3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 1 &amp; 1  \\\\[1.1ex] -1 &amp; 2\\end{vmatrix} =2-(-1)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"229\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per calcolare <em>x<\/em> con la regola di Cramer, cambiamo la prima colonna del determinante di A nella colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-987ebe052154332042afeb27535996f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 2 -2\\lambda &amp; 1  \\\\[1.1ex] -2\\lambda &amp; 2 \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{4-4\\lambda-(-2\\lambda)}{3} = \\cfrac{\\bm{4-2\\lambda}}{\\bm{3}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"345\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per calcolare <em>y<\/em> con la regola di Cramer, cambiamo la seconda colonna del determinante di A nella colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a3c7b2cd7319f7f9db6df7df79abb50_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 1 &amp; 2 -2\\lambda  \\\\[1.1ex] -1 &amp; -2\\lambda  \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}}=\\cfrac{-2\\lambda -(-2+2\\lambda)}{3} = \\cfrac{\\bm{2-4\\lambda} }{\\bm{3}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"379\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi quando m=2 la soluzione del sistema di equazioni \u00e8 funzione di \u03bb, poich\u00e9 \u00e8 uno SCI e quindi ha infinite soluzioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1bc871365fab3194e382053fc6b083b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x =}  \\cfrac{\\bm{4-2\\lambda}}{\\bm{3}}  \\qquad \\bm{y=}\\cfrac{\\bm{2-4\\lambda}}{\\bm{3}} \\qquad \\bm{z=\\lambda}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"274\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Abbiamo gi\u00e0 analizzato la soluzione del sistema quando il parametro <em>m<\/em> \u00e8 diverso da 2 e 3, e quando \u00e8 uguale a 2. Ci serve quindi solo l&#8217;ultimo caso: quando <em>m<\/em> assume il valore 3: <\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<p style=\"font-size:26px\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>m=3:<\/strong><\/span><\/p>\n<p> Analizzeremo ora cosa succede quando il parametro <em>m<\/em> \u00e8 3. In questo caso le matrici A e A&#8217; sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c49bbc0d7d36606aa59be050c2682de5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc}1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 3 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; 3 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 3 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; 3 &amp; 4 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"377\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come abbiamo visto in precedenza, quando m=3 il determinante di A \u00e8 0. Quindi la matrice A non \u00e8 di rango 3. Ma al suo interno ha 2\u00d72 determinanti diversi da 0, ad esempio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d88ce42feb4bba9aa74aae98e1062c4a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix}1 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 3  \\end{vmatrix} = 3 - (-1)=4 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"213\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi, in questo caso <strong>, il rango di A \u00e8 2<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Una volta noto il rango della matrice A, calcoliamo il rango di A&#8217;. Il determinante delle prime 3 colonne d\u00e0 0, proviamo quindi un altro determinante 3\u00d73 che sia interno alla matrice A&#8217;, ad esempio quello delle ultime 3 colonne:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\">\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e6f1a5c155ca004c73e51bdcbe5ece9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 3 &amp; 4\\end{vmatrix}=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"100\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, la matrice A&#8217; contiene un determinante il cui risultato \u00e8 diverso da 0, quindi <strong>la matrice A&#8217; \u00e8 di rango 3<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, quando m = 3, il rango della matrice A \u00e8 inferiore al rango della matrice A&#8217;. Quindi, dal teorema di Rouch\u00e9-Frobenius, deduciamo che il sistema \u00e8 un <strong>Sistema Incompatibile<\/strong> (SI) <strong>:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3454f804b63f3cca9bcf08bc93815f90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas}=3\\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A)=2 \\ \\neq \\ rg(A') = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"426\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto il sistema di equazioni <strong>non ha soluzione quando m = 3.<\/strong><\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Riepilogo dell&#8217;esempio:<\/h3>\n<p> Come abbiamo visto, la soluzione del sistema di equazioni dipende dal valore del parametro <em>m<\/em> . Ecco il riepilogo di tutti i casi possibili: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-32\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<ul>\n<li> <span style=\"color:#1976d2;font-size:22px\"><strong>m\u22603 e m\u22602:<\/strong><\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf366a55bd307517f94fd8aa00cdf598_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{SCD} \\longrightarrow \\begin{cases} x = \\cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6} \\\\[3.5ex] y =\\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6} \\\\[3.5ex] z = \\cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"171\" width=\"240\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<ul>\n<li> <span style=\"color:#1976d2;font-size:22px\"><strong>m=2:<\/strong><\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94002d4f4d866569ed7d6993dd977b81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{SCI} \\longrightarrow \\begin{cases} x = \\cfrac{4-2\\lambda}{3} \\\\[3.5ex] y= \\cfrac{2-4\\lambda}{3} \\\\[3.5ex] z = \\lambda \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"150\" width=\"175\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<ul>\n<li> <span style=\"color:#1976d2;font-size:22px\"><strong>m=3:<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b971789910fd078c90174ed3d662e9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{SI} \\longrightarrow\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<p> Il sistema non ha soluzione.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Qui abbiamo svolto l&#8217;intero procedimento utilizzando il teorema di Rouche e la regola di Cramer, ma i sistemi di equazioni con parametri possono anche essere discussi e risolti con <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/metodo-jordan-gauss-con-esempi-ed-esercizi-risolti\/\">il metodo di Gauss (con esercizi)<\/a> . Puoi approfondire questo metodo nella pagina collegata, dove troverai una spiegazione dettagliata della procedura oltre ad esempi ed esercizi risolti passo dopo passo.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Problemi di discussione risolti di sistemi di equazioni lineari con parametri<\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Discuti e risolvi il seguente sistema di equazioni lineari dipendenti dai parametri: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-systemes-dequations-a-parametres.webp\" alt=\"esercizio risolto di sistemi di equazioni con parametri\" class=\"wp-image-4014\" width=\"191\" height=\"123\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa realizziamo la matrice A e la matrice estesa A&#8217; del sistema:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b641845325965882d4aac899246cffb3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 4 &amp; -1 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -m \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c}4 &amp; -1 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; -3 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -m &amp; 0\\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"418\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dobbiamo ora trovare il rango della matrice A. Per fare ci\u00f2 controlliamo se il determinante dell&#8217;intera matrice \u00e8 diverso da 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d36c7cffe0248a2f45cd5871abc6ed5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{aligned}\\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 4 &amp; -1 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -m \\end{vmatrix} &amp; =-4m+9-2-3-24-m \\\\ &amp; =-5m-20 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"381\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il risultato del determinante di A dipende dal valore di m. Vedremo quindi per quali valori di m il determinante svanisce. Per fare ci\u00f2, uguagliamo il risultato risultante a 0 e risolviamo l&#8217;equazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7d065a700c5f2a7f732719be777027f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-5m-20 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc49744634d23cdf0faf446f33487eac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-5m = 20\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"79\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca8fa07f8716b941295db488a99a6425_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m = \\cfrac{20}{-5} = -4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi, quando m \u00e8 -4, il determinante di A sar\u00e0 0. E quando m \u00e8 diverso da -4, il determinante di A sar\u00e0 diverso da 0. Dobbiamo quindi analizzare ciascun caso separatamente:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\" style=\"font-size:26px\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>m\u2260-4:<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Come abbiamo appena visto, quando il parametro m \u00e8 diverso da -4, il determinante della matrice A \u00e8 diverso da 0. Pertanto il rango di A \u00e8 3.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-842ae3b68df41813d9e409968f3ae946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Inoltre anche il rango della matrice A&#8217; \u00e8 3, perch\u00e9 al suo interno c&#8217;\u00e8 una sottomatrice 3\u00d73 il cui determinante \u00e8 diverso da 0. E non pu\u00f2 essere di rango 4 poich\u00e9 &#8216;non possiamo fare un determinante 4\u00d74.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, applicando il <strong>teorema di Rouch\u00e9-Frobenius,<\/strong> sappiamo che questo \u00e8 un <strong>sistema determinato compatibile<\/strong> (SCD), perch\u00e9 l&#8217;intervallo di A \u00e8 uguale all&#8217;intervallo di A&#8217; e al numero di incognite.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31b495a48a75d7af1f23e38818bf4eca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 3 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3 \\end{array}} \\\\ \\\\ \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCD}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"436\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Una volta che sappiamo che il sistema \u00e8 una SCD, applichiamo la regola di Cramer per risolverlo. Per fare ci\u00f2 ricordiamo che la matrice A, il suo determinante e la matrice A&#8217; sono: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9e0bd352ad7713a03824ead1239041c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 4 &amp; -1 &amp; 1  \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -m \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 4 &amp; -1 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; -3 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -m &amp; 0\\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"418\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-530cb4576ee1a91d6246ed6cf9dd0fc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 4 &amp; -1 &amp; 1  \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -m\\end{vmatrix} =-5m-20\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"253\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare xatex] con la regola di Cramer, sostituiamo la prima colonna del determinante di A con la colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b076bbda8d086abedb459570d74c80a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 0 &amp; -1 &amp; 1  \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 0 &amp; -2 &amp; -m\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{0}{-5m-20} = \\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"280\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare l&#8217;incognita e con la regola di Cramer, sostituiamo la seconda colonna del determinante di A con la colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f642a8cb2fd174e5c383a4df53e11a2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 4 &amp; 0 &amp; 1  \\\\[1.1ex] 1 &amp; 0 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; -m \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{0}{-5m-20} = \\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"265\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare z con la regola di Cramer, cambiamo la terza colonna del determinante di A nella colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5020a9ba4995b9715d8d1fb4720952b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{z} = \\cfrac{\\begin{vmatrix}4 &amp; -1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; 0 \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{0}{-5m-20} = \\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"258\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, la soluzione del sistema di equazioni per il caso m\u2260-4 \u00e8:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>x=0 y=0 z=0<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\" style=\"font-size:26px\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>m=-4:<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Analizzeremo ora il sistema quando il parametro m \u00e8 -4. In questo caso le matrici A e A&#8217; sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e585e6465d27ea27ccc2c1a6ec1fe9ae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 4 &amp; -1 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; 4 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c}4 &amp; -1 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; -3 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; 0\\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"405\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Come abbiamo visto in precedenza, quando m=-4 il determinante di A \u00e8 0. Quindi la matrice A non \u00e8 di rango 3. Ma al suo interno ha 2\u00d72 determinanti diversi da 0, ad esempio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a62d150aef4ec798814d25c988b0afd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle   \\begin{vmatrix}4 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 \\end{vmatrix} =4-(-1)=5 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"213\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Poich\u00e9 la matrice ha un determinante di ordine 2 diverso da 0, la matrice A \u00e8 di rango 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Una volta conosciuto il rango di A, calcoliamo il rango di A&#8217;. Sappiamo gi\u00e0 che il determinante delle prime 3 colonne d\u00e0 0, quindi proviamo gli altri possibili determinanti 3\u00d73:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39fc49c7a63920c8956703a4851ecfc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} -1 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -3 &amp; 0 \\\\[1.1ex]  -2 &amp; 4 &amp; 0 \\end{vmatrix} = 0 \\quad \\begin{vmatrix}4 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp;  -3 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp;  4 &amp; 0  \\end{vmatrix} = 0 \\quad \\begin{vmatrix}4 &amp; -1 &amp;  0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp;  0\\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"404\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Tutti i determinanti 3\u00d73 della matrice A&#8217; sono 0, quindi neanche la matrice A&#8217; sar\u00e0 di rango 3. Tuttavia, al suo interno ha determinanti di ordine 2 diversi da 0. Ad esempio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a62d150aef4ec798814d25c988b0afd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle   \\begin{vmatrix}4 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 \\end{vmatrix} =4-(-1)=5 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"213\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi la matrice A&#8217; sar\u00e0 di rango 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80398cfd2fff647f81c0d4160f3b2f7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> L&#8217;estensione della matrice A \u00e8 uguale all&#8217;estensione della matrice A&#8217; ma queste due sono inferiori al numero di incognite nel sistema (3), quindi, secondo il teorema di Rouch\u00e9-Frobenius, c \u00e8 un Sistema Compatibile Indeterminato (ICS):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f43fdf4978386c61d18f9bb5b5883881_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=2 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3 \\end{array}} \\\\ \\\\ \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \\ < \\ n =3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"475\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> \u00c8 un sistema ICS, quindi dobbiamo trasformare il sistema per risolverlo. Eliminiamo prima un&#8217;equazione, che in questo caso sar\u00e0 l&#8217;ultima:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d5499fda37d3cbf56fbf6ecbfc6bfba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 4x-y+z= 0 \\\\[1.5ex] x+y-3z=0 \\\\[1.5ex] \\cancel{3x-2y+4z = 0} \\end{cases} \\longrightarrow \\quad \\begin{cases} 4x-y+z= 0 \\\\[1.5ex] x+y-3z=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"349\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ora convertiamo la variabile z in \u03bb:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96ea68274b072531365282e01d926718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases}4x-y+z= 0 \\\\[1.5ex] x+y-3z=0 \\end{cases} \\xrightarrow{z \\ = \\ \\lambda}\\quad \\begin{cases} 4x-y+\\lambda= 0 \\\\[1.5ex] x+y-3\\lambda=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"353\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E mettiamo i termini con \u03bb con i termini indipendenti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6192715e62cc8e3d3fe4c51da8629c70_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 4x-y=-\\lambda \\\\[1.5ex] x+y=3\\lambda \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"110\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Tali che la matrice A e la matrice A&#8217; del sistema rimangono: <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\">\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99a91208ff1742f81e799aa5ab7f9097_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 4 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{cc|c} 4 &amp; -1 &amp; -\\lambda \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 &amp; 3\\lambda \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"337\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine, una volta trasformato il sistema, applichiamo la regola di Cramer. Per fare ci\u00f2, risolviamo prima il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34832b783ddaf4af205302240d0feafb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 4 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 1 \\end{vmatrix} = 4-(-1)=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"228\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare x con la regola di Cramer, cambiamo la prima colonna del determinante di A nella colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-362167d2eaa02d7243dedd5c385d08b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix}-\\lambda &amp; -1 \\\\[1.1ex] 3\\lambda &amp; 1 \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{-\\lambda-(-3\\lambda)}{5} =\\cfrac{\\bm{2\\lambda}}{\\bm{5}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"285\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare l&#8217;incognita e con la regola di Cramer, sostituiamo la seconda colonna del determinante di A con la colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede5a3a87ac0bb9ceea4232ec7b381fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 4 &amp; -\\lambda \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3\\lambda \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{12\\lambda-(-\\lambda)}{5}=\\cfrac{\\bm{13\\lambda}}{\\bm{5}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"267\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi quando m=-4 la soluzione del sistema di equazioni \u00e8 funzione di \u03bb, poich\u00e9 \u00e8 uno SCI e quindi ha infinite soluzioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-316aed1af52eba51058c3c753717c1af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x =}\\cfrac{\\bm{2\\lambda}}{\\bm{5}}\\qquad \\bm{y=}\\cfrac{\\bm{13\\lambda}}{\\bm{5}} \\qquad \\bm{z=\\lambda}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"222\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-119\"><\/div>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 2<\/h3>\n<p> Discuti e trova la soluzione del seguente sistema di equazioni lineari dipendenti dai parametri: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-etape-par-etape-d-un-systeme-d-equations-lineaires-avec-parametres.webp\" alt=\"esercizio risolto passo dopo passo sistema di equazioni lineari con parametri\" class=\"wp-image-4020\" width=\"187\" height=\"122\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La prima cosa da fare \u00e8 la matrice A e la matrice estesa A&#8217; del sistema:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e924dd1b3fe5c0da561b92da9bf5da3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} m &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; m\\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c}m &amp; 2 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; m &amp; 3\\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"404\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dobbiamo ora trovare il rango della matrice A. Per fare ci\u00f2 controlliamo se il determinante dell&#8217;intera matrice \u00e8 diverso da 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d0f8dbb7408ac6521e0144ac2f3a8a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{aligned}\\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix}m &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; m\\end{vmatrix} &amp; =4m^2+4-4-4+4m-4m \\\\ &amp; =4m^2-4 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"384\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il risultato del determinante di A dipende dal valore di m. Vedremo quindi per quali valori di m il determinante svanisce. Per fare ci\u00f2, uguagliamo il risultato risultante a 0 e risolviamo l&#8217;equazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-059d7760bb8cee65e13e43a97e156e1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4m^2-4 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"95\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1aae0b3268b7d9e348b8eb80ce957ce8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4m^2=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"65\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f31504086ef5ec070b337db57ad444f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m^2 = \\cfrac{4}{4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-baf4ba1311e2f2ce47aecfb90a411b64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m^2 = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"55\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8dda3f9896a1a4dece5059a485cdcfb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m = \\pm 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"61\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi, quando m \u00e8 +1 o -1, il determinante di A sar\u00e0 0. E quando m \u00e8 diverso da +1 e -1, il determinante di A sar\u00e0 diverso da 0. Dobbiamo quindi analizzare ciascun caso mediante:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\" style=\"font-size:26px\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>m\u2260+1 e m\u2260-1:<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Come abbiamo appena visto, quando il parametro m \u00e8 diverso da +1 e -1, il determinante della matrice A \u00e8 diverso da 0. Pertanto il rango di A \u00e8 3.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-842ae3b68df41813d9e409968f3ae946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Inoltre anche il rango della matrice A&#8217; \u00e8 3, perch\u00e9 al suo interno c&#8217;\u00e8 una sottomatrice 3\u00d73 il cui determinante \u00e8 diverso da 0. E non pu\u00f2 essere di rango 4 poich\u00e9 &#8216;non possiamo fare un determinante 4\u00d74.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, applicando il <strong>teorema di Rouch\u00e9-Frobenius,<\/strong> sappiamo che questo \u00e8 un <strong>sistema determinato compatibile<\/strong> (SCD), perch\u00e9 l&#8217;intervallo di A \u00e8 uguale all&#8217;intervallo di A&#8217; e al numero di incognite.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31b495a48a75d7af1f23e38818bf4eca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 3 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3 \\end{array}} \\\\ \\\\ \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCD}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"436\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Una volta che sappiamo che il sistema \u00e8 una SCD, applichiamo la regola di Cramer per risolverlo. Per fare ci\u00f2 ricordiamo che la matrice A, il suo determinante e la matrice A&#8217; sono: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e924dd1b3fe5c0da561b92da9bf5da3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} m &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; m\\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c}m &amp; 2 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; m &amp; 3\\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"404\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b5114be5e37d2c91f02f22fba22edc42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix}m &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; m\\end{vmatrix}=4m^2-4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"231\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare x con la regola di Cramer, cambiamo la prima colonna del determinante di A nella colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b7402e02ee62bd78a6f880d3d122119_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 2&amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 4 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; m\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{\\bm{8m+8}}{\\bm{4m^2-4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"218\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare l&#8217;incognita e con la regola di Cramer, sostituiamo la seconda colonna del determinante di A con la colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-551c66a9530d0195a9a4ff64d42350c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} m &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 0 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3 &amp; m\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{\\bm{-10m+10}}{\\bm{4m^2-4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"235\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare z con la regola di Cramer, cambiamo la terza colonna del determinante di A nella colonna dei termini indipendenti e la dividiamo per il determinante di A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28375ce522b7644a745a9adea4c78ae7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{z} = \\cfrac{\\begin{vmatrix}m &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; 3 \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{\\bm{12m-28}}{\\bm{4m^2-4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"227\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, la soluzione del sistema di equazioni per il caso m\u2260+1 e m\u2260-1 \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59ecb2f1448989cd1c41af45e7bc4a32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x = }\\cfrac{\\bm{8m+8}}{\\bm{4m^2-4}} \\qquad \\bm{y=}\\cfrac{\\bm{-10m+10}}{\\bm{4m^2-4}}\\qquad \\bm{z =} \\cfrac{\\bm{12m-28}}{\\bm{4m^2-4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"383\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\" style=\"font-size:26px\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>m=+1:<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Analizzeremo ora il sistema quando il parametro m \u00e8 uguale a 1. In questo caso le matrici A e A&#8217; sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6af272a99ed7c281ee8dd9199698686_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; 1 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c}1 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 3\\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"377\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Come abbiamo visto in precedenza, quando m=+1 il determinante di A \u00e8 0. Quindi la matrice A non \u00e8 di rango 3. Ma al suo interno ha 2\u00d72 determinanti diversi da 0, ad esempio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ebedf6c9e4316844dc99ceca9472fac5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle   \\begin{vmatrix}2 &amp; 4\\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 \\end{vmatrix} =-4-4=-8 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"213\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Poich\u00e9 la matrice ha un determinante di ordine 2 diverso da 0, la matrice A \u00e8 di rango 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Una volta conosciuto il rango di A, calcoliamo il rango di A&#8217;. Sappiamo gi\u00e0 che il determinante delle prime 3 colonne d\u00e0 0, quindi ora proviamo, ad esempio, con il determinante delle ultime 3 colonne:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d0109b155be9f87a0cee337ddec5517_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 2 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 4 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex]  -2 &amp; 1 &amp; 3 \\end{vmatrix} = 16\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"124\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> D&#8217;altra parte, la matrice A&#8217; contiene un determinante 3\u00d73 il cui risultato \u00e8 diverso da 0, quindi la matrice A&#8217; \u00e8 di rango 3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, quando m=+1 il rango della matrice A \u00e8 inferiore al rango della matrice A&#8217;. Quindi, dal teorema di Rouch\u00e9-Frobenius, deduciamo che il sistema \u00e8 un Sistema Incompatibile (SI):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2bb3fec88cf5c6d788afb4480ab1f58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3 \\end{array}} \\\\ \\\\ \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \\ \\neq \\ rg(A') = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"426\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto il sistema di equazioni <strong>non ha soluzione quando m=+1<\/strong> , poich\u00e9 \u00e8 un sistema incompatibile.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\" style=\"font-size:26px\"> <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>m=-1:<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Analizzeremo ora il sistema quando il parametro m \u00e8 -1. In questo caso le matrici A e A&#8217; sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-46b0a00ef38d0e5a433b418de7eb1ec3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} -1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; -1 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c}-1 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 3\\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"432\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Come abbiamo visto in precedenza, quando m=-1 il determinante di A \u00e8 0. Quindi la matrice A non \u00e8 di rango 3. Ma al suo interno ha 2\u00d72 determinanti diversi da 0, ad esempio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff5373c7e7901f253421efbbd52d192e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle   \\begin{vmatrix}-1 &amp; 2\\\\[1.1ex] 2 &amp; 4 \\end{vmatrix} =-4-4=-8 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"213\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Poich\u00e9 la matrice ha un determinante di ordine 2 diverso da 0, la matrice A \u00e8 di rango 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Una volta conosciuto il rango di A, calcoliamo il rango di A&#8217;. Sappiamo gi\u00e0 che il determinante delle prime 3 colonne d\u00e0 0, quindi ora proviamo, ad esempio, con il determinante delle colonne 1, 3 e 4:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a95e30910bd64db920f3c2bcb5f2ff62_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} -1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp;  -1 &amp; 3\\end{vmatrix} = -20\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"152\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> D&#8217;altra parte, la matrice A&#8217; contiene un determinante 3\u00d73 il cui risultato \u00e8 diverso da 0, quindi la matrice A&#8217; \u00e8 di rango 3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, quando m = -1, il rango della matrice A \u00e8 inferiore al rango della matrice A&#8217;. Quindi, dal teorema di Rouch\u00e9-Frobenius, deduciamo che il sistema \u00e8 un Sistema Incompatibile (SI):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2bb3fec88cf5c6d788afb4480ab1f58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3 \\end{array}} \\\\ \\\\ \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \\ \\neq \\ rg(A') = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"426\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto il sistema di equazioni <strong>non ha soluzione quando m=-1<\/strong> , poich\u00e9 \u00e8 un sistema incompatibile.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina vedremo come discutere e risolvere un sistema di equazioni con parametri . 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