{"id":301,"date":"2023-07-06T16:09:27","date_gmt":"2023-07-06T16:09:27","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/discussione-di-sistemi-di-equazioni-utilizzando-il-metodo-di-gauss-con-esercizi-risolti\/"},"modified":"2023-07-06T16:09:27","modified_gmt":"2023-07-06T16:09:27","slug":"discussione-di-sistemi-di-equazioni-utilizzando-il-metodo-di-gauss-con-esercizi-risolti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/discussione-di-sistemi-di-equazioni-utilizzando-il-metodo-di-gauss-con-esercizi-risolti\/","title":{"rendered":"Discussione di sistemi di equazioni utilizzando il metodo gaussiano"},"content":{"rendered":"

In questa sezione vedremo come discutere e risolvere un sistema di equazioni con il metodo di Gauss-Jordan<\/strong> . Cio\u00e8, determinare se si tratta di un sistema compatibile determinato (DCS), un sistema compatibile indeterminato (ICS) o un sistema incompatibile. Inoltre, troverai esempi ed esercizi risolti per poter praticare e assimilare perfettamente i concetti.<\/p>\n

Per capire cosa spiegheremo dopo, \u00e8 importante che tu sappia gi\u00e0 come risolvere un sistema utilizzando il metodo di Gauss<\/a> , quindi ti consigliamo di dare un’occhiata prima di continuare.<\/p>\n

Sistemi compatibili determinati con il metodo di Gauss<\/h2>\n

Finch\u00e9 lo \u00e8 l’ultima riga della matrice gaussiana<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{(0<\/p>\n

, Essere<\/p>\n

\"n\"<\/p>\n

E<\/p>\n

\"m\"<\/p>\n

due numeri qualsiasi, questo \u00e8 un SCD<\/strong> (System compatibile determinato). Pertanto, il sistema ha una soluzione unica<\/strong> .<\/p>\n

La stragrande maggioranza dei sistemi sono SCD.<\/p>\n

Esempio:<\/h3>\n

Ad esempio, abbiamo questo sistema:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

La cui matrice espansa \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Per risolvere il sistema dobbiamo operare sulle righe della matrice e convertire a 0 tutti gli elementi sotto la diagonale principale. Quindi dalla seconda riga sottraiamo la prima riga e dalla terza riga sottraiamo la prima riga moltiplicata per 2:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Una volta che tutti i numeri sotto la diagonale principale sono 0, torniamo a trasformare il sistema in forma di equazione:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Quindi questo sistema \u00e8 SCD<\/strong> , poich\u00e9 la matrice \u00e8 spostata e l’ultima riga \u00e8 del tipo<\/p>\n<\/p>\n

\"(0<\/p>\n

. Pertanto lo risolviamo come sempre: eliminando le incognite dalle equazioni dal basso verso l’alto.<\/p>\n<\/p>\n

\"1z=-3\"<\/p>\n<\/p>\n

\"z<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{z=-3}\"<\/p>\n<\/p>\n

Ora che conosciamo z, inseriamo il suo valore nella seconda equazione per trovare il valore di<\/p>\n<\/p>\n

\"y\"<\/p>\n

: <\/p>\n<\/p>\n

\"6y+2z=0\\<\/p>\n<\/p>\n

\"6y-6=0\"<\/p>\n<\/p>\n

\"6y=6\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y=\\cfrac{6}{6}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{y=1}\"<\/p>\n<\/p>\n

E infine facciamo lo stesso con la prima equazione: sostituiamo i valori delle altre incognite e risolviamo<\/p>\n<\/p>\n

\"x\"<\/p>\n

: <\/p>\n<\/p>\n

\"3x+2y-z=1<\/p>\n<\/p>\n

\"3x+2+3=1\"<\/p>\n<\/p>\n

\"3x=1-2-3\"<\/p>\n<\/p>\n

\"3x=-4\"<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{-4}{3}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=<\/p>\n<\/p>\n

La soluzione del sistema di equazioni \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=<\/p>\n<\/p>\n

Sistemi incompatibili secondo il metodo di Gauss<\/h2>\n

Quando nella matrice di Gauss abbiamo una riga con tre 0 di seguito e un numero<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{(0<\/p>\n

, \u00e8 un IS<\/strong> (Sistema Incompatibile) e, pertanto, il sistema non ha soluzione<\/strong> .<\/p>\n

Esempio:<\/h3>\n

Ad esempio, immagina che dopo aver operato con la matrice gaussiana di un sistema, ci ritroviamo:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Come l’ultima riga<\/p>\n<\/p>\n

\"(0<\/p>\n

, cio\u00e8 tre 0 seguiti da un numero finale, \u00e8 un IF<\/strong> (Sistema Incompatibile) e quindi il sistema non ha soluzione<\/strong> .<\/p>\n

Sebbene non sia necessario saperlo, di seguito vedrai perch\u00e9 non ha una soluzione.<\/p>\n

Se prendiamo l’ultima riga, avremmo questa equazione:<\/p>\n<\/p>\n

\"(0<\/p>\n<\/p>\n

Questa equazione non sar\u00e0 mai soddisfatta, perch\u00e9 qualunque valore assuma z<\/em> , moltiplicandolo per 0 non dar\u00e0 mai 2 (qualsiasi numero moltiplicato per 0 d\u00e0 sempre 0). E poich\u00e9 questa equazione non sar\u00e0 mai soddisfatta, il sistema non ha soluzione.<\/p>\n

Sistemi compatibili indeterminati dal metodo gaussiano<\/h2>\n

Ogni volta che una riga della matrice gaussiana \u00e8 riempita con 0<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{(0<\/p>\n

, \u00e8 un SCI<\/strong> (Sistema Compatibile Indeterminato), e, quindi, il sistema ha infinite soluzioni<\/strong> .<\/p>\n

Vediamo un esempio di come risolvere un ICS:<\/p>\n

Esempio:<\/h3>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Come sempre, realizziamo prima la matrice espansa del sistema<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Ora vogliamo che tutti i numeri sotto la diagonale principale siano 0. Quindi, alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -2:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{lrrr|r}<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Per convertire 3 in 0, nella terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -3:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{lrrr|r}<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Per convertire l’1 nell’ultima riga in 0, nella terza riga aggiungiamo la seconda riga moltiplicata per -1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{lrrr|r}<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Poich\u00e9 l’ultima riga \u00e8 tutta 0<\/strong> , possiamo rimuoverla:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

E poich\u00e9 abbiamo un’intera riga piena di 0, questo \u00e8 uno SCI.<\/strong><\/p>\n

Ci ritroviamo quindi con il seguente sistema:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Quando il sistema \u00e8 uno SCI \u00e8 necessario prendere il valore del parametro da un’incognita<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

. E dobbiamo risolvere il sistema in base a questo parametro<\/strong><\/p>\n

\"\\bm{\\lambda}\"<\/p>\n

.<\/p>\n

<\/div>\n

Pertanto assegniamo il valore di<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

alla z<\/em> :<\/p>\n<\/p>\n

\"z<\/p>\n<\/p>\n

Anche se avremmo potuto scegliere anche qualsiasi altra incognita di cui apprezzare il valore<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

.<\/p>\n

Ora isoliamo y<\/em> dalla seconda equazione e lasciamo che sia una funzione di<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

: <\/p>\n<\/p>\n

\"y-5z=-14<\/p>\n<\/p>\n

\"y-5\\lambda=-14\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y<\/p>\n<\/p>\n

E infine eliminiamo x<\/em> dalla prima equazione e la lasciamo anche in funzione di<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

: <\/p>\n<\/p>\n

\"x+y+2z=6<\/p>\n<\/p>\n

\"x-14<\/p>\n<\/p>\n

\"x=14-<\/p>\n<\/p>\n

\"x=20-<\/p>\n<\/p>\n

Le soluzioni del sistema sono quindi:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{z<\/p>\n<\/p>\n

Come puoi vedere, quando il sistema \u00e8 SCI lasciamo le soluzioni a seconda del parametro<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

. E ricorda che ha infinite soluzioni, perch\u00e9 a seconda del valore che assume<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

, la soluzione sar\u00e0 l’una o l’altra.<\/p>\n

Prima di passare agli esercizi risolti, devi sapere che sebbene in questo articolo utilizziamo il metodo di Gauss, un altro modo per discutere e risolvere sistemi di equazioni lineari \u00e8 il teorema di Rouche<\/a> . In effetti, probabilmente \u00e8 pi\u00f9 usato.<\/p>\n

Esercizi risolti per la discussione di sistemi di equazioni utilizzando il metodo Gauss-Jordan <\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

Esercizio 1<\/h3>\n

Determina quale tipo di sistema \u00e8 coinvolto e risolvi il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di Gauss: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 la matrice estesa del sistema:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Ora dobbiamo rendere 0 tutti i numeri sotto l’array principale.<\/p>\n

Eseguiamo quindi operazioni sulle righe per cancellare gli ultimi due termini della prima colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Abbiamo ottenuto una riga della matrice composta da tre 0 seguiti da un numero. Si tratta quindi di un IS<\/strong> (Sistema Incompatibile) e il sistema non ha soluzione.<\/strong><\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 2<\/h3>\n

Determina di che tipo di sistema si tratta e trova la soluzione del seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di Gauss: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 la matrice estesa del sistema:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Ora dobbiamo rendere 0 tutti i numeri sotto l’array principale.<\/p>\n

Eseguiamo quindi operazioni sulle righe per cancellare gli ultimi due termini della prima colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Ora proviamo a rimuovere l’ultimo elemento dalla seconda colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Ma otteniamo un’intera riga di 0. Quindi questo \u00e8 uno SCI<\/strong> e il sistema ha infinite soluzioni.<\/strong><\/p>\n

Ma poich\u00e9 si tratta di un ICS, possiamo risolvere il sistema in base a<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

. Eliminiamo quindi la riga 0:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Esprimiamo ora la matrice sotto forma di un sistema di equazioni in incognite:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Diamo il valore di<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

Per<\/p>\n

\"z<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{z<\/p>\n<\/p>\n

Sostituiamo il valore di<\/p>\n<\/p>\n

\"z\"<\/p>\n

nella seconda equazione per trovare il valore di <\/p>\n

\"y<\/p>\n<\/p>\n

\"1y+5z=7<\/p>\n<\/p>\n

\"y+5\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{y=7-5\\lambda}\"<\/p>\n<\/p>\n

E facciamo lo stesso con la prima equazione: sostituiamo i valori delle altre incognite e cancelliamo <\/p>\n<\/p>\n

\"x<\/p>\n<\/p>\n

\"1x-2y+3z=1<\/p>\n<\/p>\n

\"x-14+10\\lambda+3\\lambda=1\"<\/p>\n<\/p>\n

\"x=1+14-10\\lambda-3\\lambda\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=15-13\\lambda}\"<\/p>\n<\/p>\n

La soluzione del sistema di equazioni \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=15-13\\lambda}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

Esercizio 3<\/h3>\n

Trova di che tipo di sistema si tratta e risolvi il seguente sistema di equazioni con il metodo di Gauss: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 la matrice estesa del sistema:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Per applicare il metodo di Gauss, \u00e8 pi\u00f9 semplice se il primo numero nella prima riga \u00e8 1. Cambieremo quindi l’ordine delle righe 1 e 2:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Ora dobbiamo rendere 0 tutti i numeri sotto l’array principale.<\/p>\n

Eseguiamo quindi operazioni sulle righe per cancellare gli ultimi due termini della prima colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Ora convertiamo l’ultimo elemento della seconda colonna in zero:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Questo sistema \u00e8 SCD<\/strong> , poich\u00e9 siamo riusciti a spostare la matrice e l’ultima riga \u00e8 del tipo<\/p>\n<\/p>\n

\"(0<\/p>\n

. Pertanto, avr\u00e0 una soluzione unica.<\/strong><\/p>\n

Una volta che tutti i numeri sotto la diagonale principale sono 0, possiamo risolvere il sistema di equazioni. Per fare ci\u00f2, esprimiamo nuovamente la matrice sotto forma di un sistema di equazioni in incognite:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

E risolviamo le incognite delle equazioni dal basso verso l’alto. Risolviamo prima l’ultima equazione: <\/p>\n<\/p>\n

\"5z=20\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{z}=\\cfrac{20}{5}<\/p>\n<\/p>\n

Ora sostituiamo il valore di z nella seconda equazione per trovare il valore di y: <\/p>\n<\/p>\n

\"-16y-3z=-12<\/p>\n<\/p>\n

\"-16y-12=-12\"<\/p>\n<\/p>\n

\"-16y=-12+12\"<\/p>\n<\/p>\n

\"-16y=0\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{y}=\\cfrac{0}{-16}=<\/p>\n<\/p>\n

E facciamo lo stesso con la prima equazione: sostituiamo i valori delle altre incognite e risolviamo per x: <\/p>\n<\/p>\n

\"x+3y+1z=2<\/p>\n<\/p>\n

\"x+0+4=2\"<\/p>\n<\/p>\n

\"x=2-4\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=-2}\"<\/p>\n<\/p>\n

La soluzione del sistema di equazioni \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=-2}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 4<\/h3>\n

Determina di che tipo di sistema si tratta e risolvi il seguente sistema di equazioni con il metodo di Gauss: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 la matrice estesa del sistema:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Ora dobbiamo rendere 0 tutti i numeri sotto l’array principale.<\/p>\n

Eseguiamo quindi operazioni sulle righe per cancellare gli ultimi due termini della prima colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Ora proviamo a rimuovere l’ultimo elemento dalla seconda colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Ma otteniamo un’intera riga di 0. Quindi questo \u00e8 uno SCI<\/strong> e il sistema ha infinite soluzioni.<\/strong><\/p>\n

Ma poich\u00e9 si tratta di un ICS, possiamo risolvere il sistema in base a<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

. Eliminiamo quindi la riga 0:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Esprimiamo ora la matrice sotto forma di un sistema di equazioni in incognite:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Diamo il valore di<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

Per<\/p>\n

\"z<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{z<\/p>\n<\/p>\n

Sostituiamo il valore di<\/p>\n<\/p>\n

\"z\"<\/p>\n

nella seconda equazione per trovare il valore di <\/p>\n

\"y<\/p>\n<\/p>\n

\"-6y+15z=13<\/p>\n<\/p>\n

\"-6y+15\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

\"-6y<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{y<\/p>\n<\/p>\n

E facciamo lo stesso con la prima equazione: sostituiamo i valori delle altre incognite e cancelliamo <\/p>\n<\/p>\n

\"x<\/p>\n<\/p>\n

\"1x-1y+4z=2<\/p>\n<\/p>\n

\"x-\\cfrac{13-15\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

\"x=2+\\cfrac{13-15\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Abbiamo una somma con frazioni. Pertanto, riduciamo tutti i termini a un denominatore comune: <\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{-6<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{-12}{-6}+\\cfrac{13-15\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Dato che ora hanno tutti lo stesso denominatore, possiamo raggrupparli in un’unica frazione:<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{-12+13-15\\lambda-(-24<\/p>\n<\/p>\n

Ed infine operiamo sul numeratore: <\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{-12+13-15\\lambda+24<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=}\\mathbf{\\cfrac{1+9\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

La soluzione del sistema di equazioni \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=15-13\\lambda}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In questa sezione vedremo come discutere e risolvere un sistema di equazioni con il metodo di Gauss-Jordan . Cio\u00e8, determinare se si tratta di un sistema compatibile determinato (DCS), un sistema compatibile indeterminato (ICS) o un sistema incompatibile. Inoltre, troverai esempi ed esercizi risolti per poter praticare e assimilare perfettamente i concetti. Per capire cosa …<\/p>\n

Discussione di sistemi di equazioni utilizzando il metodo gaussiano<\/span> Leggi altro »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[9],"tags":[],"class_list":["post-301","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-spiegazioni-matematiche"],"yoast_head":"\nDiscussione dei sistemi di equazioni utilizzando il metodo gaussiano -<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/discussione-di-sistemi-di-equazioni-utilizzando-il-metodo-di-gauss-con-esercizi-risolti\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Discussione dei sistemi di equazioni utilizzando il metodo gaussiano -\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In questa sezione vedremo come discutere e risolvere un sistema di equazioni con il metodo di Gauss-Jordan . 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