{"id":293,"date":"2023-07-06T18:52:35","date_gmt":"2023-07-06T18:52:35","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/determinanti-4x4-con-esempi-complementari-ed-esercizi-risolti\/"},"modified":"2023-07-06T18:52:35","modified_gmt":"2023-07-06T18:52:35","slug":"determinanti-4x4-con-esempi-complementari-ed-esercizi-risolti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/determinanti-4x4-con-esempi-complementari-ed-esercizi-risolti\/","title":{"rendered":"Come calcolare il determinante di una matrice 4×4 mediante complementi o cofattori"},"content":{"rendered":"

In questa pagina vedremo come risolvere un determinante mediante addizioni o cofattori<\/strong> e anche come calcolare il determinante di una matrice di dimensione 4\u00d74<\/strong> . Tuttavia, per risolvere il determinante di una matrice di ordine 4, devi prima sapere come calcolare un determinante utilizzando gli aggiunti di una riga o di una colonna. Vedremo quindi prima come trovare un determinante mediante aggiunti o cofattori, poi come realizzare un determinante di ordine 4 .<\/strong><\/p>\n

Come calcolare un determinante tramite addizioni o cofattori?<\/h2>\n

Un determinante pu\u00f2 essere calcolato sommando i prodotti degli elementi in qualsiasi riga o colonna per i rispettivi complementi (o cofattori)<\/strong> .<\/p>\n

Questo metodo \u00e8 chiamato risoluzione di un determinante mediante aggiunti o cofattori, oppure ci sono anche matematici che ti spiegano anche la regola di Laplace (o il teorema di Laplace).<\/p>\n

Esempio di risoluzione di un determinante da parte dei deputati:<\/h3>\n

Vediamo un esempio pratico di risoluzione del determinante di una matrice 3\u00d73<\/a> mediante additivi. Facciamo il seguente determinante:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Per prima cosa dobbiamo scegliere una colonna o una riga del determinante. In questo caso scegliamo la prima colonna<\/strong> , poich\u00e9 ha uno 0 e sar\u00e0 quindi pi\u00f9 semplice da risolvere.<\/p>\n

Dobbiamo ora moltiplicare gli elementi della prima colonna per i rispettivi deputati<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Non \u00e8 necessario calcolare il complemento di 0 perch\u00e9 moltiplicandolo per 0 lo annuller\u00e0. Possiamo quindi semplificare:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Procediamo ora al calcolo dei complementi<\/strong> : <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n

Ricordatevi che per calcolare il deputato<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"a_{ij}\"<\/p>\n

, ovvero l’elemento pubblicitario<\/p>\n

\"i\"<\/p>\n

e la colonna<\/p>\n

\"j\"<\/p>\n

, deve essere applicata la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Adjunto<\/p>\n<\/p>\n

dove il minore complementare di<\/p>\n<\/p>\n

\"a_{ij}\"<\/p>\n

\u00e8 il determinante della matrice rimuovendo la riga<\/p>\n

\"i\"<\/p>\n

e la colonna<\/p>\n

\"j\"<\/p>\n

.<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n

Risolviamo le potenze e i determinanti:<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

E operiamo con la calcolatrice:<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, il risultato del determinante \u00e8 -3.<\/strong><\/p>\n

Notiamo che se calcoliamo il determinante con la regola di Sarrus, otteniamo lo stesso risultato:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

Una volta che sappiamo come viene calcolato un determinante dai deputati, possiamo ora vedere come trovare il risultato di un determinante di ordine 4:<\/p>\n

Come calcolare un determinante 4\u00d74?<\/h2>\n

Per risolvere il determinante di una matrice di ordine 4<\/strong> dobbiamo applicare il procedimento che abbiamo appena visto per i deputati. Scegliamo cio\u00e8 una riga o una colonna qualsiasi e aggiungiamo i prodotti dei suoi elementi mediante i rispettivi complementi.<\/p>\n

Tuttavia, utilizzando questa procedura con un determinante 4 \u00d7 4, \u00e8 necessario calcolare molti determinanti 3 \u00d7 3 e questi tendono a richiedere molto tempo. Pertanto, prima di calcolare gli aggiunti , vengono eseguite delle trasformazioni sulle linee<\/strong> , simili al metodo gaussiano. Poich\u00e9 una riga di un determinante pu\u00f2 essere sostituita dalla somma della stessa riga pi\u00f9 un’altra riga moltiplicata per un numero.<\/p>\n

Pertanto, per calcolare un determinante di ordine 4 per deputati, \u00e8 necessario scegliere la colonna che contiene il maggior numero di zeri<\/strong> , poich\u00e9 ci\u00f2 faciliter\u00e0 i calcoli. E poi eseguiamo operazioni interne sulle righe, in modo che tutti gli elementi nella colonna siano nulli tranne uno.<\/p>\n

Vediamo come viene realizzato un determinante 4×4 con un esempio:<\/p>\n

Esempio di risoluzione di un determinante 4\u00d74:<\/h3>\n

Risolveremo questo determinante della seguente matrice quadrata 4\u00d74:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

In questo caso, la colonna con il maggior numero di zeri \u00e8 la prima colonna. Pertanto, scegliamo la prima colonna.<\/strong><\/p>\n

E approfittando del fatto che in questa colonna c’\u00e8 un 1, convertiremo tutti gli altri elementi della prima colonna in 0. Poich\u00e9 \u00e8 pi\u00f9 facile fare i calcoli con la riga che ha un 1.<\/p>\n

Pertanto, per trasformare tutti gli altri elementi della colonna in 0, aggiungiamo la prima riga alla seconda riga<\/strong> e sottraiamo la prima riga moltiplicata per 2 dalla quarta riga<\/strong> . Non \u00e8 necessario modificare la terza riga perch\u00e9 contiene gi\u00e0 uno 0 nella prima colonna. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

\n
<\/div>\n<\/div>\n

Dopo aver convertito in 0 tutti gli elementi tranne uno nella colonna scelta, calcoliamo il determinante per deputati. Vale a dire , aggiungiamo i prodotti degli elementi della colonna secondo i rispettivi sostituti:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

I termini moltiplicati per 0 si annullano, quindi li semplifichiamo: <\/p>\n<\/p>\n

\"=1\\bm{\\cdot}<\/p>\n<\/p>\n

\"=1\\bm{\\cdot}<\/p>\n<\/p>\n

\"=\\text{Adj(1)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\u00c8 quindi sufficiente calcolare l’aggiunto di 1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Calcoliamo il determinante con la regola di Sarrus e la potenza: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\inlinestyle<\/p>\n<\/p>\n

\"=3<\/p>\n<\/p>\n

E infine risolviamo le operazioni con la calcolatrice: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Esercizi risolti sui determinanti 4\u00d74<\/h2>\n

Esercizio 1<\/h3>\n

Risolvi il seguente determinante di ordine 4: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Troveremo il risultato del determinante 4\u00d74 con il metodo dei cofattori. Ma prima facciamo delle operazioni con le righe per azzerare tutti gli elementi di una colonna tranne uno:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

E ora risolviamo il determinante 4\u00d74 con gli aggiunti con l’ultima colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Semplifichiamo i termini: <\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

Calcoliamo l’aggiunto di 1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E, infine, calcoliamo il determinante 3\u00d73 con la regola di Sarrus: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 2<\/h3>\n

Calcolare il seguente determinante di ordine 4: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Calcoleremo il determinante 4\u00d74 in base ai cofattori. Ma per fare ci\u00f2, eseguiamo prima delle operazioni con le righe per impostare a zero tutti gli elementi di una colonna tranne uno:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Ora risolviamo il determinante 4\u00d74 con gli aggiunti con la seconda colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Semplifichiamo i termini: <\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

Calcoliamo l’aggiunto di 1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E, infine, calcoliamo il determinante 3\u00d73 con la regola di Sarrus e la calcolatrice: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

Esercizio 3<\/h3>\n

Trovare il risultato del seguente determinante di ordine 4: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Risolveremo il determinante 4\u00d74 dai deputati. Sebbene prima eseguiamo operazioni con le righe per convertire in zero tutti gli elementi tranne uno in una colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}2<\/p>\n<\/p>\n

Ora risolviamo il determinante 4\u00d74 deputati con la terza colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}6<\/p>\n<\/p>\n

Semplifichiamo i termini: <\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

Calcoliamo l’aggiunto di 1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E infine risolviamo il determinante 3\u00d73 con la regola di Sarrus e la calcolatrice: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 4<\/h3>\n

Calcolare il risultato del seguente determinante di ordine 4: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Risolveremo il determinante 4\u00d74 utilizzando la regola di Laplace. Ma devi prima eseguire operazioni con le righe per impostare a zero tutti gli elementi di una colonna tranne uno:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}3<\/p>\n<\/p>\n

Adesso risolviamo per deputati il determinante 4\u00d74 con la prima colonna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}0<\/p>\n<\/p>\n

Semplifichiamo i termini: <\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=-<\/p>\n<\/p>\n

Calcoliamo l’aggiunto di -1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E infine risolviamo il determinante 3\u00d73 con la regola di Sarrus e la calcolatrice: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Con tutta questa pratica, probabilmente saprai gi\u00e0 come risolvere i determinanti 4×4. Fantastico! Ci auguriamo che con tutti questi esercizi ora sarai in grado di calcolare la portata di una matrice di dimensione 4\u00d74<\/a> che costa cos\u00ec tante persone.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In questa pagina vedremo come risolvere un determinante mediante addizioni o cofattori e anche come calcolare il determinante di una matrice di dimensione 4\u00d74 . Tuttavia, per risolvere il determinante di una matrice di ordine 4, devi prima sapere come calcolare un determinante utilizzando gli aggiunti di una riga o di una colonna. Vedremo quindi …<\/p>\n

Come calcolare il determinante di una matrice 4×4 mediante complementi o cofattori<\/span> Leggi altro »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[7],"tags":[],"class_list":["post-293","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-determinante-di-una-matrice"],"yoast_head":"\nCome calcolare il determinante di una matrice 4\u00d74 mediante complementi o cofattori - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/determinanti-4x4-con-esempi-complementari-ed-esercizi-risolti\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Come calcolare il determinante di una matrice 4\u00d74 mediante complementi o cofattori - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In questa pagina vedremo come risolvere un determinante mediante addizioni o cofattori e anche come calcolare il determinante di una matrice di dimensione 4\u00d74 . 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