{"id":290,"date":"2023-07-06T20:03:12","date_gmt":"2023-07-06T20:03:12","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/proprieta-dei-determinanti-esempi-ed-esercizi-2x2-3x3\/"},"modified":"2023-07-06T20:03:12","modified_gmt":"2023-07-06T20:03:12","slug":"proprieta-dei-determinanti-esempi-ed-esercizi-2x2-3x3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/proprieta-dei-determinanti-esempi-ed-esercizi-2x2-3x3\/","title":{"rendered":"Propriet\u00e0 dei determinanti"},"content":{"rendered":"

In questa sezione vedremo quali sono tutte le propriet\u00e0 dei determinanti<\/strong> . Inoltre dimostriamo ciascuna propriet\u00e0 con un esempio in modo che tu possa comprenderla completamente. Inoltre troverai esercizi relativi alle propriet\u00e0 dei determinanti.<\/p>\n

Di seguito spiegheremo ciascuna propriet\u00e0 dei determinanti una per una, ma se preferisci puoi passare direttamente alla tabella riassuntiva<\/strong> sottostante. \ud83d\ude09<\/p>\n

Propriet\u00e0 1: Determinante della matrice trasposta <\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n

Il determinante di una matrice \u00e8 equivalente al determinante della sua matrice trasposta.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lvert<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Esempio:<\/h3>\n<\/p>\n

\"\\lvert<\/p>\n<\/p>\n

Ora trasponiamo la matrice 2×2 e risolviamo il determinante. Notiamo che otteniamo lo stesso risultato di prima:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lvert<\/p>\n<\/p>\n

Propriet\u00e0 2: Determinante con una riga o una colonna riempita di zeri <\/h2>\n
\n

Se un determinante ha una riga o una colonna piena di zeri, il determinante restituisce 0.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Esempio:<\/h3>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

In entrambi questi esempi, i determinanti valgono 0. Perch\u00e9 la seconda riga del primo determinante \u00e8 tutta zero e anche la terza colonna del secondo determinante \u00e8 tutta zero.<\/p>\n

Propriet\u00e0 3: Determinante con due righe o colonne uguali <\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

Se un determinante ha due righe o due colonne uguali o multiple, il determinante \u00e8 zero (0).<\/p>\n

Pertanto, se esiste una combinazione lineare tra righe o colonne, cio\u00e8 sono linearmente dipendenti, il determinante d\u00e0 0.<\/p>\n

Esempio:<\/h3>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

In questo caso il determinante d\u00e0 0 perch\u00e9 le colonne 2 e 3 sono uguali.<\/p>\n

Propriet\u00e0 4: Modifica le righe o le colonne di un determinante <\/h2>\n
\n

Se due righe o due colonne vengono modificate l’una rispetto all’altra, il determinante d\u00e0 lo stesso risultato ma con segno diverso.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Esempio:<\/h3>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Ora cambiamo l’ordine delle colonne 2 e 3 l’una rispetto all’altra. Si noti che il risultato \u00e8 lo stesso ma con un segno diverso:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Propriet\u00e0 5: Moltiplica una riga di un determinante per uno scalare <\/h2>\n
<\/div>\n
\n

Moltiplicare tutti gli elementi di un’intera riga o colonna per un numero reale equivale a moltiplicare il risultato del determinante per quel numero. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Esempio:<\/h3>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Adesso prendiamo lo stesso determinante e moltiplichiamo un’intera riga per 2. Vedrai che il risultato sar\u00e0 quello del determinante precedente ma moltiplicato per 2, ovvero 10:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Propriet\u00e0 6: Determinante del prodotto della matrice <\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n

Il determinante del prodotto di due matrici \u00e8 uguale al prodotto del determinante di ciascuna matrice separatamente.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Esempio:<\/h3>\n

Per dimostrare questa propriet\u00e0 dei determinanti, calcoleremo il determinante della moltiplicazione delle due matrici seguenti in due modi possibili:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Per prima cosa moltiplicheremo le due matrici, poi calcoleremo il determinante della matrice risultante:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Ora calcoliamo separatamente il determinante di ciascuna matrice e poi moltiplichiamo i risultati:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Come puoi vedere, fare prima il prodotto della matrice e poi il determinante d\u00e0 lo stesso risultato che facendo prima il determinante di ciascuna matrice e poi moltiplicando i risultati.<\/p>\n

Questa condizione non si applica invece alle operazioni di addizione e sottrazione, vale a dire che il determinante della somma (o sottrazione) di due matrici non d\u00e0 lo stesso risultato della somma (o sottrazione) dei determinanti di due matrici separatamente. <\/p>\n

\n
<\/div>\n<\/div>\n

Propriet\u00e0 7: Determinante della matrice inversa <\/h2>\n
\n

Se una matrice \u00e8 invertibile, il determinante del suo inverso corrisponde all’inverso del determinante della matrice originale.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Esempio:<\/h3>\n

Verificheremo questa propriet\u00e0 calcolando prima l’inversa di una matrice e poi risolvendo il suo determinante. Vedremo che il risultato equivale a trovare il determinante della matrice originale e invertirlo.<\/p>\n

Invertiamo quindi la seguente matrice e calcoliamo il suo determinante: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E ora risolviamo il determinante della matrice originale e facciamo la sua inversa:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Come puoi vedere, i risultati di entrambe le operazioni sono identici. La propriet\u00e0 \u00e8 quindi dimostrata.<\/p>\n

Propriet\u00e0 8: Sostituisci la riga di un determinante<\/h2>\n

La riga di un determinante pu\u00f2 essere sostituita aggiungendo (o sottraendo) la stessa riga pi\u00f9 (o meno) un’altra riga moltiplicata per un numero.<\/p>\n

Esempio:<\/h3>\n

Con il seguente esempio verificheremo questa propriet\u00e0. Per prima cosa calcoleremo un determinante, poi opereremo su una riga del determinante e ricalcoleremo il suo risultato. Vedrai come otteniamo lo stesso risultato in entrambi i casi.<\/p>\n

Quindi, calcoliamo prima un determinante 3×3 con la regola di Sarrus:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Ora, nella riga 2, aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E risolviamo il determinante dopo aver trasformato una delle sue rette:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

In entrambi i casi il risultato \u00e8 stato -3. Si dimostra quindi che il risultato di un determinante non cambia se una riga viene sostituita dalla somma della stessa riga pi\u00f9 un’altra riga moltiplicata per un numero. <\/p>\n

\n
<\/div>\n<\/div>\n

Propriet\u00e0 9: Determinante di una matrice triangolare<\/h2>\n

Il determinante di una matrice triangolare \u00e8 il prodotto degli elementi della sua diagonale principale.<\/p>\n

Esempio:<\/h3>\n

Risolveremo come esempio il determinante della seguente matrice triangolare:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Propriet\u00e0 10: Determinante di una matrice diagonale<\/h2>\n

Il determinante di una matrice diagonale \u00e8 pari alla moltiplicazione degli elementi della sua diagonale principale.<\/p>\n

Esempio:<\/h3>\n

Prendiamo come esempio il determinante della seguente matrice diagonale:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}5<\/p>\n<\/p>\n

Tabella riassuntiva delle propriet\u00e0 dei determinanti <\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

Le propriet\u00e0 dei determinanti spiegate possono essere riassunte nella seguente tabella: <\/p>\n

\n
\"propriet\u00e0<\/figure>\n<\/div>\n

Esercizi risolti con le propriet\u00e0 dei determinanti<\/h2>\n

Esercizio 1<\/h3>\n

Risolvi il seguente determinante: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Se un determinante ha una riga o una colonna piena di zeri, il determinante restituisce 0 (propriet\u00e0 2). Pertanto, il risultato del determinante \u00e8 0, perch\u00e9 la terza colonna \u00e8 piena di zeri.<\/strong><\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 2<\/h3>\n

Risolvi il seguente determinante: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Se un determinante ha due righe o due colonne uguali o multiple, il determinante restituisce 0 (propriet\u00e0 3). Pertanto, il risultato del determinante \u00e8 0, perch\u00e9 la prima riga e la terza riga sono uguali.<\/strong><\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 3<\/h3>\n

Calcolare il seguente determinante: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Se un determinante ha due righe o due colonne uguali o multiple, il determinante restituisce 0 (propriet\u00e0 3). Pertanto, il risultato del determinante \u00e8 0, perch\u00e9 la quarta colonna \u00e8 il doppio della prima colonna.<\/strong> <\/p>\n

<\/div>\n
<\/div>\n

Esercizio 4<\/h3>\n

Conosciamo il risultato di un determinante, anche se non conosciamo gli elementi della matrice:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Dal risultato del determinante precedente e dalle propriet\u00e0 dei determinanti, calcolare il risultato dei seguenti determinanti: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Per)<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{pmatrix}<\/p>\n

\u00e8 la matrice trasposta di<\/p>\n

\"\\begin{pmatrix}<\/p>\n

. E il determinante di una matrice \u00e8 uguale al determinante della sua matrice trasposta (propriet\u00e0 1). Pertanto, anche il risultato di questo determinante \u00e8 3.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

b)<\/strong> Nella determinazione<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n

le colonne 1 e 2 sono state modificate rispetto alla determinante del prospetto<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n

. Pertanto, secondo la propriet\u00e0 4, il risultato \u00e8 uguale al risultato del determinante dell’enunciato ma con segno diverso, cio\u00e8 -3.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

c)<\/strong> Nella determinazione<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n

tutta la seconda colonna del determinante dell’enunciato \u00e8 stata moltiplicata per 3. Pertanto dalla propriet\u00e0 5 si deduce che il suo risultato sar\u00e0 anche il risultato del determinante dell’enunciato moltiplicato per 3, cio\u00e8 9.<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Esercizio 5<\/h3>\n

Conosciamo il risultato di questi due determinanti: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\vert<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\vert<\/p>\n<\/p>\n

Da queste informazioni calcolare: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Per calcolare il risultato del determinante non \u00e8 necessario moltiplicare le matrici 4\u00d74. Poich\u00e9 il determinante del prodotto di due matrici \u00e8 uguale al prodotto del determinante di ciascuna matrice separatamente<\/strong> (propriet\u00e0 6). Ancora: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\vert<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In questa sezione vedremo quali sono tutte le propriet\u00e0 dei determinanti . Inoltre dimostriamo ciascuna propriet\u00e0 con un esempio in modo che tu possa comprenderla completamente. Inoltre troverai esercizi relativi alle propriet\u00e0 dei determinanti. Di seguito spiegheremo ciascuna propriet\u00e0 dei determinanti una per una, ma se preferisci puoi passare direttamente alla tabella riassuntiva sottostante. \ud83d\ude09 …<\/p>\n

Propriet\u00e0 dei determinanti<\/span> Leggi altro »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[7],"tags":[],"class_list":["post-290","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-determinante-di-una-matrice"],"yoast_head":"\nPropriet\u00e0 dei determinanti - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/proprieta-dei-determinanti-esempi-ed-esercizi-2x2-3x3\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Propriet\u00e0 dei determinanti - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In questa sezione vedremo quali sono tutte le propriet\u00e0 dei determinanti . 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