{"id":28,"date":"2023-09-17T11:05:21","date_gmt":"2023-09-17T11:05:21","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-razionale\/"},"modified":"2023-09-17T11:05:21","modified_gmt":"2023-09-17T11:05:21","slug":"funzione-razionale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-razionale\/","title":{"rendered":"Funzione razionale"},"content":{"rendered":"<p>Qui scoprirai cosa sono le funzioni razionali. Inoltre, spieghiamo come calcolare il dominio e gli asintoti di una funzione razionale. E non solo, ma vedrai quali sono tutte le caratteristiche delle funzioni razionali. Infine, puoi esercitarti con esercizi passo passo sulle funzioni razionali. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-una-funcion-racional\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 una funzione razionale?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La definizione di funzione razionale \u00e8 la seguente:<\/p>\n<p> <strong>Una funzione razionale \u00e8 una funzione formata dal quoziente di due polinomi<\/strong> , cio\u00e8 una funzione razionale \u00e8 una frazione che ha un polinomio al numeratore e al denominatore.<\/p>\n<p> Le funzioni razionali sono caratterizzate da singolarit\u00e0 nei punti in cui il denominatore svanisce.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80ec33ef964f9463287fb8c93605b34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{a_0+a_1x+a_2x^2+\\dots +a_nx^n}{b_0+b_1x+b_2x^2+\\dots +n_nx^n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"285\" style=\"vertical-align: -15px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Le funzioni razionali sono anche chiamate funzioni frazionarie.<\/p>\n<p> D\u2019altra parte, le funzioni razionali non vanno confuse con le funzioni irrazionali. Le funzioni irrazionali (o radicali) sono quelle costituite da radici.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-funciones-racionales\"><\/span> Esempi di funzioni razionali<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Per comprendere meglio la nozione di funzione razionale, vedremo diversi esempi di questo tipo di funzione.<\/p>\n<ul>\n<li> <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">Funzione razionale con un polinomio di primo grado al numeratore e al denominatore:<\/u><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170c6c49759eeb2d1d3f81bbf0ebfc3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{x+3}{2x-5}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questi tipi di funzioni razionali sono anche chiamate <strong>funzioni omografe<\/strong> .<\/p>\n<ul>\n<li> <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">Funzione razionale con una costante al numeratore e un polinomio al denominatore:<\/u><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-931f934a646a46832b66a8a3efe3ad17_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{7}{x+1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questi tipi di funzioni razionali sono chiamate <strong>funzioni di proporzionalit\u00e0 inversa<\/strong> e vengono utilizzate per definire matematicamente quantit\u00e0 inversamente proporzionali.<\/p>\n<ul>\n<li> <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">Funzione razionale con un polinomio di terzo grado al numeratore e un polinomio di secondo grado al denominatore:<\/u> <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82bb59d3904629b47192dfd05456a638_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{x^3+4x^2-2x+6}{x^2+3x-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"198\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"dominio-de-una-funcion-racional\"><\/span> Dominio di una funzione razionale <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p> Un numero diviso per 0 \u00e8 un&#8217;indeterminazione che d\u00e0 infinito (\u221e), quindi esister\u00e0 sempre una funzione razionale a meno che il denominatore non sia 0.<\/p>\n<p> Pertanto <strong>il dominio di una funzione razionale<\/strong> \u00e8 costituito da tutti i numeri reali tranne i valori che annullano il denominatore.<\/p>\n<\/div>\n<p> Quindi, per ottenere il dominio di una funzione razionale, dobbiamo trovare quando il denominatore \u00e8 0, poich\u00e9 questo punto sar\u00e0 l&#8217;unico a non appartenere al dominio<\/p>\n<p> Vediamo come si calcola il dominio di una funzione razionale risolvendo un esempio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc119bb22722de1d946894030ac0e6e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{5x}{x+2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per prima cosa impostiamo il denominatore uguale a 0, quindi risolviamo l&#8217;equazione risultante:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24e301fa7ea2e8d9f0041192d9a84927_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x+2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01f282abd343bbe6b83c45e54b86c6ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, quando x \u00e8 -2, il denominatore sar\u00e0 0 e quindi la funzione non esister\u00e0. Il dominio della funzione \u00e8 quindi costituito da tutti i numeri reali tranne x=-2. Ci\u00f2 \u00e8 affermato come segue: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c69046d9ec5ea032ce1e6f7f070dbf83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f= \\mathbb{R}-\\{ -2 \\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"asintotas-de-una-funcion-racional\"><\/span> Asintoti di una funzione razionale<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Una delle principali propriet\u00e0 delle funzioni razionali sono i loro asintoti, poich\u00e9 ne determinano la rappresentazione grafica.<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/rappresentazione-delle-funzioni\/\">rappresentazione grafica di una funzione<\/a><\/span><\/p>\n<p> Gli <strong>asintoti di una funzione razionale<\/strong> sono linee a cui il grafico della funzione si avvicina indefinitamente ma non tocca mai.<\/p>\n<p> Esistono tre tipi di asintoti: asintoti verticali, asintoti orizzontali e asintoti obliqui.<\/p>\n<p> Di seguito sono riportati i tre tipi di asintoti che una funzione razionale pu\u00f2 avere graficamente in rosso.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <u style=\"text-decoration-color:#E74C3C;\"><strong>Asintoto verticale di una funzione razionale<\/strong><\/u> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-dasymptote-verticale.webp\" alt=\"asintoto verticale di una funzione razionale\" class=\"wp-image-1294\" width=\"408\" height=\"361\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <u style=\"text-decoration-color:#E74C3C;\"><strong>Asintoto orizzontale di una funzione razionale<\/strong><\/u> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-dasymptote-horizontale.webp\" alt=\"asintoto orizzontale di una funzione razionale\" class=\"wp-image-1333\" width=\"478\" height=\"378\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <u style=\"text-decoration-color:#E74C3C;\"><strong>Asintoto obliquo di una funzione razionale<\/strong><\/u> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/image-1.png\" alt=\"asintoto obliquo di una funzione razionale\" class=\"wp-image-1374\" width=\"386\" height=\"436\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere, determinare l&#8217;asintoto di una funzione dal suo grafico \u00e8 abbastanza semplice, ma calcolare gli asintoti di una funzione razionale senza avere la sua rappresentazione grafica \u00e8 piuttosto complicato. Per questo motivo ti consigliamo di vedere come vengono calcolati gli asintoti di una funzione sul nostro sito web. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-una-funcion-racional\"><\/span> Caratteristiche di una funzione razionale<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Le funzioni razionali hanno le seguenti caratteristiche:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c24e4e9a6871d3e8e07e85c24b039c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{P(x)}{Q(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Come abbiamo visto sopra, il dominio delle funzioni razionali comprende tutti i numeri reali tranne i valori che annullano il denominatore della frazione.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">In generale, l&#8217;intervallo (o intervallo) di una funzione razionale comprende tutti i numeri reali tranne i valori in cui la funzione ha un asintoto orizzontale.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Le funzioni razionali sono continue in tutto il loro dominio. O in altre parole, le funzioni razionali presentano discontinuit\u00e0 in punti che non appartengono al loro dominio.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">La rappresentazione grafica della maggior parte delle funzioni razionali \u00e8 costituita da due iperboli.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Alcune regole per gli asintoti delle funzioni razionali possono essere dedotte dal numeratore del polinomio.\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p><\/span> e il polinomio del denominatore <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d38083076c97f0893079e8fed89adb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<ul style=\"list-style-type:circle;margin-left:10%;color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:15px; margin-top:15px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Una funzione razionale ha un asintoto verticale nei punti che ne sono le radici\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8061e215a5d055a2cf14c44c4febfad5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p><\/span> ma queste non sono radici di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f6500c41747705211eacbfc8d05aba4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:15px; margin-top:15px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Se il grado di\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p><\/span> \u00e8 inferiore al grado di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8061e215a5d055a2cf14c44c4febfad5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , la retta y=0 \u00e8 un asintoto orizzontale della funzione razionale.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:15px; margin-top:15px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Se il grado di\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p><\/span> \u00e8 maggiore del grado di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8061e215a5d055a2cf14c44c4febfad5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , la funzione razionale non ha asintoto orizzontale.<\/li>\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Se il grado di\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p><\/span> \u00e8 un&#8217;unit\u00e0 maggiore del grado di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8061e215a5d055a2cf14c44c4febfad5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> e i due polinomi non hanno radice comune, la funzione razionale ha un asintoto obliquo. <\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-funciones-racionales\"><\/span> Esercizi risolti su funzioni razionali<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Trovare il dominio della seguente funzione razionale: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94fcabf09d798d56e4d439c3dc4945b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\displaystyle\\frac{4x}{2x+4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> \u00c8 una funzione razionale, quindi il dominio \u00e8 formato da tutti i numeri tranne quelli che annullano il denominatore, perch\u00e9 in tal caso la funzione darebbe \u221e.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi impostiamo il denominatore intero uguale a zero per vedere quale numero non appartiene al dominio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-198bb8c11e20e5c9864ef9e60a2facc3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x+4=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E risolviamo l&#8217;equazione risultante: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bb8c1283df065c83c44b7fe484324a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x=-4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"66\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-578104a63c70bc5ba4b685855966f28e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\cfrac{-4}{2}=-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il dominio della funzione \u00e8 quindi composto solo da numeri tranne -2: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee75b8bb1136ab715a80e56e910f1626_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbf{Dom } \\ \\bm{f = \\mathbb{R}- \\{ -2 \\} }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"157\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Trova i punti di interruzione della seguente funzione razionale con gli assi cartesiani: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ef48653e91a2935a9776b62ddd1f25b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{x^2-9}{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Punto di taglio con asse X<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare il punto di intersezione della funzione con l&#8217;asse X \u00e8 necessario risolvere <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05bb421b504b7ae4aa483574cd6f28d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=0:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bce6c022ed0fc63f4659af75888f96c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-603043b6d5768eaace4011208f30bec1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x^2-9}{x}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b2fd4733c1dfbb47969d5b92e3e4f04_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-9=0\\cdot x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"104\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce55adbc277e9378607d68bce8ef19fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-9=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"81\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05112cb5a98f653cd1920fb40e5ef9a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9cba0400a71268c96427f3b00bf29b6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=\\pm 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"64\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Abbiamo ottenuto due soluzioni dell&#8217;equazione quadratica, quindi la funzione razionale interseca l&#8217;asse delle ascisse in due punti diversi, che sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-013260528208aa1656c5407fa8e29db9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(3,0)\\qquad (-3,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Punto di taglio con asse Y<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare il punto di intersezione con l&#8217;asse Y devi calcolare <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f92d7beea0ed3a053927c2d429d3450_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-969a7e35c182b2950e797fec58ddab28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0)=\\cfrac{0^2-9}{0}=\\cfrac{-9}{0}= \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"203\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Qualsiasi numero diviso per zero \u00e8 un&#8217;indeterminazione che d\u00e0 infinito. Pertanto la funzione razionale non passa in nessun punto al di sopra dell&#8217;asse Y, cio\u00e8 non ha punti di intersezione con l&#8217;asse y.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 3<\/h3>\n<p> Traccia su un grafico la seguente funzione razionale: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-379664d569f63739a52aef2f4a3da41b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\cfrac{2x+3}{2x+6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La prima cosa da fare \u00e8 calcolare il dominio della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb310e295335d320e66cac6a8a6a3270_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x+6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b254eeeabf14c903b414b7f844bcd54_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x =-6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"66\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be0dac801e36b79ec2bac9a5be70ad7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x =\\cfrac{-6}{2} =-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3eb9671adf4127bd8129820378cb2a44_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f = \\mathbb{R} - \\{ -3 \\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Una volta conosciuto il dominio della funzione, costruiamo una tabella di valori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5dfd65f4a7fca984bdc6f16ec89154c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c|c} x &amp; y \\\\ \\hline -2,5 &amp; -2 \\\\ -2 &amp; -0,5 \\\\ -1 &amp; 0,25 \\\\ 1 &amp; 0,63 \\\\ -3,5 &amp; 4  \\\\ -4 &amp; 2,5 \\\\ -5 &amp; 1,75 \\\\ -7 &amp; 1,38\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"200\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -95px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per finire basta rappresentare su un grafico i punti ottenuti e tracciare le iperboli, disegnando cos\u00ec la funzione razionale: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-de-proportionnalite-inverse.webp\" alt=\"funzione di proporzionalit\u00e0 inversa\" class=\"wp-image-170\" width=\"545\" height=\"460\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 4<\/h3>\n<p> Determina gli asintoti della funzione razionale rappresentata nel grafico seguente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-representation-limites-infini.webp\" alt=\"asintoti di una funzione razionale\" class=\"wp-image-1244\" width=\"403\" height=\"406\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Gli asintoti sono molto chiaramente visibili sul grafico, poich\u00e9 sono rappresentati come linee tratteggiate rosse.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo problema la funzione \u00e8 molto vicina alla linea orizzontale y=1 ma non la tocca mai. Pertanto, la funzione razionale ha un unico asintoto orizzontale, che \u00e8 y=1.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Allo stesso modo, la rappresentazione grafica della funzione \u00e8 molto vicina alle linee verticali x=-1 e x=1, ma non raggiunge mai questi valori. La funzione razionale ha quindi due diversi asintoti verticali, che sono x=-1 e x=1.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 5<\/h3>\n<p> Calcola tutti gli asintoti della seguente funzione razionale:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffd06824234d445d38d021cbb04bfa23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=\\frac{6x-4}{2x+2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Nota:<\/strong> per risolvere questo esercizio, ti consigliamo di andare prima al link sopra su <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">come vengono calcolati gli asintoti di una funzione<\/u> e vedere la spiegazione. <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong><span style=\"text-decoration: underline;\">asintoto verticale<\/span><\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare gli asintoti verticali di una funzione, dobbiamo prima trovare il dominio della funzione. Pertanto, poniamo il denominatore della funzione razionale uguale a 0 per trovare i punti che non appartengono al dominio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba1a17401e951a8539e475d758a871d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x +2 =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2a522ee7d1c1819c496c45af9549bc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x= -2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"65\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e60b04854152fc93f76ad6c29e09346_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x = \\cfrac{-2}{2} = -1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il dominio della funzione \u00e8 quindi costituito da tutti i numeri tranne -1:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09f86d513e25805efa3dbddfc2e0229e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f = \\mathbb{R} - \\left\\{ -1 \\right\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi x=-1 potrebbe essere un asintoto verticale. Per verificarlo dobbiamo calcolare il limite della funzione nel punto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19ee5b45a22b402ee890392a91803649_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -1 } \\frac{6x-4}{2x+2} = \\frac{6\\cdot(-1)-4}{2\\cdot(-1)+2}=\\frac{-10}{0}= \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"311\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto x=-1 \u00e8 un asintoto verticale della funzione razionale, poich\u00e9 il limite della funzione in questo punto d\u00e0 infinito.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong><span style=\"text-decoration: underline;\">asintoto orizzontale<\/span><\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per determinare gli asintoti orizzontali, dobbiamo calcolare il limite infinito della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-604ce9e6e3a0943003f79d5f890b81d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +\\infty}\\frac{6x-4}{2x+2} = \\frac{6(+\\infty)}{2(+\\infty)} = \\frac{+\\infty}{+\\infty} = \\frac{6}{2} = \\bm{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"312\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-823441caef29e22ea5cda9685af7c1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -\\infty}\\frac{6x-4}{2x+2} = \\frac{6(-\\infty)}{2(-\\infty)} = \\frac{-\\infty}{-\\infty} = \\frac{6}{2} = \\bm{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"312\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso, il risultato del limite infinito indeterminato tra infinito \u00e8 la divisione dei coefficienti delle x di grado massimo, poich\u00e9 il numeratore e il denominatore sono dello stesso ordine.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> I due limiti infiniti della funzione ci hanno dato 3, quindi y=3 \u00e8 un asintoto orizzontale della funzione razionale.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong><span style=\"text-decoration: underline;\">asintoto obliquo<\/span><\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Poich\u00e9 esiste un asintoto orizzontale, la funzione razionale non ha un asintoto obliquo.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Qui scoprirai cosa sono le funzioni razionali. Inoltre, spieghiamo come calcolare il dominio e gli asintoti di una funzione razionale. E non solo, ma vedrai quali sono tutte le caratteristiche delle funzioni razionali. Infine, puoi esercitarti con esercizi passo passo sulle funzioni razionali. Cos&#8217;\u00e8 una funzione razionale? 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