{"id":276,"date":"2023-07-10T00:23:44","date_gmt":"2023-07-10T00:23:44","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/distanza-da-una-linea-a-un-piano-nella-formula-spaziale\/"},"modified":"2023-07-10T00:23:44","modified_gmt":"2023-07-10T00:23:44","slug":"distanza-da-una-linea-a-un-piano-nella-formula-spaziale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/distanza-da-una-linea-a-un-piano-nella-formula-spaziale\/","title":{"rendered":"Distanza da una linea a un piano nello spazio"},"content":{"rendered":"<p>Qui troverai come si calcola la distanza da una linea a un piano e, inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcual-es-la-distancia-de-una-recta-a-un-plano\"><\/span> Qual \u00e8 la distanza tra una linea e un piano?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nella geometria analitica, la distanza tra una linea e un piano nello spazio dipende dalla posizione relativa tra questi due elementi geometrici:<\/p>\n<ul>\n<li> Se la <strong>linea \u00e8 compresa nel piano<\/strong> oppure se <strong>la linea e il piano sono paralleli<\/strong> , la distanza che li separa \u00e8 zero.<\/li>\n<li> Se la <strong>linea \u00e8 parallela al piano<\/strong> , la distanza dalla linea al piano si trova prendendo un punto qualsiasi della linea e calcolando la distanza da quel punto al piano. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-une-ligne-et-un-plan.webp\" alt=\"distanza da una linea ad un piano nello spazio\" class=\"wp-image-4062\" width=\"459\" height=\"252\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Pertanto, per calcolare la distanza da una linea a un piano, \u00e8 essenziale sapere come determinare la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/posizioni-relative-di-una-linea-e-di-un-piano\/\">posizione relativa tra una linea e un piano<\/a> e come calcolare la <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\">distanza tra un punto e un piano<\/a> . Quindi se non vi sono del tutto chiare o non conoscete le formule, vi consigliamo di dare prima un&#8217;occhiata alle pagine collegate, dove troverete spiegazioni, esempi ed esercizi risolti passo dopo passo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-como-calcular-la-distancia-entre-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Esempio di calcolo della distanza tra una linea e un piano<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Affinch\u00e9 tu possa vedere come trovare la distanza tra una linea e un piano nello spazio (in R3), risolveremo un problema come esempio:<\/p>\n<ul>\n<li> Quanto \u00e8 lontana la linea?\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sull&#8217;aereo<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26d6788550ffd50fe94542bb3e8ee615_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ?<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4785f2386b4ff9387b56cf8c5645c62d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}x=-2+t \\\\[1.7ex] y=1-3t \\\\[1.7ex] z=-1+2t\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"137\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d8872d79c59216f4a8489f75a751cdb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ 4x+2y+z-6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per trovare la distanza tra la linea e il piano, devi prima conoscere la posizione relativa tra i due.<\/p>\n<p> Da un lato, la linea \u00e8 definita sotto forma di equazioni parametriche, quindi il suo vettore direzione e il punto attraverso il quale passa sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0765b71f9eead3b644fd5de150cdf321_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} \\vv{\\text{v}}_r =(1,-3,2) \\\\[2ex] P(-2,1,-1) \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"154\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E, d&#8217;altra parte, il vettore normale al piano \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4fe9c16b8d08778c89ab62afcd8e34e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} =(4,2,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, per determinare la posizione relativa tra il piano e la linea, \u00e8 necessario calcolare il prodotto scalare tra il vettore direzione della linea e il vettore normale al piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39d2d450c32a6fdf3182a3d16cc18116_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n} &amp; = (1,-3,2) \\cdot (4,2,1) \\\\[2ex] &amp; = 1 \\cdot 4-3 \\cdot 2 +2\\cdot 1 \\\\[2ex] &amp;= 4 -6 +2 \\\\[2ex] &amp; = 0\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"140\" width=\"202\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il risultato del prodotto scalare \u00e8 zero, quindi la linea pu\u00f2 essere contenuta solo nel piano o essere parallela ad esso. Quindi, per scoprire di quale caso si tratta, sostituiamo le coordinate cartesiane del punto sulla retta nell&#8217;equazione del piano: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4916138781ab0b14c0b827b212fdd98_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4x+2y+z-6=0 \\ \\xrightarrow{P(-2,1,-1)} \\ 4\\cdot (-2) +2\\cdot 1 -1-6= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"460\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15f3d9b73d0b2646f6d0173989e7b20a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-8+2-1-6 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d93d0450119c6530b10ed45266e017e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-13 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sostituendo il punto della retta nell&#8217;equazione del piano otteniamo una disuguaglianza, quindi il punto non rispetta l&#8217;equazione del piano e, di conseguenza, la retta e il piano sono paralleli.<\/p>\n<p> Una volta che sappiamo che la linea e il piano sono paralleli, possiamo calcolare la distanza geometrica tra loro. Per fare ci\u00f2, prendiamo il punto sulla linea e calcoliamo la distanza da quel punto all&#8217;aereo.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4413892ee4946e8c956d69a16a8d43ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-2,1,-1) \\qquad \\qquad \\pi: \\ 4x+2y+z-6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"353\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi usiamo la formula per la distanza da un punto a un piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fa5cd77905fa8723448de603b90b705_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert A\\cdot x_0+B\\cdot y_0+C\\cdot z_0+D\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora sostituiamo il valore di ciascuna incognita nella formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-beb8f4629b0195d8ea0870d678585895_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert 4\\cdot (-2)+2\\cdot 1+1\\cdot (-1)-6\\rvert}{\\sqrt{4^2+2^2+1^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E, infine, eseguiamo le operazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-570743258f771c18a79b360b80b6a462_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert -8+2-1-6\\rvert}{\\sqrt{16+4+1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ea97bcf06817734423f2e6e662a1658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert -13\\rvert}{\\sqrt{21}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a19bec182b20b9b1a5a08b41cd817c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{13}{\\sqrt{21}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In modo che la distanza tra la linea e il piano sia equivalente alla distanza tra il punto e il piano calcolata:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82d2055df31134bca62040c367778b50_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{d(r,\\pi)=d(P,\\pi) = }\\cfrac{\\bm{13}}{\\bm{\\sqrt{21}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ovviamente la distanza deve darci sempre un valore positivo, perch\u00e9 le distanze sono sempre positive. Se otteniamo un risultato negativo significa che abbiamo commesso un errore nel fare un passo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Qui troverai come si calcola la distanza da una linea a un piano e, inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo. Qual \u00e8 la distanza tra una linea e un piano? 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