{"id":275,"date":"2023-07-10T00:32:54","date_gmt":"2023-07-10T00:32:54","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/posizioni-relative-di-una-linea-e-di-un-piano\/"},"modified":"2023-07-10T00:32:54","modified_gmt":"2023-07-10T00:32:54","slug":"posizioni-relative-di-una-linea-e-di-un-piano","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/posizioni-relative-di-una-linea-e-di-un-piano\/","title":{"rendered":"Posizioni relative di una retta e di un piano"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai le posizioni relative di una linea e di un piano. Ti spieghiamo come si calcola la posizione relativa tra una linea e un piano (2 metodi) e, inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcuales-son-las-posiciones-relativas-entre-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Quali sono le posizioni relative tra una linea e un piano?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Prima di esaminare tutte le possibili posizioni relative tra una linea e un piano, dobbiamo ovviamente sapere <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/definizione-delle-caratteristiche-della-linea-tipi-di-esempi-linea-retta\/\">cosa sono le linee<\/a> e <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/geometria-piana\/\">cos&#8217;\u00e8 un piano<\/a> . Quindi se ancora non hai ben chiari questi due concetti ti consigliamo di dare prima un&#8217;occhiata alle pagine collegate dove viene spiegato nel dettaglio.<\/p>\n<p> Pertanto, nella geometria analitica, ci sono solo tre posizioni relative nello spazio tra una linea e un piano:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Retta contenuta nel piano<\/strong> : quando la retta \u00e8 contenuta nel piano significa che hanno un numero infinito di punti in comune.<\/li>\n<li> <strong>Retta e piano paralleli<\/strong> : Una retta e un piano sono paralleli quando non hanno punti in comune.<\/li>\n<li> <strong>Intersezione di linea e piano<\/strong> : una linea e un piano si intersecano quando la linea interseca il piano in un punto. Quindi hanno solo una cosa in comune. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/positions-relatives-dune-droite-et-dun-plan.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-4014\" width=\"651\" height=\"400\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Quando invece la linea \u00e8 contenuta nel piano o quando sono parallele tra loro, l&#8217;angolo che formeranno sar\u00e0 0\u00ba. D&#8217;altra parte, quando la linea e il piano si intersecano, l&#8217;angolo tra i due elementi geometrici pu\u00f2 variare da 0\u00ba (non compreso) a 90\u00ba (compreso). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcomo-calcular-la-posicion-relativa-de-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Come calcolare la posizione relativa di una linea e di un piano?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Esistono principalmente due metodi per trovare la posizione relativa tra una linea e un piano nello spazio: <strong>per intervalli<\/strong> o <strong>per vettori<\/strong> .<\/p>\n<p> Quando la linea \u00e8 espressa come un&#8217;equazione implicita (o generale), \u00e8 pi\u00f9 semplice utilizzare il metodo dei ranghi. Se invece la retta \u00e8 data con un altro tipo di equazione, ad esempio quando \u00e8 sotto forma di equazione vettoriale, parametrica o continua, \u00e8 pi\u00f9 veloce utilizzare il metodo vettoriale.<\/p>\n<p> Se non ricordi come sono le equazioni della retta, ti lasciamo una pagina dove puoi consultare <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/equazioni-di-linea-tutte-le-formule-esempi-esercizi-risolti\/\">tutte le equazioni della retta<\/a> . Qui troverai tutte le equazioni della retta, una formula per trovare velocemente l&#8217;equazione di una retta passante per due punti, esempi ed esercizi risolti passo dopo passo.<\/p>\n<p> Pertanto \u00e8 pi\u00f9 pratico utilizzare un metodo o un altro a seconda del problema, per questo motivo ti consigliamo di sapere come eseguire entrambe le procedure. Di seguito \u00e8 riportata la spiegazione di entrambi i metodi con esempi. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"cuando-la-recta-esta-en-forma-de-ecuacion-implicita-o-general\"><\/span> Quando la linea ha la forma di un&#8217;equazione implicita (o generale).<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Un modo per determinare la posizione relativa tra una linea e un piano \u00e8 calcolare il rango di due matrici.<\/p>\n<p> Se la linea \u00e8 definita dalle sue equazioni implicite (o generali):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90fc7032d2804ef53ac3136f01ee9d86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\\\[2ex] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"256\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E il piano \u00e8 espresso anche sotto forma di un&#8217;equazione generale:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3bdc521630479fe27eb3873cd5b21b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Chiameremo A la matrice composta dai coefficienti A, B e C delle equazioni del piano e della retta:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e697e27706489cb97d773b722c84ad37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A =\\begin{pmatrix} A_1&amp;B_1&amp;C_1\\\\[1.1ex] A_2&amp;B_2&amp;C_2\\\\[1.1ex] A_3&amp;B_3&amp;C_3\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"158\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E la matrice A&#8217; sar\u00e0 la matrice espansa con tutti i coefficienti delle due equazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c87c6559e077c5bedb08d62e386f0bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A' =\\begin{pmatrix} A_1&amp;B_1&amp;C_1&amp;D_1\\\\[1.1ex] A_2&amp;B_2&amp;C_2&amp;D_2\\\\[1.1ex] A_3&amp;B_3&amp;C_3&amp;D_3\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"201\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi, la posizione relativa tra la linea e il piano \u00e8 determinata dal valore dell&#8217;estensione delle due matrici precedenti secondo la seguente tabella: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/position-relative-entre-une-ligne-et-un-plan-par-intervalles.webp\" alt=\"studiare la posizione relativa tra una linea e un piano nello spazio per intervalli\" class=\"wp-image-4019\" width=\"623\" height=\"194\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Che le posizioni relative dipendano dai ranghi di queste due matrici pu\u00f2 essere dimostrato dal toerem di Rouche-Frobenius (un teorema utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari). Tuttavia in questa pagina non faremo la dimostrazione perch\u00e9 non \u00e8 necessario conoscerla e non fornisce nemmeno molto.<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di come trovare la posizione relativa di una linea e di un piano in base agli intervalli<\/h4>\n<p> Affinch\u00e9 tu possa vedere esattamente come si fa, risolveremo un esercizio come esempio:<\/p>\n<ul>\n<li> Studiare la posizione relativa tra la seguente linea e il seguente piano:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-794d91d1740ca80c422936e5e06abefd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}2x+y+z+3=0 \\\\[2ex] 4x-y+5z+2=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"198\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14576ddb5ea954ab6ac03ddfa4719d21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ 2x+2y-6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La linea \u00e8 definita da due piani che si intersecano, cio\u00e8 \u00e8 espressa come un&#8217;equazione implicita. Pertanto, utilizzeremo il metodo dei ranghi per studiare la posizione relativa tra la linea e il piano.<\/p>\n<p> La prima cosa da fare \u00e8 costruire la matrice A e la matrice estesa A&#8217; con i coefficienti delle equazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-819af000774ddbc89e11df809bcb2a28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A =\\begin{pmatrix} 2&amp;1&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0\\end{pmatrix} \\qquad \\qquad A' =\\begin{pmatrix} 2&amp;1&amp;1&amp;3\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5&amp;2\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0&amp;-6\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"394\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E ora dobbiamo calcolare il rango di ciascuna matrice. Troviamo innanzitutto l&#8217;estensione della matrice A mediante determinanti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5db59e1c8bbf94b95483870d47cea1b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-997e4d9c9bd1522795a581d0fb62cfdf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0\\end{vmatrix} =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"115\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-169fab3e064b8bb744ef9cc546bfe201_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1\\end{vmatrix} =-6 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"136\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef18656c1a261aa20598fc8f6a587323_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p>Il determinante della matrice A \u00e8 zero ma contiene una sottomatrice 2\u00d72 il cui determinante \u00e8 diverso da zero, quindi \u00e8 una matrice di rango 2.<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte \u00e8 necessario calcolare anche il rango della matrice A&#8217;. E l&#8217;intervallo della matrice estesa A&#8217; sar\u00e0 sempre almeno uguale a quello della matrice A, quindi dobbiamo solo verificare se \u00e8 di rango 3 o 2: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8e886877bcaa4124dd444188a5cc66a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A') = \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae375c2cd910e2e52f242facef2aecec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;3\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;2\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;-6\\end{vmatrix} =62 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"170\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f38f92bcbb2288e43932ccd835e99d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A') = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, la matrice estesa A&#8217; ha un sottodeterminante 3\u00d73 diverso da 0, \u00e8 quindi di rango 3.<\/p>\n<p> Quindi, poich\u00e9 la matrice A \u00e8 di rango 2 e la matrice A&#8217; \u00e8 di rango 3, <strong>la linea e il piano sono paralleli<\/strong> . <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"cuando-la-recta-esta-en-forma-de-otro-tipo-de-ecuacion\"><\/span> Quando la linea ha la forma di un altro tipo di equazione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Quando la retta \u00e8 espressa da un&#8217;equazione diversa da quella implicita, sia essa vettoriale, parametrica o continua, \u00e8 preferibile utilizzare il metodo che spieghiamo di seguito.<\/p>\n<p> Quindi, se la retta si presenta sotto forma di equazione vettoriale, di equazioni parametriche o di equazione continua, significa che conosciamo un punto che appartiene alla retta e anche il suo vettore direzione.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5a0fe0918b9eb196b470ffde6dffb81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} \\vv{\\text{v}}_r \\\\[2ex] P\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"60\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, sappiamo anche qual \u00e8 il vettore normale (o perpendicolare) al piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-123a18c0a20e53d6401b932e47192df0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} \\perp \\pi\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi, dai 2 vettori e dal punto della linea, la posizione relativa tra la linea e il piano pu\u00f2 essere calcolata come segue:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff6f00; font-weight: bold;list-style-type:disc\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se il prodotto scalare tra il vettore direzione della retta e il vettore normale al piano \u00e8 diverso da zero significa che la retta \u00e8 secante al piano.<\/span>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29625866e04f656f7067ec4fe6139bd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} \\neq 0 \\ \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black} \\ \\text{recta y plano secantes}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"388\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/li>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Ma se il prodotto scalare tra il vettore direzione della retta e il vettore normale al piano \u00e8 uguale a zero, ci sono due possibilit\u00e0: la retta \u00e8 contenuta nel piano oppure sono parallele. E per sapere di quale caso si tratta, dobbiamo sostituire nell&#8217;equazione del piano le coordinate di un punto sulla retta.<\/span>\n<ul style=\"list-style-type:circle\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se il punto soddisfa l&#8217;equazione del piano, la retta \u00e8 contenuta nel piano.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67bea80768d5723b1a1a79404b6dad60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} \\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} = 0\\\\[2ex]P \\in \\pi   \\end{array} \\right\\}  \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black}\\ \\text{recta contenida en el plano}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"448\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se invece il punto non soddisfa l&#8217;equazione del piano, la retta e il piano sono paralleli.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1eccf7b373d59c89e835ae6c64e3d980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} \\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} = 0\\\\[2ex] P \\ \\cancel{\\in} \\ \\pi \\end{array} \\right\\} \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black} \\ \\text{recta y plano paralelos}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"415\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di determinazione della posizione relativa di una linea e di un piano utilizzando i vettori<\/h4>\n<p> Una volta vista la teoria di questo metodo, vediamo ora un esercizio risolto passo dopo passo:<\/p>\n<ul>\n<li> Trova la posizione relativa tra la seguente linea e il seguente piano:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7df9c39f91ee48f9c11804e81a7cb57a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}x=2-3t \\\\[1.7ex] y=-1+2t \\\\[1.7ex] z=-2t\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"137\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d98be29c4b72b8126b336e9fb89ddf78_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ 2x+y-2z-3=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Innanzitutto, la linea \u00e8 definita come equazioni parametriche, quindi il suo vettore direzione e il punto attraverso il quale passa sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c38a901be64fc1a358200bc95c6cafc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} \\vv{\\text{v}}_r =(-3,2,-2) \\\\[2ex] P(2,-1,0) \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"168\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E, d&#8217;altra parte, il vettore normale al piano \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d1147a5141ab6b378f2cc901e565685_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} =(2,1,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Una volta conosciuto il vettore direzione della retta e il vettore normale al piano, dobbiamo calcolare il prodotto scalare tra i due:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cffc4ca748ea137ce81d1cb185c28b1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n} &amp; = (-3,2,-2) \\cdot (2,1,-2) \\\\[2ex] &amp; = -3 \\cdot 2+2 \\cdot 1 -2\\cdot (-2) \\\\[2ex] &amp;= -6 +2 +4 \\\\[2ex] &amp; = 0\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"140\" width=\"240\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il risultato del prodotto scalare \u00e8 zero, quindi la linea pu\u00f2 essere contenuta solo nel piano o essere parallela ad esso. Quindi, per scoprire di quale caso si tratta, sostituiamo le coordinate cartesiane del punto sulla retta nell&#8217;equazione del piano: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90c28414930db38453e927e36128fccd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x+y-2z-3=0 \\ \\xrightarrow{P(2,-1,0)} \\ 2\\cdot 2 -1 -2 \\cdot 0 -3 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65009666a542c5d85d27cde1024f9c7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4- 1 -0 -3 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"133\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb23fb46aaefcb8f5b4dfd612098620b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sostituendo il punto della retta nell&#8217;equazione del piano otteniamo un&#8217;uguaglianza, quindi il punto rispetta l&#8217;equazione del piano e, di conseguenza, <strong>la retta \u00e8 contenuta nel piano<\/strong> .<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai le posizioni relative di una linea e di un piano. Ti spieghiamo come si calcola la posizione relativa tra una linea e un piano (2 metodi) e, inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo. Quali sono le posizioni relative tra una linea e un piano? 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Ti spieghiamo come si calcola la posizione relativa tra una linea e un piano (2 metodi) e, inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo. Quali sono le posizioni relative tra una linea e un piano? 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