{"id":272,"date":"2023-07-10T02:22:55","date_gmt":"2023-07-10T02:22:55","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/quali-sono-i-vettori-esempi-di-matematica-fisica\/"},"modified":"2023-07-10T02:22:55","modified_gmt":"2023-07-10T02:22:55","slug":"quali-sono-i-vettori-esempi-di-matematica-fisica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/quali-sono-i-vettori-esempi-di-matematica-fisica\/","title":{"rendered":"Cosa sono i vettori (matematica)?"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai tutto sui vettori: cosa sono, le loro caratteristiche, come si calcolano, come eseguire operazioni con i vettori, i diversi tipi che esistono,&#8230;<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-un-vector\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 un vettore?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La definizione matematica di un vettore \u00e8 la seguente:<\/p>\n<p> In matematica, <strong>un vettore \u00e8 un segmento orientato che va da un punto (chiamato origine) a un altro punto (chiamato fine).<\/strong><\/p>\n<p> Ad esempio, nel grafico seguente, puoi vedere che il vettore<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-243865b783ec40e03ec861ac2ebcb279_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"27\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Ha come origine il punto A e come punto finale il punto B. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/quest-ce-quun-vecteur.webp\" alt=\"cos'\u00e8 un vettore matematico\" class=\"wp-image-3678\" width=\"176\" height=\"176\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> I vettori vengono utilizzati principalmente in matematica, in particolare in geometria e fisica, per rappresentare graficamente le forze vettoriali. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-un-vector\"><\/span> Caratteristiche di un vettore<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Una volta visto qual \u00e8 il significato matematico dei vettori, vediamo ora quali sono le loro propriet\u00e0.<\/p>\n<p> Ogni vettore ha le seguenti caratteristiche geometriche:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Direzione<\/strong> : La direzione di un vettore \u00e8 la direzione della linea che contiene il vettore o qualsiasi linea parallela ad esso. In altre parole, la direzione di un vettore \u00e8 la linea su cui giace.<\/li>\n<li> <strong>Direzione<\/strong> : la direzione di un vettore \u00e8 l&#8217;orientamento di detto vettore, indicato dalla sua freccia.<\/li>\n<li> <strong>Modulo<\/strong> (o grandezza): il modulo di un vettore \u00e8 la sua lunghezza, e corrisponde al valore numerico del vettore. Pertanto, quanto pi\u00f9 grande \u00e8 il vettore, tanto maggiore \u00e8 la quantit\u00e0 del vettore che rappresenta.<\/li>\n<li> <strong>Punto di applicazione<\/strong> : il punto di applicazione di un vettore \u00e8 l&#8217;origine di detto vettore. <\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/caracteristiques-d-un-vecteur.webp\" alt=\"caratteristiche geometriche dei vettori\" class=\"wp-image-3682\" width=\"332\" height=\"313\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Le nozioni di direzione e direzione di un vettore sono spesso confuse, quindi \u00e8 importante distinguere la differenza tra loro. Guarda l&#8217;esempio seguente con due vettori, entrambi hanno la stessa direzione ma il loro significato \u00e8 diverso: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/sens-et-direction-d-un-vecteur.webp\" alt=\"significato del significato e della direzione di un vettore\" class=\"wp-image-3686\" width=\"446\" height=\"181\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> I due vettori hanno la stessa direzione perch\u00e9 sono paralleli. Invece, le loro direzioni sono opposte perch\u00e9 sono rivolte all&#8217;indietro.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"componentes-de-un-vector\"><\/span> Componenti di un vettore<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Abbiamo appena visto che i vettori sono rappresentati graficamente dalle frecce, ma i vettori possono anche essere rappresentati numericamente dalle componenti (o coordinate) di un vettore.<\/p>\n<p> Ad esempio, se abbiamo il seguente vettore rappresentato in un grafico: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/vecteur-exemples.webp\" alt=\"esempi di vettori\" class=\"wp-image-3692\" width=\"316\" height=\"283\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Per calcolare le componenti del vettore dobbiamo innanzitutto individuare le coordinate della sua origine e della sua fine, cio\u00e8 i punti in cui inizia e dove finisce. In questo caso, l&#8217;origine e la fine del vettore sono:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Origine del vettore: A(2,1)<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Punto finale del vettore: B(5,6)<\/p>\n<p> Quindi, per trovare le coordinate o le componenti del vettore, sottrai semplicemente il punto finale meno l&#8217;origine:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fba10729c8ded7f7c7051cfda5c12eab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{AB} &amp; = B- A \\\\[2ex] &amp; = (5,6)- (2,1) \\\\[2ex] &amp;= (5-2 \\ , \\ 6-1) \\\\[2ex] &amp;= (3,5) \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"144\" width=\"163\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto le componenti del vettore rappresentato nel grafico sono: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fbf31faea8cf602f9556fa80f618515_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\bm{AB}}\\bm{=(3,5)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"operaciones-con-vectores\"><\/span> Operazioni vettoriali <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"suma-de-vectores\"><\/span> aggiungendo il vettore<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Per sommare numericamente due vettori, \u00e8 necessario sommare le rispettive componenti. O in altre parole, si sommano le coordinate X dei due vettori e coincidono con le coordinate Y.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d97d089a143f6e30d987b0ed74c56dfe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c} \\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(\\text{v}_x, \\text{v}_y)\\\\[4ex]\\vv{\\text{u}} + \\vv{\\text{v}} = (\\text{u}_x + \\text{v}_x \\ , \\ \\text{u}_y + \\text{v}_y) \\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per poter vedere come \u00e8 fatto, aggiungeremo i seguenti due vettori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5107f1a0b5a49b0ffd79eb20211c48b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (2,3) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(4, -1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24ac65138e4d395f7773aa19ba806a49_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{u}} + \\vv{\\text{v}}&amp; =(2,3) +(4,-1) \\\\[2ex] &amp; = (2+4,3+(-1)) \\\\[2ex] &amp; = \\bm{(6,2)} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"103\" width=\"192\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> \u00c8 inoltre possibile aggiungere due vettori dalle loro rappresentazioni grafiche. Per questo normalmente viene utilizzata la regola o legge del parallelogramma, ma esistono molti metodi. Puoi vedere esempi ed esercizi risolti su <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/somma-di-vettori-graficamente-esempi-risolti-numericamente-esercizi-add\/\">come sommare graficamente due vettori<\/a> qui.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"resta-de-vectores\"><\/span> sottrazione vettoriale<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Per sottrarre analiticamente due vettori, \u00e8 necessario sottrarre le rispettive componenti. Cio\u00e8, le coordinate X dei due vettori vengono sottratte l&#8217;una dall&#8217;altra e lo stesso delle coordinate Y.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c755aca302ff1c1b956ca3d91bac1095_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c} \\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(\\text{v}_x, \\text{v}_y)\\\\[4ex]\\vv{\\text{u}} - \\vv{\\text{v}} = (\\text{u}_x - \\text{v}_x \\ , \\ \\text{u}_y - \\text{v}_y) \\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ad esempio, sottraiamo i due vettori seguenti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e6976699c55e7cb1372aca76313b056_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (3,1) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(2, -4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5693a8287adebc3a4553358f8a8b0969_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{u}} - \\vv{\\text{v}}&amp; =(3,1) -(2,-4) \\\\[2ex] &amp; = (3-2,1-(-4)) \\\\[2ex]&amp; = (3-2,1+4) \\\\[2ex] &amp; = \\bm{(1,5)} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"145\" width=\"192\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come l&#8217;addizione, puoi anche sottrarre 2 vettori usando le loro rappresentazioni. Per questo, di solito viene utilizzata la regola o legge del triangolo, ma esistono diversi metodi. Puoi vederli tutti con esempi ed esercizi risolti su <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/sottrarre-i-vettori-numericamente-esempi-grafici-esercizi-risolti-sottrarre\/\">come sottrarre graficamente due vettori<\/a> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"modulo-de-un-vector\"><\/span> modulo di un vettore<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Come abbiamo visto all&#8217;inizio di questa pagina, la grandezza di un vettore corrisponde alla lunghezza di quel vettore. Ebbene, la lunghezza (o grandezza) di un vettore pu\u00f2 essere determinata dalle sue componenti.<\/p>\n<p> Considera qualsiasi vettore:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4b2f8c9cdb09377a66fbce8392c30ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per trovare il modulo di un vettore nel piano, dobbiamo applicare la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95466c107aed66569925d4b89a3a939b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle \\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert = \\sqrt{ \\text{u}_x^2+\\text{u}_y^2} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ad esempio, calcoleremo la grandezza del seguente vettore utilizzando la formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6273ca0b37b024bc5684ec07237607bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (3,-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d78c0f573a5d2db399d099ebc4a3cb85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert =\\sqrt{3^2+(-4)^2} = \\sqrt{9+16}=\\sqrt{25} = \\bm{5}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"316\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Anche se sembra molto semplice, determinare la grandezza di un vettore pu\u00f2 essere complicato. Se vuoi vedere altri esempi ed esercitarti con <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/modulo-di-un-vettore-formule-esempi-esercizi-risolti\/\">gli esercizi risolti del modulo di un vettore<\/a> , ti consigliamo di visitare questa pagina collegata. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"multiplicacion-de-un-vector-por-un-escalar\"><\/span> Moltiplicazione di un vettore per uno scalare<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Per calcolare numericamente il prodotto di un vettore per un numero (o uno scalare), ciascuna componente del vettore deve essere moltiplicata per quel numero.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc2018686141332d7620fe51d93dae8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c}\\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y)\\\\[4ex]k\\cdot \\vv{\\text{u}} =(k\\cdot \\text{u}_x \\ , \\ k\\cdot \\text{u}_y) \\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nel seguente esempio generico si vede come la direzione del vettore viene mantenuta indipendentemente dal segno dello scalare. D&#8217;altra parte, la direzione del vettore dipende dal segno del numero che moltiplica. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/multiplication-ou-produit-dun-nombre-ou-dun-scalaire-par-un-vecteur.webp\" alt=\"moltiplicazione o prodotto di un numero o di uno scalare per un vettore\" class=\"wp-image-283\" width=\"298\" height=\"201\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Di seguito puoi vedere un esempio numerico di come trovare il prodotto di un vettore per un numero: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c2dd0a37f737f7c82d6da8b971ca0f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} =(3,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87282d0a06c534058bd4b64120bdf391_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot \\vv{\\text{u}} =(4 \\cdot 3 \\ , \\ 4 \\cdot (-2)) = \\bm{(12,-8)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"262\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"producto-escalar\"><\/span> Prodotto scalare<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Nella geometria analitica, il prodotto scalare \u00e8 un&#8217;operazione vettoriale che moltiplica due vettori e li trasforma in un numero reale.<\/p>\n<p> Pertanto, la formula per il prodotto scalare di due vettori \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f09930024fc5c410889bea53d06982e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle  \\vv{\\text{u}} \\cdot \\vv{\\text{v}} = \\text{u}_x\\cdot \\text{v}_x + \\text{u}_y\\cdot \\text{v}_y \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Di seguito \u00e8 riportato un esempio in cui viene calcolato il risultato del prodotto scalare tra due vettori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7437bf59c08f823d3a9ca8b5f32a3f13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (4,2) \\qquad \\vv{\\text{v}} = (-1,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2a8137101f391be2b197764b8b21223_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{aligned} \\vv{\\text{u}} \\cdot \\vv{\\text{v}}&amp;=(4,2)\\cdot (-1,3) \\\\[1.5ex]&amp;=4\\cdot (-1) + 2 \\cdot 3 \\\\[1.5ex] &amp; = -4+6  \\\\[1.5ex] &amp; =\\bm{10} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"129\" width=\"166\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In questo collegamento puoi vedere altri <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/calcolare-il-prodotto-scalare-tra-due-vettori-esempi-esercizi-risolti\/\">esempi del prodotto scalare<\/a> . Inoltre, troverai un altro modo per trovare il prodotto scalare tra due vettori, le propriet\u00e0 di questo tipo di operazione con i vettori e gli esercizi risolti passo dopo passo.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"producto-vectorial\"><\/span> prodotto vettoriale<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Sebbene siano molto simili nel nome, il prodotto scalare e il prodotto incrociato sono completamente diversi.<\/p>\n<p> <strong>Il prodotto incrociato<\/strong> , chiamato anche prodotto incrociato, \u00e8 un&#8217;operazione tra due vettori nello spazio (in R3), cio\u00e8 sono vettori a tre coordinate.<\/p>\n<p> Quindi, se abbiamo due vettori tridimensionali:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-581394386a4c68ca2bfa92fb4e2445ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}= (\\text{u}_x,\\text{u}_y,\\text{u}_z) \\qquad \\vv{\\text{v}}= (\\text{v}_x,\\text{v}_y,\\text{v}_z)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"267\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il prodotto vettoriale dei due vettori \u00e8 uguale al risultato del seguente determinante 3\u00d73:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c85dc2dfb37842b31dea465c8887bc1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle   \\vv{\\text{u}} \\times \\vv{\\text{v}}=\\begin{vmatrix} \\vv{i}&amp; \\vv{j}&amp; \\vv{k} \\\\[1.1ex] \\text{u}_x &amp; \\text{u}_y &amp; \\text{u}_z \\\\[1.1ex] \\text{v}_x &amp;\\text{v}_y&amp;\\text{v}_z \\end{vmatrix}  \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> dove i vettori<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-899f7cb82c85508ac2129e2393976f80_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{i}, \\vv{j},\\vv{k}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> sono i versori nelle direzioni rispettivamente degli assi X, Y, Z.<\/p>\n<p> Inoltre, la direzione del vettore risultante \u00e8 perpendicolare ai due vettori moltiplicati.<\/p>\n<p> Come puoi intuire, risolvere questo tipo di operazioni \u00e8 pi\u00f9 difficile delle precedenti e, per questo motivo, abbiamo un&#8217;intera pagina con una spiegazione dettagliata di come si calcola il prodotto incrociato tra due vettori. Pertanto, se sei interessato, ti consigliamo di visitarlo e di esercitarti con gli <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/prodotto-vettoriale-di-due-vettori-esempi-di-formule-incrociate-esercizi-risolti\/\">esercizi sui prodotti vettoriali risolti<\/a> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"producto-mixto\"><\/span> prodotto misto<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Il <strong>prodotto misto<\/strong> di tre vettori, chiamato anche prodotto triplo punto, \u00e8 una moltiplicazione successiva tra tre vettori che coinvolge due diversi tipi di operazioni: il prodotto scalare e il prodotto vettoriale. Quindi, la combinazione delle due operazioni vettoriali d\u00e0 uno scalare (un numero reale).<\/p>\n<p> Concretamente, il prodotto misto consiste nel calcolare il prodotto vettoriale di due vettori e, successivamente, moltiplicare vettorialmente il risultato ottenuto per un terzo vettore. Guarda la formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20bc6ca73caab65fbe6dafc458258ae7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.3pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle   \\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr] = \\vv{\\text{u}} \\cdot ( \\vv{\\text{v}}\\times \\vv{\\text{w}}) \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come per il prodotto vettoriale, risolvere il prodotto misto tra vettori non \u00e8 facile. Per questo motivo ti consigliamo di dare un&#8217;occhiata a questa spiegazione del <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-prodotti-misti-di-tre-vettori-o-prodotti-scalari-tripli\/\">prodotto misto di tre vettori<\/a> , dove troverai esempi, esercizi risolti e il significato geometrico di questa operazione vettoriale.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tipos-de-vectores\"><\/span> tipi di vettori<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Esistono molti tipi diversi di vettori, ma le definizioni pi\u00f9 importanti da conoscere sono:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Vettore unitario<\/strong> : vettore il cui modulo \u00e8 uguale a 1.<\/li>\n<li> <strong>Vettore fisso<\/strong> : un vettore \u00e8 fisso quando l&#8217;origine del vettore \u00e8 applicata a un punto fisso.<\/li>\n<li> <strong>Vettore libero<\/strong> : Un vettore \u00e8 libero quando il suo punto di applicazione non \u00e8 definito, ma \u00e8 un punto libero.<\/li>\n<li> <strong>Vettori collineari<\/strong> : due o pi\u00f9 vettori sono collineari se condividono la stessa linea d&#8217;azione (linea dove si trova il vettore).<\/li>\n<li> <strong>Vettori equivalenti<\/strong> : due vettori sono equipollini se hanno la stessa dimensione, lo stesso senso e la stessa direzione (anche se possono avere punti di applicazione diversi).<\/li>\n<li> <strong>Vettori concatenati<\/strong> : I vettori concatenati sono vettori equipollini che agiscono anche sulla stessa linea.<\/li>\n<li> <strong>Vettori opposti<\/strong> : due vettori sono opposti se hanno la stessa grandezza e la stessa direzione ma direzione diversa.<\/li>\n<li> <strong>Vettore posizione<\/strong> : il vettore posizione \u00e8 il vettore la cui origine \u00e8 il punto (0,0) (origine delle coordinate).<\/li>\n<li> <strong>Vettori concorrenti<\/strong> : due o pi\u00f9 vettori sono concorrenti quando le loro linee d&#8217;azione passano per lo stesso punto, cio\u00e8 si intersecano.<\/li>\n<li> <strong>Vettori paralleli<\/strong> : due o pi\u00f9 vettori sono paralleli se hanno la stessa direzione, indipendentemente dalla loro direzione.<\/li>\n<li> <strong>Vettori perpendicolari<\/strong> : Due vettori sono perpendicolari (o ortogonali) quando le loro direzioni formano un angolo di 90\u00ba.<\/li>\n<li> <strong>Vettori ortonormali<\/strong> : Due o pi\u00f9 vettori sono ortonormali se sono perpendicolari tra loro e, inoltre, sono unitari (la loro grandezza \u00e8 uguale all&#8217;unit\u00e0).<\/li>\n<li> <strong>Vettori complanari<\/strong> : due o pi\u00f9 vettori sono complanari se contenuti nello stesso piano. <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"angulo-entre-dos-vectores\"><\/span> Angolo tra due vettori<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Per trovare l&#8217;angolo tra due vettori dati, dobbiamo applicare la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67007d32353dedf96eb6b965b16c5489_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\cos(\\alpha) =\\cfrac{\\vv{\\text{u}} \\cdot \\vv{\\text{v}}}{\\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{\\text{v}} \\rvert} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4501274336c637b37c6332eae5c6c229_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a59cd4f2581db3318d38a2a77340a64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{\\text{v}} \\rvert\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> sono i moduli dei vettori<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cac24ae79c1e4cbc459f01ed5e4f824e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-391ac2e3ba0b7f327ba5a0edc1ba162d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> rispettivamente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai tutto sui vettori: cosa sono, le loro caratteristiche, come si calcolano, come eseguire operazioni con i vettori, i diversi tipi che esistono,&#8230; Cos&#8217;\u00e8 un vettore? 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