{"id":27,"date":"2023-09-17T11:06:22","date_gmt":"2023-09-17T11:06:22","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-continua-continuita-di-una-funzione\/"},"modified":"2023-09-17T11:06:22","modified_gmt":"2023-09-17T11:06:22","slug":"funzione-continua-continuita-di-una-funzione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-continua-continuita-di-una-funzione\/","title":{"rendered":"Funzione continua (continuit\u00e0 di una funzione)"},"content":{"rendered":"<p>In questo articolo spieghiamo cosa sono le funzioni continue e come determinare se una funzione \u00e8 continua in un punto oppure no. Inoltre, troverai le propriet\u00e0 delle funzioni continue e l&#8217;analisi di continuit\u00e0 delle funzioni pi\u00f9 comuni. Infine, puoi esercitarti con esercizi risolti sulla funzione continua per comprendere appieno il concetto. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-una-funcion-continua\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 una funzione continua?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La continuit\u00e0 di una funzione pu\u00f2 essere studiata graficamente. <strong>Una funzione continua \u00e8 una funzione che pu\u00f2 essere rappresentata su un grafico senza togliere la matita dal foglio.<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-medium-font-size\"> <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\"><strong>Funzione continua<\/strong><\/u> <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-continue.webp\" alt=\"funzione continua\" class=\"wp-image-1491\" width=\"354\" height=\"255\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<p> La funzione di cui sopra \u00e8 continua perch\u00e9 pu\u00f2 essere disegnata in un colpo solo senza staccare la mano dal foglio.<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte, quando la precedente condizione di continuit\u00e0 non \u00e8 inserita in una funzione, si dice che sia una <strong>funzione discontinua<\/strong> .<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-medium-font-size\"> <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\"><strong>Funzione discontinua<\/strong><\/u> <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-pointillee.webp\" alt=\"funzione discontinua\" class=\"wp-image-1495\" width=\"354\" height=\"262\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<p> La funzione precedente \u00e8 discontinua perch\u00e9 per rappresentarla bisogna tracciare due linee con la matita. In questo caso la funzione cessa di essere continua in x=3, diciamo quindi che x=3 \u00e8 un <strong>punto di discontinuit\u00e0<\/strong> .<\/p>\n<p> Inoltre, ci sono tre <strong>tipi di discontinuit\u00e0<\/strong> : discontinuit\u00e0 evitabile, discontinuit\u00e0 inevitabile a salti finiti e discontinuit\u00e0 inevitabile a salti infiniti. Nel seguente collegamento puoi vedere come appare ogni tipo di discontinuit\u00e0 e cosa c&#8217;\u00e8 di diverso in ciascuno di essi:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/tipologie-di-discontinuita\/\">tipi di discontinuit\u00e0<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"continuidad-de-una-funcion-en-un-punto\"><\/span> Continuit\u00e0 di una funzione in un punto<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Una volta visto come appare il grafico di una funzione continua, vedremo come determinare analiticamente se una funzione \u00e8 continua o meno.<\/p>\n<p> Matematicamente <strong>una funzione \u00e8 continua in un punto se sono soddisfatte le seguenti tre condizioni:<\/strong><\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;border:\">\n<li style=\"margin-bottom:15px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">La funzione esiste in questo punto, cio\u00e8 esiste l&#8217;immagine del punto.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7292d399b69758819eab74a2aa9afd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\exists \\ f(a)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">C&#8217;\u00e8 il limite della funzione a questo punto. Pertanto, i limiti laterali sinistro e destro della funzione in questo punto sono uguali.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c4c9431d93839b2511a56583101db46_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to a^-} f(x) = \\lim_{x \\to a^+} f(x)  \\quad \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\quad \\exists \\lim_{x \\to a} f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"413\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li style=\"margin-bottom:15px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">L&#8217;immagine del punto coincide in questo punto con il limite della funzione.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da2902aa458fe8a9c8234e2be38336c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(a)=\\lim_{x \\to a} f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/ol>\n<p> Pertanto, se le tre condizioni di continuit\u00e0 sono soddisfatte in tutti i punti di una funzione, la funzione \u00e8 continua.<\/p>\n<p> Ad esempio, analizzeremo la continuit\u00e0 della seguente funzione a tratti: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/continuite-dune-fonction-definie-par-morceaux.webp\" alt=\"continuit\u00e0 di una funzione definita a tratti\" class=\"wp-image-201\" width=\"440\" height=\"306\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<p> Anche se cambi sezione, al punto<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01f282abd343bbe6b83c45e54b86c6ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> La funzione \u00e8 continua, poich\u00e9 i limiti laterali della funzione in questo punto sono uguali e coincidono maggiormente con il valore della funzione in questo punto.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f659d88902824c6a762a5ebe2d6db14_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x \\to -2^-} f(x)=\\lim\\limits_{x \\to -2^+} f(x)= f(-2)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> D&#8217;altra parte la funzione non \u00e8 continua in quel punto<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2145acc2878ed61214887e120f2485b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> perch\u00e9 i due limiti laterali sono diversi e quindi il limite della funzione a questo punto non esiste:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f9d62d0c5ddcefe8cc4cbe2daaf6d57_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{x \\to 4^-} f(x)=3 \\neq \\lim\\limits_{x \\to 4^+} f(x)= 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"240\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In breve, la funzione definita dai pezzi \u00e8 continua in tutti i numeri reali tranne che in<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ad850560a1ff3e3bb4386cf732d0220_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=4,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> dove c&#8217;\u00e8 una discontinuit\u00e0.<\/p>\n<p> Possiamo anche verificare che la funzione \u00e8 discontinua in<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2145acc2878ed61214887e120f2485b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> perch\u00e9 per rappresentarlo graficamente \u00e8 necessario staccare a questo punto la matita dal foglio. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"continuidad-de-funciones-elementales\"><\/span> Continuit\u00e0 delle funzioni elementari<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Alcuni tipi di funzioni sono continue per le loro caratteristiche:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Le funzioni costanti<\/strong> sono continue in tutti i numeri reali.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-252f9958e223f77bf50cb3b92a7c3e35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Le funzioni polinomiali<\/strong> sono continue per tutti i numeri reali.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3094a01ff9b10acb7c44349cda083025_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\\dots+a_nx^n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"338\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Le funzioni razionali (o frazionarie)<\/strong> sono continue in tutti i numeri reali tranne nei valori che annullano il denominatore della frazione, in questi punti la funzione presenta una discontinuit\u00e0.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6cc33f4306e45701e8bc92457779201d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{p(x)}{q(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Le funzioni esponenziali<\/strong> sono continue su tutti i numeri reali:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73aa6cf687ce5e8c2f9faf41f5614e53_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=a^x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Le funzioni logaritmiche<\/strong> sono continue in tutti i punti che rendono positivo il loro argomento.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d94badc2befa1e0c57a867970b1040aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log_a (x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La continuit\u00e0 delle <strong>funzioni irrazionali<\/strong> , o funzioni con radici, dipende dall&#8217;indice del radicale (n). Se l&#8217;indice \u00e8 pari, si tratta di funzioni continue in tutti i punti che rendono l&#8217;argomento radice uguale o maggiore di zero. Ma se l&#8217;indice \u00e8 dispari, si tratta di funzioni continue su tutti i numeri reali.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca6c3302aac609e9214e62444cfec2bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[n]{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La continuit\u00e0 delle <strong>funzioni trigonometriche<\/strong> dipende dal tipo di funzione. La funzione seno e la funzione coseno sono continue sull&#8217;insieme dei numeri reali, ma la funzione tangente \u00e8 discontinua nei punti\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c1c82b94111254bf0771af43a5b4411_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x=\\frac{\\pi}{2}+k\\pi\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<p> (dove <em>k<\/em> \u00e8 un numero intero). <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a42292efae266c09baade046e8a3cb76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=sen(x)\\qquad f(x)=cos(x)\\qquad f(x)=tg(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"383\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-las-funciones-continuas\"><\/span> Propriet\u00e0 delle funzioni continue<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sean<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7ee323bc5a3f73ad5e066b13bed5504_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6a5054ad96fb0978182340eb214bb125_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"32\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> due funzioni continue nel punto<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c20f4d749ca0651113257e1f1ea66b02_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=a,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Prossimo:<\/p>\n<ul>\n<li> La <strong>somma di due funzioni continue<\/strong> in un punto \u00e8 un&#8217;altra funzione continua in quel punto.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c566932a59271b6e33a784bcf81ee749_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)+g(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il <strong>prodotto di due funzioni continue<\/strong> in un punto \u00e8 uguale a un&#8217;altra funzione continua in quel punto.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d47b381826b8c5e901bf202b6d4b14c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)\\cdot g(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Dividendo due funzioni continue<\/strong> in un punto si ottiene un&#8217;altra funzione continua in quel punto, purch\u00e9 quel punto non annulli la funzione di divisione.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5962b35380c55e0089deeac0a98b01fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{f(x)}{g(x)}\\qquad g(a)\\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La <strong>composizione di due funzioni continue<\/strong> in un punto d\u00e0 origine ad una funzione continua in quello stesso punto.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba04f43c8995b3659a05f370a10485a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)\\circ g(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/composizione-di-funzioni-funzione-composita\/\">cos&#8217;\u00e8 una funzione composta?<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-continuidad-de-una-funcion\"><\/span> Esercizi risolti sulla continuit\u00e0 di una funzione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Trova le discontinuit\u00e0 della funzione mostrata nel grafico seguente. Determinare anche di che tipo di discontinuit\u00e0 si tratta. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-discontinuites-de-fonctions.webp\" alt=\"l'esercizio risolveva le discontinuit\u00e0 delle funzioni\" class=\"wp-image-1433\" width=\"400\" height=\"344\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<p> <strong>Nota:<\/strong> per svolgere questo esercizio ti consigliamo di vedere prima quali sono i diversi tipi di discontinuit\u00e0 e come vengono identificate. Puoi vedere la spiegazione nel collegamento al principio dei <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">tipi di discontinuit\u00e0<\/u> . <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per disegnare la funzione devi alzare la matita in x=-2, in x=1 e in x=4. La funzione \u00e8 quindi discontinua in questi tre punti.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In x=-2, il limite del lato sinistro \u00e8 +\u221e e il limite del lato destro \u00e8 3. Pertanto, poich\u00e9 uno dei limiti laterali \u00e8 infinito, la funzione ha un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto infinito in x=-2.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eff79ace33659ceb8203e6e27f38fe35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -2^-} f(x) = +\\infty \\ \\neq \\ \\lim_{x \\to -2^+} f(x) = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"296\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il limite della funzione in x=1 \u00e8 0 e, invece, il valore della funzione in x=1 \u00e8 uguale a 2. La funzione presenta quindi una discontinuit\u00e0 evitabile in x=1. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a616cc5210984ffeed3525a219dd53a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1^-} f(x) =   \\lim_{x \\to 1^+} f(x) = 0 \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\lim_{x \\to 1} f(x) = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61593bab94da601722d6ae7aedfdb172_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1} f(x) =  0 \\neq  f(0) = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In x = 4, il limite del lato sinistro \u00e8 -3 e il limite del lato destro \u00e8 1. Pertanto, poich\u00e9 i due limiti laterali sono diversi e nessuno dei due d\u00e0 infinito, la funzione ha inevitabilmente una discontinuit\u00e0 di salto finito in x =4. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b758745a987f927350b2d885009c3a87_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 4^-} f(x) = -3 \\ \\neq \\ \\lim_{x \\to 4^+} f(x) = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"265\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Determina i punti in cui la funzione mostrata nel grafico seguente \u00e8 discontinua. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-types-de-discontinuites-d-une-fonction.webp\" alt=\"esercizio risolto sui tipi di discontinuit\u00e0 di una funzione\" class=\"wp-image-1435\" width=\"515\" height=\"434\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nel punto x=6 la funzione viene interrotta perch\u00e9 c&#8217;\u00e8 un punto in sospeso. Il limite quando x si avvicina a 6 \u00e8 -1,4 ma f(6)=1. La funzione presenta quindi una discontinuit\u00e0 evitabile in x=6 perch\u00e9 il valore del limite non coincide con il valore della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33612be383c71fea04c8c886710f7f10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left. \\begin{array}{l} \\displaystyle \\lim_{x \\to 6^-} f(x)=-1,4\\\\[3ex] \\displaystyle \\lim_{x \\to 6^+} f(x)=-1,4 \\end{array} \\right\\} \\bm{\\longrightarrow} \\lim_{x \\to 6} f(x)=-1,4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"326\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-647b9aea6cc8b605d7e8bc7d5e83ee64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x \\to 6} f(x)=-1,4 \\neq f(6)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> A x=-3 i limiti laterali non coincidono e nessuno d\u00e0 infinito. La funzione presenta quindi un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto finito in x=-3.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f7d2a2c7abbc525adfcc7576b449f1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -3^-} f(x)=-2 \\neq \\lim_{x \\to -3^+} f(x)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"275\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E infine, la funzione ha un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto infinito in x = 3, poich\u00e9 almeno un limite laterale a questo punto risulta in infinito. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89bdb1598b6153cec4e9efce7b0927b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 3^-} f(x)=+\\infty \\qquad \\lim_{x \\to 3^+} f(x)=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Analizzare la continuit\u00e0 della seguente funzione razionale: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59ee18262fd6f3427ebab6ceabb22868_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\frac{2}{x-5}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le funzioni razionali sono continue in tutto il loro dominio, cio\u00e8 in tutti i numeri reali tranne i valori che annullano il denominatore. Pertanto, poniamo il denominatore della funzione razionale uguale a zero per vedere quali punti non appartengono al dominio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-845b4cbd750afedb8e09b0ed6a9809c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x-5=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"73\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ddab230605c435eb8b7408a736d3e77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96a28ea816d10d62e90dd13ad1aa79c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f = \\mathbb{R} - \\{5\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"138\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione sar\u00e0 quindi continua in tutti i punti tranne x=5.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 4<\/h3>\n<p> Analizzare la continuit\u00e0 della seguente funzione a tratti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a18e6289d268e6ea9fe1ee3ea14d31fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} 5x-2 &amp; \\text{si} &amp;  x < 1 \\\\[2ex] x^2+2 &amp; \\text{si} &amp; x \\geq 1 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"218\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione \u00e8 continua anche nella prima sezione,<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e05d9a74362639e610acff0ab2d83b16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"5x-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , come nella seconda sezione,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79baa9dfae33805a8e2362cc182fd867_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> , poich\u00e9 sono funzioni polinomiali.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi l&#8217;unico punto in cui la funzione potrebbe essere discontinua \u00e8 il punto in cui la funzione si interrompe a pezzi. Calcoliamo quindi a questo punto i limiti laterali: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c84a263e22011d5c8d67c9ee977f98e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1^-} f(x) = \\lim_{x \\to 1} (5x-2)=5\\cdot 1-2=\\bm{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"309\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1d1b6f5e109c06114b9e36af6f7078a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1^+} f(x) = \\lim_{x \\to 1} (x^2+2)=1^2+2=\\bm{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"293\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> I due limiti laterali coincidono quindi, il limite della funzione quando x tende a 1 \u00e8 pari a 3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a621c7ef999aae5418c2f71da1da67f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1^-} f(x) = \\lim_{x \\to 1^+} f(x) = 3 \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\exists \\lim_{x \\to 1} f(x) = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"360\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Inoltre, anche l&#8217;immagine di x=1 \u00e8 3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61f3e46233f15d71b39af62ae6bfb4eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(1)=1^2+2=\\bm{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"137\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, poich\u00e9 il limite della funzione in x=1 \u00e8 uguale all&#8217;immagine di detto punto, la funzione \u00e8 continua nel punto x=1. E quindi \u00e8 continua in tutti i numeri reali. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8cb4559dfddcda3b3c68a5d64eeadcee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(1)=\\lim_{x \\to 1} f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 5<\/h3>\n<p> Studia la continuit\u00e0 della seguente funzione irrazionale: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c43021550a231793494acc2b6eea24d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt{2x+6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> \u00c8 una funzione radicale con indice pari, quindi la funzione sar\u00e0 continua finch\u00e9 l&#8217;argomento del radicale \u00e8 maggiore di 0 (perch\u00e9 la radice quadrata di un numero negativo non esiste):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d54da4e00c0cc48d43914e9e34b1c1d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x+6\\ge 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Risolviamo la disuguaglianza: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7739f2163d650971be01af6f5a93ae25_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x\\ge -6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db29954e4e5815cd2bf4bcbfe4c53145_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\\ge \\cfrac{-6}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfc84780b14328431bcc372ff904772d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\\ge -3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La soluzione \u00e8 composta da tutti i numeri maggiori o uguali a -3. La funzione \u00e8 quindi continua sull&#8217;intervallo del suo dominio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d2a6678926adfe02dc663e155ec573f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbf{Dom } \\ \\bm{f = [-3,+\\infty) }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 6<\/h3>\n<p> Analizzare la continuit\u00e0 della seguente funzione logaritmica: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2c2073b5212610fcc153bdb47eacccf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log_3 (-3x+6)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Questa \u00e8 una funzione logaritmica e non esiste n\u00e9 il logaritmo di un numero negativo n\u00e9 il logaritmo di 0. Pertanto, la funzione esister\u00e0 finch\u00e9 l&#8217;argomento del logaritmo sar\u00e0 positivo (maggiore di zero):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53c23d1b367425e8cfb94fb36235b8f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3x+6>0&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;14&#8243; width=&#8221;95&#8243; style=&#8221;vertical-align: -2px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Risolviamo la disuguaglianza: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0183470903eba7ebd08dfcdbf49287e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3x>-6&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;14&#8243; width=&#8221;78&#8243; style=&#8221;vertical-align: -2px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c67175fd587232ef7d927f7dfca725f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x<\\cfrac{-6}{-3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ricorda che quando dividi un numero negativo per l&#8217;altro lato di una disuguaglianza, devi invertire il segno della disuguaglianza.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88de95669c546ef6d18c28d0579fbe0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x<2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La soluzione \u00e8 costituita da tutti i numeri minori di 2. Il dominio di definizione della funzione \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-505dcdf16c80fdf012163a8800d92836_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbf{Dom } \\ \\bm{f = (-\\infty,2) }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione \u00e8 quindi continua in ogni punto del suo dominio.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 7<\/h3>\n<p> Calcolare la continuit\u00e0 della seguente funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66e02ab966f87bc29b3791246fbf8032_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{4x-2}{\\sqrt{-2x-8}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Al denominatore della frazione abbiamo un radicale con indice pari, quindi la funzione esister\u00e0 ogni volta che il contenuto della radice sar\u00e0 uguale o maggiore di zero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-042efdf7af54fcbec527f0ee83e1b007_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-2x-8\\geq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Inoltre, la radice \u00e8 nel denominatore della frazione e il denominatore di una frazione non pu\u00f2 mai essere 0. Quindi la funzione esister\u00e0 solo se il contenuto della radice \u00e8 strettamente maggiore di 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62002e9d71e0718d04d6d9db08d0e04b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-2x-8> 0&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;14&#8243; width=&#8221;95&#8243; style=&#8221;vertical-align: -2px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ora risolviamo la disuguaglianza: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-336543c46271685f7d069786d2cf4e12_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-2x>8&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;14&#8243; width=&#8221;64&#8243; style=&#8221;vertical-align: -2px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e4a2af9f53dd0a356211660f770666e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x<\\cfrac{8}{-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ricorda che quando cambiamo i lati di un numero negativo moltiplicando o dividendo una disuguaglianza, dobbiamo anche ruotare il segno della disuguaglianza.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee1c9c50b3c39064f9670f06f9bdc8fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x<-4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"57\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il risultato sono tutti i numeri inferiori a -4. Pertanto il dominio della funzione, e quindi la sua continuit\u00e0, sono definiti dal seguente intervallo: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00cfb1cb63133c3092854bb810abfce8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbf{Dom } \\ \\bm{f = (-\\infty,-4) }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 8<\/h3>\n<p> Calcolare il valore di <em>k<\/em> in modo che la funzione sia continua ovunque <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6a134e3092861eafea1239dba23bea40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbb{R} .\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7d8f0d6e0730c139c3baff0989a8fe7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} kx-1 &amp; \\text{si} &amp;  x \\leq 2 \\\\[2ex] 3x^2 - 5  &amp; \\text{si} &amp; x > 2 \\end{array} \\right.&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;65&#8243; width=&#8221;225&#8243; style=&#8221;vertical-align: 0px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Affinch\u00e9 la funzione sia continua, i due limiti laterali nel punto di interruzione devono dare lo stesso risultato. Calcoliamo quindi prima il limite laterale al punto di rottura della parte che non ha <em>k<\/em> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7eff7d699bc801340c66f4fd95c30b2c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 2^+} f(x) = \\lim_{x \\to 2} (3x^2 - 5) = 3\\cdot 2^2-5=\\bm{7}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"324\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, affinch\u00e9 la funzione a tratti sia continua, anche il limite dell&#8217;altro lato deve essere uguale a 7.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Proviamo a calcolare l&#8217;altro limite laterale:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1fc80cd47e7fd6cf50b2f2de57c4b40f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 2^-} f(x) = \\lim_{x \\to 2} (kx-1) = k\\cdot2 -1= 2k-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, affinch\u00e9 la funzione sia continua, i due limiti laterali di un punto qualsiasi devono dare lo stesso risultato. Poniamo quindi l&#8217;espressione ottenuta dal limite pari a 7 (il risultato dell&#8217;altro limite laterale).<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b99f2f508e7c3f7ab4ebaa9f30638a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2k -1= 7\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"82\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E infine, risolviamo l&#8217;equazione risultante per trovare il valore di <em>k<\/em> : <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c591d3bbba83f012852966634d0d8234_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2k-1 = 7\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"82\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-747038396badd9b1d5e6336cf463fe13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2k = 7 +1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa5cd6bc10e8ce9c34542635d995323c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2k = 8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"51\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1009397e0b35416230f2a5a3d307755a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k = \\cfrac{8}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffe7f00b80fc8f5c4961250446632d6e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{k =4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questo articolo spieghiamo cosa sono le funzioni continue e come determinare se una funzione \u00e8 continua in un punto oppure no. 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