{"id":269,"date":"2023-07-10T04:04:14","date_gmt":"2023-07-10T04:04:14","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/geometria-piana\/"},"modified":"2023-07-10T04:04:14","modified_gmt":"2023-07-10T04:04:14","slug":"geometria-piana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/geometria-piana\/","title":{"rendered":"Il piano (geometria)"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai la spiegazione di cos&#8217;\u00e8 un aereo, come si calcola e tutte le sue propriet\u00e0. Inoltre, potrai vedere esempi di piani, quali sono le posizioni relative tra due piani, come determinare l&#8217;angolo tra 2 piani e, infine, come esprimere numericamente qualsiasi piano utilizzando le equazioni del piano.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-un-plano\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 un piano?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nella geometria analitica, la definizione di piano \u00e8 la seguente:<\/p>\n<p> <strong>Un piano \u00e8 un oggetto geometrico che ha due dimensioni (lunghezza e larghezza).<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/quel-est-l-avion.webp\" alt=\"cos'\u00e8 il piano cartesiano?\" class=\"wp-image-3433\" width=\"417\" height=\"203\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Pertanto un piano contiene infinite linee e infiniti punti. Nella rappresentazione grafica sopra puoi vedere la differenza tra un piano, una linea e un punto. Puoi anche verificare che la linea<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> e la mancia<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sono contenuti nell&#8217;aereo<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26622dd58bf71cd1b543c3d83233c561_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come puoi vedere nel piano grafico, i piani sono solitamente denominati con lettere greche:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdef793ea5450647d6139c80d45be77a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi, \\alpha, \\beta,...\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Un esempio di piano che usiamo molto in matematica \u00e8 il piano cartesiano. Il piano cartesiano \u00e8 il piano definito dall&#8217;asse delle ascisse (asse X) e dall&#8217;asse delle ordinate (asse Y). Uno degli usi del piano cartesiano \u00e8 che viene utilizzato per descrivere la posizione di un oggetto in un sistema di riferimento.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"determinacion-de-un-plano\"><\/span>Determinazione di un piano<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Ora che abbiamo visto il significato di piano, vediamo come pu\u00f2 essere determinato qualsiasi piano nello spazio tridimensionale (in R3).<\/p>\n<p> Una pianta \u00e8 interamente determinata dai seguenti elementi geometrici:<\/p>\n<ul>\n<li> Tre punti non allineati.<\/li>\n<li> Una linea retta e un punto esterno.<\/li>\n<li> Due rette parallele o due rette che si intersecano.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Per quanto riguarda l&#8217;ultimo punto, probabilmente gi\u00e0 sai cosa significa che due rette sono parallele. Ma il significato delle linee secanti \u00e8 meno conosciuto, quindi se hai qualche domanda qui, puoi controllare <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-linee-che-si-intersecano\/\">cosa sono le linee secanti<\/a> .<\/p>\n<p> Pertanto, se rispettiamo una delle 3 condizioni precedenti, significa che possiamo elaborare un piano.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-del-plano\"><\/span> propriet\u00e0 del piano<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il piano risponde alle seguenti caratteristiche:<\/p>\n<ul>\n<li> Un piano contiene un&#8217;infinit\u00e0 di punti.<\/li>\n<li> Un piano contiene un&#8217;infinit\u00e0 di linee.<\/li>\n<li> Un piano \u00e8 illimitato, cio\u00e8 \u00e8 una superficie che si estende nello spazio senza limiti.<\/li>\n<li> Due piani che si intersecano determinano una linea.<\/li>\n<li> Una linea che ha un punto in un piano non \u00e8 necessariamente contenuta in esso. Affinch\u00e9 una linea faccia parte di un piano, deve avere almeno due punti nel piano.<\/li>\n<li> Infiniti piani attraversano una linea retta.<\/li>\n<li> Un semipiano \u00e8 ciascuna delle 2 parti in cui si divide un piano quando viene tagliato da una delle sue linee. <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ecuaciones-del-plano\"><\/span> equazioni piane<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nella geometria analitica, l&#8217; <strong>equazione di un piano<\/strong> \u00e8 un&#8217;equazione che consente di esprimere matematicamente qualsiasi piano. Quindi, per trovare l&#8217;equazione di un piano, hai solo bisogno di un punto e di due vettori linearmente indipendenti appartenenti a quel piano. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equations-planes.webp\" alt=\"Equazione del piano xy online\" class=\"wp-image-2443\" width=\"404\" height=\"142\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Tuttavia, come abbiamo visto in precedenza nella spiegazione del concetto di piano, esistono diversi modi per determinare un piano. Ebbene, allo stesso modo, ci sono anche diversi modi di esprimere analiticamente un piano.<\/p>\n<p> Quindi tutti i tipi di equazioni del piano sono: l&#8217; <strong>equazione vettoriale<\/strong> , le <strong>equazioni parametriche<\/strong> , l&#8217; <strong>equazione implicita (o generale)<\/strong> e l&#8217; <strong>equazione canonica (o segmentale)<\/strong> del piano.<\/p>\n<p> Poi vedremo nel dettaglio la spiegazione e la formula di tutte le equazioni del piano. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ecuacion-vectorial-del-plano\"><\/span> Equazione vettoriale del piano<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Consideriamo un punto e due vettori di direzione di un piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf5d4130501bb01b15aa80f8f80caf1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\\\[2ex] \\vv{\\text{u}}=(\\text{u}_x,\\text{u}_y,\\text{u}_z)\\\\[2ex] \\vv{\\text{v}}=(\\text{v}_x,\\text{v}_y,\\text{v}_z)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"116\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La <strong>formula per l&#8217;equazione vettoriale di un piano<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9227901692832cb0c176a896d35e896_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      (x,y,z)=P+\\lambda \\vv{\\text{u}} + \\mu \\vv{\\text{v}} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> O equivalente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78b41d21b63c22ec05d3f93576a897e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\\lambda (\\text{u}_x,\\text{u}_y,\\text{u}_z) + \\mu (\\text{v}_x,\\text{v}_y,\\text{v}_z)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"398\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b5c45836864531b8e37025dabadd24a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lambda\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> sono due scalari, cio\u00e8 due numeri reali. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ecuaciones-parametricas-del-plano\"><\/span> Equazioni parametriche del piano<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> La formula per l&#8217; <strong>equazione parametrica di un piano<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1791802331aa9973126b3d7c7f1b716_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle \\begin{cases}x=P_x + \\lambda \\text{u}_x + \\mu \\text{v}_x \\\\[1.7ex] y=P_y + \\lambda \\text{u}_y + \\mu \\text{v}_y\\\\[1.7ex] z=P_z + \\lambda\\text{u}_z + \\mu \\text{v}_z \\end{cases} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oro:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b5c45836864531b8e37025dabadd24a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lambda\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> sono due scalari, cio\u00e8 due numeri reali.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b77e9af6839a6bc60da39dd1798dd6f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{u}_x,\\text{u}_y,\\text{u}_z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<p> sono le componenti di uno dei due vettori guida del piano<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8a3eef2109d6a80a337c88337a1443e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}=(\\text{u}_x,\\text{u}_y,\\text{u}_z).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f61b32275ccdbca7f8d5e0b3c750dd35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{v}_x,\\text{v}_y,\\text{v}_z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<p> sono le componenti dell&#8217;altro vettore direttivo del piano <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-75c6a57a037206319f16dec389993ded_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}=(\\text{v}_x,\\text{v}_y,\\text{v}_z).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ecuacion-implicita-o-general-del-plano\"><\/span> Equazione implicita o generale del piano<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Consideriamo un punto e due vettori di direzione di un piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf5d4130501bb01b15aa80f8f80caf1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\\\[2ex] \\vv{\\text{u}}=(\\text{u}_x,\\text{u}_y,\\text{u}_z)\\\\[2ex] \\vv{\\text{v}}=(\\text{v}_x,\\text{v}_y,\\text{v}_z)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"116\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> L&#8217;equazione implicita, generale o cartesiana di un piano si ottiene risolvendo il seguente determinante e ponendo il risultato uguale a 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68d67612dfa54d76666aa37b702a472f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix}\\text{u}_x &amp; \\text{v}_x &amp; x-P_x \\\\[1.1ex]\\text{u}_y &amp; \\text{v}_y &amp; y-P_y \\\\[1.1ex]\\text{u}_z &amp; \\text{v}_z &amp; z-P_z \\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"163\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, l\u2019 <strong>equazione implicita o generale del piano risultante<\/strong> sar\u00e0 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dcacf16123986ecd33dace4f4411914_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle Ax+By+Cz+D=0 \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questo tipo di equazione piana \u00e8 anche chiamata equazione piana cartesiana. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ecuacion-canonica-o-segmentaria-del-plano\"><\/span> Equazione canonica o segmentale del piano<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> La <strong>formula per l&#8217;equazione canonica o segmentale di un piano<\/strong> \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c19853d465a703aa398bde04fa3222c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle \\cfrac{x}{a}+\\cfrac{y}{b} + \\cfrac{z}{c} = 1  \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oro:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il punto di intersezione tra il piano e l&#8217;asse X.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il punto di intersezione tra il piano e l&#8217;asse Y.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41a04eeea923a1a0c28094a8a4680525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"c\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Qui \u00e8 dove il piano interseca l&#8217;asse Z. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> L\u2019equazione canonica (o segmentale) del piano si pu\u00f2 ricavare anche dalla sua equazione generale:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27e298e3103f917bd81b20315b6d9025_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Ax+By+Cz+D=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"183\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Innanzitutto, risolviamo il coefficiente D dall&#8217;equazione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e6829185741f883a29bf004cbf570a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Ax+By+Cz=-D\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"166\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi dividiamo l&#8217;intera equazione del piano per il valore del parametro D cambiato segno:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04843e22b4176c0ce921483f93dffeab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{Ax+By+Cz}{-D}=\\cfrac{-D}{-D}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"176\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-278ce62f85ca44612254f48e96154726_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{Ax}{-D}+\\cfrac{By}{-D}+\\cfrac{Cz}{-D}=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"166\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E, utilizzando le propriet\u00e0 delle frazioni, arriviamo alla seguente espressione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a58254e773c7c14b5b337a4330997125_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x}{-\\frac{D}{A}}+\\cfrac{y}{-\\frac{D}{A}}+\\cfrac{z}{-\\frac{D}{A}}=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da questa espressione deduciamo quindi le formule che permettono di calcolare direttamente i termini dell&#8217;equazione canonica o segmentaria di un piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-86975df14352b1b0c2ca05d2daaf40f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a=-\\cfrac{D}{A} \\qquad b=-\\cfrac{D}{B} \\qquad c=-\\cfrac{D}{C}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"260\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> di conseguenza, per poter formare questa variante delle equazioni del piano, i coefficienti A, B e C devono essere diversi da zero, evitando cos\u00ec indeterminazioni delle frazioni. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"posicion-relativa-de-dos-planos\"><\/span> Posizione relativa di due piani<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nella geometria analitica ci sono solo tre possibili posizioni relative tra due piani: piani secanti, piani paralleli e piani coincidenti.<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Piani che si intersecano<\/strong> : due piani si intersecano se si intersecano solo su una linea.<\/li>\n<li> <strong>Piani paralleli<\/strong> : due piani sono paralleli se non si intersecano in nessun punto.<\/li>\n<li> <strong>Piani coincidenti<\/strong> : Due piani sono coincidenti se hanno tutti punti in comune. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-30\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#ff6f00\"> <strong>piani che si intersecano<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/plans-secants.webp\" alt=\"posizione relativa di due piani che si intersecano\" class=\"wp-image-2814\" width=\"265\" height=\"258\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#ff6f00\"> <strong>piani paralleli<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/plans-paralleles-1.webp\" alt=\"posizione relativa di due piani paralleli\" class=\"wp-image-2815\" width=\"266\" height=\"166\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#ff6f00\"> <strong>piani coincidenti<\/strong> <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/deux-avions-coincidents.webp\" alt=\"posizione relativa di due piani coincidenti\" class=\"wp-image-2820\" width=\"294\" height=\"83\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Inoltre, se due piani che si intersecano si intersecano con un angolo di 90\u00ba, sono due <strong>piani reciprocamente perpendicolari<\/strong> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"angulo-entre-dos-planos\"><\/span> Angolo tra due piani<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> L&#8217;angolo tra due piani \u00e8 uguale all&#8217;angolo formato dai vettori normali di detti piani. Pertanto, <strong>per trovare l&#8217;angolo tra due piani, si calcola l&#8217;angolo formato dai loro vettori normali, poich\u00e9 sono equivalenti.<\/strong><\/p>\n<p> Quindi, una volta che sappiamo esattamente in cosa consiste l&#8217;angolo tra due piani, vediamo la formula per calcolare l&#8217;angolo tra due piani nello spazio, che si deduce dalla formula dell&#8217;angolo tra due vettori:<\/p>\n<p> Data l&#8217;equazione generale (o implicita) di due piani diversi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfa3d7e6f1ece8353327be7c9227d75b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_1 : \\ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"249\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c3966346685421fe3e535cf57a5491d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_2 : \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"249\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il vettore normale di ciascun piano \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb0ca06882e0d61d6f8134368946ef29_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22fba6a063a544bdf257e64d8d139238_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E l&#8217;angolo formato da questi due piani si determina calcolando l&#8217;angolo formato dai loro vettori normali utilizzando la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0329572a30e8d75bd3795469fe65493_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle \\cos(\\alpha) =\\cfrac{\\lvert \\vv{n}_1 \\cdot \\vv{n}_2\\rvert}{\\lvert \\vv{n}_1 \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{n}_2 \\rvert} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ovviamente, una volta calcolato dalla formula il coseno dell&#8217;angolo formato dai due piani, dobbiamo invertire il coseno per trovare il valore di detto angolo.<\/p>\n<p> Quando invece i due piani sono perpendicolari o paralleli, non \u00e8 necessario applicare la formula, perch\u00e9 l&#8217;angolo tra i 2 piani pu\u00f2 essere determinato direttamente:<\/p>\n<ul>\n<li> L&#8217;angolo tra due piani paralleli \u00e8 0\u00ba, poich\u00e9 i loro vettori normali hanno la stessa direzione.<\/li>\n<li> L&#8217;angolo tra due piani perpendicolari \u00e8 90\u00ba, perch\u00e9 anche i loro vettori normali sono perpendicolari (o ortogonali) tra loro e quindi formano un angolo retto.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai la spiegazione di cos&#8217;\u00e8 un aereo, come si calcola e tutte le sue propriet\u00e0. 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