{"id":263,"date":"2023-07-10T06:51:49","date_gmt":"2023-07-10T06:51:49","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-punti-complanari-o-complanari-esercizi-risolti\/"},"modified":"2023-07-10T06:51:49","modified_gmt":"2023-07-10T06:51:49","slug":"esempi-di-punti-complanari-o-complanari-esercizi-risolti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-punti-complanari-o-complanari-esercizi-risolti\/","title":{"rendered":"Punti complanari (o complanari)."},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina scoprirai cosa sono i punti complanari (o complanari) e come sapere se determinati punti sono complanari o meno. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi sui punti complanari risolti. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-son-los-puntos-coplanarios\"><\/span> Cosa sono i punti complanari?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In geometria analitica il significato dei punti complanari (o complanari) \u00e8 il seguente:<\/p>\n<p> <strong>I punti complanari sono punti che appartengono allo stesso piano.<\/strong><\/p>\n<p> Pertanto, 2 o 3 punti sono sempre complanari perch\u00e9 un piano pu\u00f2 essere formato anche con soli 3 punti. Quando invece i punti sono 4, 5 o pi\u00f9, \u00e8 possibile che alcuni punti non siano contenuti nello stesso piano e, quindi, non siano complanari. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/points-coplanaires.webp\" alt=\"punti complanari\" class=\"wp-image-3165\" width=\"411\" height=\"215\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Ad esempio, nella rappresentazione grafica qui sopra, puoi vedere che i punti A, C, D e F sono complanari tra loro, poich\u00e9 sono contenuti nello stesso piano. D&#8217;altra parte questi 4 punti non sono complanari ai punti B, E e G, perch\u00e9 nello spazio che contiene tutti i punti non si pu\u00f2 formare alcun piano.<\/p>\n<p> Da questa propriet\u00e0 si deduce che i vettori definiti da punti complanari sono anche vettori complanari, cio\u00e8 sono contenuti nello stesso piano. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcuando-los-puntos-son-coplanarios\"><\/span> Quando i punti sono complanari?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Come abbiamo visto nella definizione di punti complanari (o complanari), due o tre punti sono sempre complanari, ma non \u00e8 necessario che pi\u00f9 di tre punti rispettino il rapporto di complanarit\u00e0.<\/p>\n<p> Quindi, ci sono principalmente 2 metodi per determinare se quattro o pi\u00f9 punti sono complanari:<\/p>\n<ul>\n<li> Un modo per sapere se i punti sono complanari \u00e8 tramite i vettori determinati dai punti: <strong>se questi vettori sono complanari<\/strong> , anche i punti sono complanari.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Ovviamente per applicare questo metodo \u00e8 necessario sapere quando i vettori sono complanari. Ma poich\u00e9 esistono anche diversi modi per determinare se un insieme di vettori \u00e8 complanare, ti consigliamo di verificare <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/vettori-complanari-o-complanari\/\">come determinare se i vettori sono complanari<\/a> . Qui troverai tutte le procedure esistenti per trovare quando 2, 3, 4 o pi\u00f9 vettori sono complanari, oltre ad esempi ed esercizi risolti.<\/p>\n<ul>\n<li> Un altro modo per sapere se un insieme di punti \u00e8 complanare \u00e8 <strong><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/equazioni-piane-nello-spazio\/\">trovare l&#8217;equazione del piano<\/a><\/strong> formato da 3 punti nell&#8217;insieme, e se gli altri punti soddisfano questa equazione, allora ci\u00f2 significa che tutti i punti nell&#8217;insieme sono complanari.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Anche se dipende dal problema, consigliamo di utilizzare il primo dei due metodi, perch\u00e9 \u00e8 molto pi\u00f9 semplice e veloce verificare se i vettori sono complanari che calcolare l&#8217;equazione di un piano. Ma ovviamente usa quello che preferisci. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-puntos-coplanarios\"><\/span> Risolti problemi di punti complanari<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Determina se i seguenti tre punti sono complanari: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a6d39406adb983eaad3c40c2e5d352c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(3,5,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2db4553e8942cf714a98783699f44f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B(0,-2,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-93a412e1bb305cd785882fd481852c9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C(4,-1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso non \u00e8 necessario fare alcun calcolo perch\u00e9 <strong>3 punti sono sempre complanari<\/strong> , qualunque essi siano.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 2<\/h3>\n<p> Determina se i seguenti quattro punti sono complanari: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-adbc97b4e3f0c30a1cd47fb6eea0b566_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(1,2,0)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5ca7779c360bcb8ad9cf4d6b6a455a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B(-1,3,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8910b93724e6f59b070ee26673c9426a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C(1,0,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d40d5bb66afe9a8e8445cdb8b7cac0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"D(2,5,-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Affinch\u00e9 i quattro punti siano complanari, i vettori da essi determinati devono essere complanari. Calcoliamo quindi questi vettori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7922b55a4e968ce9ef945ddf4b0973e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB} = B- A = (-1,3,4)-(1,2,0) = (-2,1,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"365\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8dfa4c2463f3a69890706b0387f1fbc4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AC} = C- A = (1,0,-1)-(1,2,0) = (0,-2,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"378\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5617a7317e2c18fcb39b3be782e26c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AD} = D- A = (2,5,-3)-(1,2,0) = (1,3,-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"367\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Costruiamo ora la matrice formata dai vettori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-873ec750665fdf215a648778d6fcf042_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A= \\begin{pmatrix} -2&amp;1&amp;4 \\\\[1.1ex]0&amp;-2&amp;-1 \\\\[1.1ex] 1&amp;3&amp;-3\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"164\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Affinch\u00e9 i vettori risultanti siano complanari, il rango della matrice precedente deve essere uguale a 2. E, per questo, il determinante dell&#8217;intera matrice 3\u00d73 deve essere uguale a zero: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18eb85dd3870c1e7c865705200cf6414_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A)= \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3eadb62f19c07b8a646fe9b2a00f9003_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} -2&amp;1&amp;4 \\\\[1.1ex]0&amp;-2&amp;-1 \\\\[1.1ex] 1&amp;3&amp;-3\\end{vmatrix} =-11\\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"198\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-466d66279a42e8aeb422d568e1547ef9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Tuttavia il determinante dell\u2019intera matrice \u00e8 diverso da zero, quindi il rango della matrice \u00e8 3, e quindi <strong>i 4 punti non sono complanari<\/strong> .<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 3<\/h3>\n<p> Scopri se i seguenti cinque punti sono complanari: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-083776221bb4167cd960c67da2435d9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(3,1,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1a43aebd7e3c897898050e7440b0fe9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B(0,0,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e69260b8e3baacdfd4f673aeb87fba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C(4,-2,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e862d9c0d7c715b2268b594c199f506a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"D(-1,1,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f361ff1c29cf0a1dba88da8bdb1fb448_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E(2,4,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Affinch\u00e9 tutti e cinque i punti siano complanari, i vettori da essi definiti devono essere complanari. Calcoliamo quindi questi vettori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b6a321df8b7b3e37dc31bf0cb9542dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB} = B- A = (0,0,2)-(3,1,1) = (-3,-1,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"365\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-611bc1c76bcadfe27e2a793128a5a3c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AC} = C- A = (4,-2,-1)-(3,1,1) = (1,-3,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"392\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ff805267450b865998e62bbc20111b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AD} = D- A = (-1,1,3)-(3,1,1) = (-4,0,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"366\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-494b794700c9c99091abf0fd59523dd8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AE} = E- A = (2,4,3)-(3,1,1) = (-1,3,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Costruiamo ora la matrice composta dai vettori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d571ea172dbf5e6b7d85da6db466eb0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A= \\begin{pmatrix} -3&amp;-1&amp;1 \\\\[1.1ex]1&amp;-3&amp;-2 \\\\[1.1ex] -4&amp;0&amp;2\\\\[1.1ex] -1&amp;3&amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"164\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Affinch\u00e9 i vettori risultanti siano complanari, il rango della matrice precedente deve essere uguale a 2. Calcoliamo quindi il rango della matrice dei vettori mediante determinanti per verificare se sono complanari: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18eb85dd3870c1e7c865705200cf6414_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A)= \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bec15883d9e3aa5a401afa41cd3992ae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} -3&amp;-1&amp;1 \\\\[1.1ex]1&amp;-3&amp;-2 \\\\[1.1ex] -4&amp;0&amp;2\\end{vmatrix} = 0 \\qquad \\begin{vmatrix} -3&amp;-1&amp;1 \\\\[1.1ex]1&amp;-3&amp;-2 \\\\[1.1ex] -1&amp;3&amp;2\\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"326\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd2f8cfa577e91b74c69e50cc36dfd9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} -3&amp;-1&amp;1 \\\\[1.1ex] -4&amp;0&amp;2\\\\[1.1ex] -1&amp;3&amp;2\\end{vmatrix} = 0 \\qquad \\begin{vmatrix} 1&amp;-3&amp;-2 \\\\[1.1ex] -4&amp;0&amp;2\\\\[1.1ex] -1&amp;3&amp;2\\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"312\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d551dddceb916cc6cf8bf4137903da1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} -3&amp;-1 \\\\[1.1ex] 1&amp;-3\\end{vmatrix} =10\\neq  0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6865ac4ae80c8b5a6eff791a9da5a937_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il rango della matrice \u00e8 equivalente a 2, quindi i vettori sono complanari e quindi <strong>sono complanari anche i 5 punti.<\/strong><\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 4<\/h3>\n<p> Calcolare il valore del parametro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> in modo che i seguenti 4 punti siano complanari: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9483cca4fc2a94923b7c72ed89fc2d5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(3,1,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5b113e265916c03a6de0547cfeb380b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B(2,1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-add9ad10fb8badd9de84f8ad1dcfe38d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C(0,-1,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d5054a3ce659090916cda61b74f60bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"D(3,2,k)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Affinch\u00e9 i quattro punti siano complanari, i vettori da essi determinati devono essere complanari. Calcoliamo quindi questi vettori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-996a90c58f67665e4a68e9dd4de6c718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB} = B- A = (2,1,2)-(3,1,4) = (-1,0,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"365\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae552981d5729c931f5bbb26c133ecc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AC} = C- A = (0,-1,3)-(3,1,4) = (-3,-2,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"392\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91aec8ed49541d8c2d8ca0b3b1f8a20d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AD} = D- A = (3,2,k)-(3,1,4) = (0,1,k-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"371\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La cui matrice vettoriale \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3d801efcf5b56dd858890720797d6a4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A= \\begin{pmatrix} -1&amp;0&amp;-2 \\\\[1.1ex] -3&amp;-2&amp;-1 \\\\[1.1ex] 0&amp;1&amp;k-4\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"181\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Affinch\u00e9 i vettori risultanti siano complanari, il rango della matrice deve essere 2. E, quindi, il determinante dell&#8217;intera matrice 3&#215;3 deve essere 0: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb7d3b31c10096d100843d781a85b621_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} -1&amp;0&amp;-2 \\\\[1.1ex] -3&amp;-2&amp;-1 \\\\[1.1ex] 0&amp;1&amp;k-4\\end{vmatrix} =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"160\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b265559f1f5505b8c40a89f0d69f0c10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 2k-3 =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"82\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine, risolviamo l&#8217;ignoto <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cf6d2c84f82625cb8a795ee1394251f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f79b9d3960668149408038b9cb1d1e0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2k =3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"51\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e67be6e218d206fe735f54a6125b3d2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{k =}\\mathbf{\\cfrac{3}{2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> Infine, se questo articolo ti \u00e8 stato utile, probabilmente ti interesser\u00e0 anche come <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/formula-per-la-distanza-tra-due-punti-esempi-di-geometria-ed-esercizi-risolti\/\">viene calcolata la distanza tra due punti (formula)<\/a> , poich\u00e9 a volte nei problemi di geometria analitica ci viene chiesto qual \u00e8 la distanza tra due punti. Nella pagina collegata troverai una spiegazione molto dettagliata, oltre ad esempi ed esercizi risolti passo dopo passo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina scoprirai cosa sono i punti complanari (o complanari) e come sapere se determinati punti sono complanari o meno. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi sui punti complanari risolti. Cosa sono i punti complanari? In geometria analitica il significato dei punti complanari (o complanari) \u00e8 il seguente: I punti complanari sono &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-punti-complanari-o-complanari-esercizi-risolti\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Punti complanari (o complanari).<\/span> Leggi altro &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[15],"tags":[],"class_list":["post-263","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-punti-rette-e-piani"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Punti complanari (o complanari) - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-punti-complanari-o-complanari-esercizi-risolti\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Punti complanari (o complanari) - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In questa pagina scoprirai cosa sono i punti complanari (o complanari) e come sapere se determinati punti sono complanari o meno. 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