{"id":262,"date":"2023-07-10T07:15:20","date_gmt":"2023-07-10T07:15:20","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/vettori-complanari-o-complanari\/"},"modified":"2023-07-10T07:15:20","modified_gmt":"2023-07-10T07:15:20","slug":"vettori-complanari-o-complanari","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/vettori-complanari-o-complanari\/","title":{"rendered":"Vettori complanari (o complanari)."},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina imparerai cosa sono i vettori complanari e come capire se 2, 3, 4 o pi\u00f9 vettori sono complanari. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo passo su vettori complanari. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-son-los-vectores-coplanarios\"><\/span> Cosa sono i vettori complanari?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In geometria analitica, il significato dei vettori complanari (o complanari) \u00e8 il seguente:<\/p>\n<p> <strong>I vettori complanari sono vettori che appartengono allo stesso piano.<\/strong><\/p>\n<p> Pertanto, due vettori sono sempre complanari perch\u00e9 un piano pu\u00f2 essere formato con un minimo di 2 vettori. Quando invece ci sono 3, 4 o pi\u00f9 vettori, \u00e8 possibile che uno dei vettori non sia contenuto nello stesso piano e, quindi, che non siano complanari. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/vecteurs-coplanaires-ou-coplanaires.webp\" alt=\"esempi di vettori complanari o complanari\" class=\"wp-image-3133\" width=\"353\" height=\"171\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Ad esempio, nel grafico sopra puoi vedere che i vettori<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cac24ae79c1e4cbc459f01ed5e4f824e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-391ac2e3ba0b7f327ba5a0edc1ba162d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sono complanari tra loro, poich\u00e9 contenuti nello stesso piano. D&#8217;altra parte, questi due vettori non sono complanari al vettore<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b4bbbc56786695092eac40831aee80d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{w}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , perch\u00e9 nello spazio che contiene i tre vettori non si pu\u00f2 formare alcun piano.<\/p>\n<p> Da questa propriet\u00e0 si deduce che se 3 o pi\u00f9 vettori sono complanari, anche i punti che definiscono detti vettori (inizio e fine del vettore) sono punti complanari. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcuando-los-vectores-son-coplanarios\"><\/span> Quando i vettori sono complanari?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Come abbiamo visto nella definizione di vettori complanari (o complanari), due vettori sono sempre complanari, ma non \u00e8 necessario che pi\u00f9 di due vettori rispettino il rapporto di complanarit\u00e0.<\/p>\n<p> Pertanto, esistono diversi metodi per determinare se tre o pi\u00f9 vettori sono complanari:<\/p>\n<ul>\n<li> Se il prodotto misto di tre vettori (o prodotto triplo punto) \u00e8 uguale a zero, significa che i tre vettori sono complanari. Se non ti \u00e8 molto chiaro come si calcola questa operazione, ti consiglio di dare un&#8217;occhiata a <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-prodotti-misti-di-tre-vettori-o-prodotti-scalari-tripli\/\">cos&#8217;\u00e8 il prodotto misto di tre vettori<\/a> , qui troverai la spiegazione nonch\u00e8 esempi ed esercizi risolti.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-849b07c1e268c4903e7bd13ef56bcaf3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr] =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Se un insieme di vettori pu\u00f2 essere espresso come <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/esempi-di-combinazioni-lineari-di-vettori-esercizi-risolti\/\">combinazione lineare di due vettori,<\/a> ci\u00f2 implica che essi sono complanari, nel senso che 3 o pi\u00f9 vettori sono complanari se e solo se sono linearmente dipendenti. Per dimostrare che tre o pi\u00f9 vettori sono una combinazione lineare di due vettori \u00e8 sufficiente che il rango della matrice formata da tutti i vettori sia pari a 2.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef18656c1a261aa20598fc8f6a587323_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> \u00c8 importante comprendere bene il concetto di <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/vettori-indipendenti-e-linearmente-dipendenti-indipendenza-dipendenza-lineare\/\">dipendenza e indipendenza lineare<\/a> , ovvero quando due vettori sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti e cosa ci\u00f2 significa. Se non ti \u00e8 del tutto chiaro, nel link troverai una spiegazione molto dettagliata, dove, inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo.<\/p>\n<ul>\n<li> Se i vettori in questione sono <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/vettori-paralleli\/\">vettori paralleli<\/a> , ci\u00f2 significa che sono anche complanari, cio\u00e8 tutti i vettori paralleli sono contenuti nello stesso piano. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4efa93d26f00c6abc1180201f84d126a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} \\parallel  \\vv{\\text{v}} \\parallel \\vv{\\text{w}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-vectores-coplanarios\"><\/span> Risolti problemi di vettori complanari<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Determina se i seguenti tre vettori sono complanari: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16f2fe8ce9dccfd2f5f2b26461ca54e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (3,1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce008f944cfd9efa2c48d0083a479c89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}} = (2,3,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8759d1ec233d68fc5f81dfb3b67beb0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{w}} = (-1,-5,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per verificare se si tratta di 3 vettori complanari, dobbiamo calcolare il prodotto misto tra i tre vettori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a1e4b0655c0a3f0165c880f5e64cce0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr]&amp; =\\begin{vmatrix} 3 &amp; 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 &amp; -1 \\\\[1.1ex] -1 &amp; -5 &amp; 4 \\end{vmatrix} \\\\[2ex] &amp;= 36+1-20+6-15-8 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{0} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"166\" width=\"271\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il prodotto misto dei tre vettori \u00e8 zero, quindi i <strong>3 vettori sono complanari<\/strong> .<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 2<\/h3>\n<p> Determina se i seguenti tre vettori sono complanari: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7c6550cedc0ccb79a9bfdebdd9987cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (4,-2,6)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-730594e946d69d5c0bd66b4b6d0f443c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}} = (-2,1,-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a85ef59d300497c53b26259f19df79f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{w}} = (6,-3,9)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Un modo per verificare se abbiamo a che fare con 3 vettori complanari sarebbe risolvere il prodotto misto tra i tre vettori. Tuttavia, se osserviamo attentamente le componenti dei vettori, possiamo vedere che sono proporzionali. Pertanto i tre vettori sono paralleli tra loro.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c5ac41bb15ea29bdc9736f100d1cf74_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} \\parallel \\vv{\\text{v}} \\parallel \\vv{\\text{w}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E poich\u00e9 tutti i vettori sono paralleli, <strong>sono effettivamente 3 vettori complanari<\/strong> .<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 3<\/h3>\n<p> Determina se i seguenti quattro vettori sono complanari: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10d37864162c9c1d2eae8f5b7c7df066_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{a}} = (2,1,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ab59c17a2058de83ef95ee9b7021751_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{b}} = (1,-1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1822f69d3738974e93084ea4c454d63f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{c}} = (-1,0,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f76c271b5fc0fe45fe9b2591346f083f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{d}} = (3,1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per sapere se i quattro vettori sono complanari dobbiamo calcolare il rango della matrice composta da tutti i vettori:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8384924c86edafd568505d5f80e1705d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A= \\begin{pmatrix} 2&amp;1&amp;1 \\\\[1.1ex] 1&amp;-1&amp;2 \\\\[1.1ex] -1&amp;0&amp;-1 \\\\[1.1ex] 3&amp;1&amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"164\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso, calcoliamo la portata di detta matrice mediante determinanti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5db59e1c8bbf94b95483870d47cea1b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2778435c7f53952adf072419af8b268c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;1 \\\\[1.1ex] 1&amp;-1&amp;2 \\\\[1.1ex] -1&amp;0&amp;-1 \\end{vmatrix}=0 \\quad  \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;1 \\\\[1.1ex] 1&amp;-1&amp;2 \\\\[1.1ex]3&amp;1&amp;2\\end{vmatrix} =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"280\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82f278494a221879cc86da92ab4378c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;1 \\\\[1.1ex] -1&amp;0&amp;-1 \\\\[1.1ex] 3&amp;1&amp;2\\end{vmatrix}=0 \\quad \\begin{vmatrix} 1&amp;-1&amp;2 \\\\[1.1ex] -1&amp;0&amp;-1 \\\\[1.1ex] 3&amp;1&amp;2\\end{vmatrix}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"294\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-889142ac348173dd6c838633007f2d06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1 \\\\[1.1ex] 1&amp;-1\\end{vmatrix}= -3\\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"136\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef18656c1a261aa20598fc8f6a587323_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il rango della matrice formata da tutti i vettori \u00e8 pari a 2, quindi <strong>i 4 vettori sono complanari<\/strong> .<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 4<\/h3>\n<p> Calcolare il valore del parametro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> in modo che i seguenti 4 punti siano complanari: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9483cca4fc2a94923b7c72ed89fc2d5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(3,1,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5b113e265916c03a6de0547cfeb380b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B(2,1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-add9ad10fb8badd9de84f8ad1dcfe38d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C(0,-1,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d5054a3ce659090916cda61b74f60bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"D(3,2,k)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Affinch\u00e9 i quattro punti siano complanari, i vettori da essi determinati devono essere complanari. Calcoliamo quindi questi vettori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-996a90c58f67665e4a68e9dd4de6c718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB} = B- A = (2,1,2)-(3,1,4) = (-1,0,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"365\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae552981d5729c931f5bbb26c133ecc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AC} = C- A = (0,-1,3)-(3,1,4) = (-3,-2,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"392\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91aec8ed49541d8c2d8ca0b3b1f8a20d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AD} = D- A = (3,2,k)-(3,1,4) = (0,1,k-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"371\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La cui matrice vettoriale \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3d801efcf5b56dd858890720797d6a4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A= \\begin{pmatrix} -1&amp;0&amp;-2 \\\\[1.1ex] -3&amp;-2&amp;-1 \\\\[1.1ex] 0&amp;1&amp;k-4\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"181\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Affinch\u00e9 i vettori risultanti siano complanari, il rango della matrice deve essere 2. E, quindi, il determinante dell&#8217;intera matrice 3&#215;3 deve essere 0: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb7d3b31c10096d100843d781a85b621_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} -1&amp;0&amp;-2 \\\\[1.1ex] -3&amp;-2&amp;-1 \\\\[1.1ex] 0&amp;1&amp;k-4\\end{vmatrix} =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"160\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b265559f1f5505b8c40a89f0d69f0c10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 2k-3 =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"82\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine, risolviamo l&#8217;ignoto <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cf6d2c84f82625cb8a795ee1394251f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f79b9d3960668149408038b9cb1d1e0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2k =3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"51\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e67be6e218d206fe735f54a6125b3d2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{k =}\\mathbf{\\cfrac{3}{2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina imparerai cosa sono i vettori complanari e come capire se 2, 3, 4 o pi\u00f9 vettori sono complanari. 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