{"id":26,"date":"2023-09-17T11:07:18","date_gmt":"2023-09-17T11:07:18","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/tipologie-di-discontinuita\/"},"modified":"2023-09-17T11:07:18","modified_gmt":"2023-09-17T11:07:18","slug":"tipologie-di-discontinuita","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/tipologie-di-discontinuita\/","title":{"rendered":"Tipi di discontinuit\u00e0"},"content":{"rendered":"<p>Qui scoprirai quali tipi di discontinuit\u00e0 esistono. Inoltre, potrai vedere esempi di tutti i tipi di discontinuit\u00e0 e potrai esercitarti con esercizi risolti sui tipi di discontinuit\u00e0 delle funzioni. <\/p>\n<p><strong><\/strong><\/p>\n<p><strong><\/strong><\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-104\"><strong> <\/strong><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcuales-son-todos-los-tipos-de-discontinuidades\"><\/span> Quali sono tutti i tipi di discontinuit\u00e0?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Esistono tre tipi di discontinuit\u00e0, vale a dire:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Discontinuit\u00e0 evitabile<\/strong> : i limiti laterali di una funzione in un punto non coincidono con il valore della funzione.<\/li>\n<li> <strong>Inevitabile discontinuit\u00e0 di salto finito<\/strong> : i limiti laterali di una funzione in un punto sono diversi.<\/li>\n<li> <strong>Inevitabile discontinuit\u00e0 del salto infinito<\/strong> : uno dei limiti laterali della funzione d\u00e0 infinito oppure non esiste.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Per finire di comprendere i concetti, spiegheremo ogni tipo di discontinuit\u00e0 in modo pi\u00f9 dettagliato e vedremo esempi di funzioni con i tre tipi di discontinuit\u00e0.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"discontinuidad-evitable\"><\/span> Discontinuit\u00e0 evitabile <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p><strong><\/strong><\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-105\"><strong> <\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p><strong>La discontinuit\u00e0 evitabile<\/strong> \u00e8 un tipo di discontinuit\u00e0 che ha una funzione in un punto se in quel punto esiste il confine ma non coincide con il valore della funzione oppure non esiste l&#8217;immagine della funzione. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c26b9be97568ba85e1f8f22b568a2354_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\exists \\lim_{x \\to a} f(x) \\neq f(a) \\qquad | \\qquad \\displaystyle \\exists\\lim_{x \\to a} f(x) \\text{ y } \\ \\cancel{\\exists} \\ f(a)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"367\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-columns are-vertically-aligned-top is-layout-flex wp-container-99\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-top is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/discontinuite-evitable-d-une-fonction.webp\" alt=\"discontinuit\u00e0 evitabile di una funzione\" class=\"wp-image-1400\" width=\"276\" height=\"259\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<p> I limiti laterali di questa funzione sono uguali tra loro, ma sono diversi dal valore della funzione in quel punto. La funzione presenta quindi una discontinuit\u00e0 evitabile. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac5bdc61d377477ddcc788b7230bcfbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left. \\begin{array}{l}\\displaystyle \\lim_{x \\to a^-} f(x) =b \\\\[3ex] \\displaystyle \\lim_{x \\to a^+} f(x)=b \\end{array} \\right\\} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\lim_{x \\to a} f(x)=b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"276\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f61efde161e83828572db200f128ced_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\lim_{x \\to a} f(x)=b \\qquad f(a)=c\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"198\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de211758fe99134c01f6eec8ea7c6348_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\exists \\lim_{x \\to a} f(x) \\neq f(a)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-top is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/discontinuite-evitable-d-une-fonction-sans-image.webp\" alt=\"discontinuit\u00e0 evitabile di una funzione senza immagine\" class=\"wp-image-1401\" width=\"276\" height=\"259\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione nell&#8217;esempio precedente ha una discontinuit\u00e0 evitabile perch\u00e9 i limiti laterali in x=a hanno lo stesso valore, ma l&#8217;immagine della funzione a questo punto non esiste.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac5bdc61d377477ddcc788b7230bcfbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left. \\begin{array}{l}\\displaystyle \\lim_{x \\to a^-} f(x) =b \\\\[3ex] \\displaystyle \\lim_{x \\to a^+} f(x)=b \\end{array} \\right\\} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\lim_{x \\to a} f(x)=b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"276\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87531b3fbfb53b42e79af5a7305ffc37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\lim_{x \\to a} f(x)=b \\qquad \\cancel{\\exists} \\ f(a)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/limiti-laterali\/\">limiti laterali di una funzione<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"discontinuidad-inevitable-de-salto-finito\"><\/span> Inevitabile discontinuit\u00e0 del salto finito <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p><strong><\/strong><\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-106\"><strong> <\/strong><\/div>\n<p><strong><br \/><\/strong><\/p>\n<\/div>\n<p>L&#8217; <strong>inevitabile discontinuit\u00e0 a salto finito<\/strong> \u00e8 un tipo di discontinuit\u00e0 che presenta una funzione in un punto in cui i limiti laterali della funzione in quel punto non sono uguali.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66fd7a55b2fad1a91622d738925d3304_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to a^-} f(x) \\neq \\lim_{x \\to a^+} f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"175\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ad esempio, i limiti laterali della successiva funzione definita a tratti nel punto di modifica della definizione sono diversi, quindi la funzione ha un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto finito in quel punto. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/saut-fini-inevitable-discontinuite.webp\" alt=\"inevitabile discontinuit\u00e0 del salto finito\" class=\"wp-image-1406\" width=\"275\" height=\"258\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f7173f197ec50976b07e8ab608ec4aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\lim_{x \\to a^-} f(x)=b \\qquad  \\lim_{x \\to a^+} f(x)=c\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"254\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66fd7a55b2fad1a91622d738925d3304_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to a^-} f(x) \\neq \\lim_{x \\to a^+} f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"175\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questo tipo di discontinuit\u00e0 appare generalmente nelle funzioni definite a tratti (o a tratti).<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\">continuit\u00e0 di una funzione a tratti<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"discontinuidad-inevitable-de-salto-infinito\"><\/span> Salto infinito. Discontinuit\u00e0 inevitabile <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p><strong><\/strong><\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-107\"><strong> <\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p>L&#8217; <strong>inevitabile discontinuit\u00e0 del salto infinito<\/strong> \u00e8 un tipo di discontinuit\u00e0 che ha una funzione a volte se uno dei limiti laterali in quel punto \u00e8 infinito o non esiste. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a67f3a84bbd7cc965e932b0cb681912a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to a^-} f(x) = \\pm \\infty \\qquad \\lim_{x \\to a^+} f(x)= \\pm \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"301\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-columns are-vertically-aligned-center is-layout-flex wp-container-102\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p> Il limite sinistro della seguente funzione d\u00e0 un numero reale, ma il limite destro d\u00e0 l&#8217;infinito. La funzione presenta quindi un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto infinito. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/saut-infini-discontinuite.webp\" alt=\"discontinuit\u00e0 di salto infinito\" class=\"wp-image-1411\" width=\"276\" height=\"259\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e12509ad0839664b52f4224f0fc2e56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\lim_{x \\to a^-} f(x)=b \\qquad \\lim_{x \\to a^+} f(x)=+\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-left\"> Qui sotto potete vedere un grafico di funzione i cui due limiti laterali danno infinito e quindi la funzione presenta un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto infinito. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/discontinuite-infinie.webp\" alt=\"discontinuit\u00e0 infinita\" class=\"wp-image-1412\" width=\"276\" height=\"259\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99099617bca8a79ef975169f06f5c14e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\lim_{x \\to a^-} f(x)=-\\infty \\qquad \\lim_{x \\to a^+} f(x)=+\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"301\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Questo tipo di discontinuit\u00e0 si verifica solitamente nelle <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/funzione-razionale\/\">funzioni razionali (o frazionarie)<\/a><\/span> . <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-tipos-de-discontinuidades\"><\/span> Esercizi risolti sui tipi di discontinuit\u00e0<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1 <\/h3>\n<p><strong><\/strong><\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-108\"><strong> <\/strong><\/div>\n<p><strong><br \/><\/strong><\/p>\n<\/div>\n<p>Determinare il tipo di discontinuit\u00e0 della seguente funzione a tratti nel punto x=3: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8185827ad36ab3921bb96eb5a6da21a9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{lcl} -2x+1 &amp;  \\text{si} &amp;  x\\leq 3 \\\\[2ex] 4x - 5 &amp; \\text{si} &amp; x > 3 \\end{array} \\right.&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;65&#8243; width=&#8221;232&#8243; style=&#8221;vertical-align: 0px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il dominio del primo elemento della funzione,<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-490b7f67d1b8735fc34485932796cef3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-2x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> , come quello del secondo pezzo,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82dafeb4abb94d9f10e1603d00cc3d59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4x-5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , sono tutti numeri reali perch\u00e9 sono funzioni polinomiali.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi l&#8217;unico punto in cui la funzione potrebbe essere discontinua \u00e8 il punto di arresto della funzione a tratti. Calcoleremo quindi in questa fase i limiti laterali: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5aa03a9198a249e6cb09793b67754f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\lim_{x \\to 3^-} f(x)=\\lim_{x \\to 3} (-2x+1) = -2\\cdot 3+1=-5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"349\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8e29ea20c018b8936dca674ada7590a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\lim_{x \\to 3^+} f(x)=\\lim_{x \\to 3}(4x-5)=4\\cdot 3-5=7\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"308\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffa1cc3d456b55bfef8f4a5999e072e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 3^-} f(x) \\neq \\lim_{x \\to 3^+} f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> I due limiti laterali in x=3 danno risultati diversi. Pertanto il punto x=3 \u00e8 un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto finito.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 2<\/h3>\n<p> Trova che tipo di discontinuit\u00e0 presenta la seguente funzione razionale nei punti che non appartengono al suo dominio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44d5d873cde7d3365fc55943c61e78f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)= \\cfrac{x^2-4}{x+2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Logicamente, per risolvere questo esercizio, devi prima trovare il dominio della funzione. Quindi, poich\u00e9 si tratta di una funzione razionale, impostiamo il denominatore uguale a 0 e risolviamo l&#8217;equazione risultante: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24e301fa7ea2e8d9f0041192d9a84927_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x+2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01f282abd343bbe6b83c45e54b86c6ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbd5fe607cd89a42b4db6e52bc047c56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f = \\mathbb{R} - \\{-2\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione sar\u00e0 quindi continua in tutti i punti tranne x=-2, vediamo quindi che tipo di discontinuit\u00e0 \u00e8 il punto x=-2. Per fare ci\u00f2, calcoliamo il limite della funzione nel punto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf6f3ceb66dcd630224097f54365ef24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -2} \\cfrac{x^2-4}{x+2} = \\cfrac{ (-2)^2-4}{-2+2}= \\cfrac{0}{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ma otteniamo zero indeterminazione tra zero, quindi fattorizziamo i polinomi del numeratore e del denominatore e semplifichiamo:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e939f4fee6ac399b046fa809daab31c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -2} \\cfrac{x^2-4}{x+2}=\\lim_{x \\to -2} \\cfrac{ (x-2)\\cancel{(x+2)}}{\\cancel{x+2}}  =\\lim_{x \\to -2} (x-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"385\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ora risolviamo il limite:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e05e20f45a4d8b2fbe26bb0d3ae5091_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -2} (x-2) =-2-2=-4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Di conseguenza, il limite della funzione nel punto x=-2 esiste e d\u00e0 -4. Ora controlliamo se esiste <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80b84d482e50cebc375313e005736c97_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-2):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c58a37ec90f203b24b790c7cfacaf2c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-2)=\\cfrac{(-2)^2-4}{-2+2}= \\cfrac{4-4}{0} = \\cfrac{0}{0} \\quad \\bm{\\longrightarrow} \\quad \\cancel{\\exists} \\ f(2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"359\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nel calcolo dell&#8217;immagine di una funzione, l&#8217;indeterminazione 0\/0 non \u00e8 semplificabile e non ha soluzione. COS\u00cc<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ee53c0d0a8e84c09c63d946334cd34b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> non esiste.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In conclusione, il limite della funzione in x=-2 esiste, ma<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ee53c0d0a8e84c09c63d946334cd34b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> No. Quindi x=-2 \u00e8 una discontinuit\u00e0 evitabile.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 3 <\/h3>\n<p><strong><\/strong><\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-110\"><strong> <\/strong><\/div>\n<p><strong><br \/><\/strong><\/p>\n<\/div>\n<p>Analizzare la continuit\u00e0 della seguente funzione razionale: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59ee18262fd6f3427ebab6ceabb22868_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\frac{2}{x-5}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per vedere se \u00e8 una funzione continua, dobbiamo prima calcolarne il dominio. Poniamo quindi uguale a zero il denominatore della funzione razionale per vedere quali punti non appartengono al dominio: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-845b4cbd750afedb8e09b0ed6a9809c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x-5=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"73\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ddab230605c435eb8b7408a736d3e77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96a28ea816d10d62e90dd13ad1aa79c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f = \\mathbb{R} - \\{5\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"138\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione sar\u00e0 quindi continua in tutti i punti tranne x=5. Vediamo quindi che tipo di discontinuit\u00e0 \u00e8 x=5 calcolando il limite a questo punto:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-976747f92d549df73e0cf24ee4ff2953_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 5} \\frac{2}{x-5} = \\frac{2}{5-5} = \\frac{2}{0} = \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"220\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ci troviamo nell&#8217;indeterminazione di un numero diviso 0. Calcoliamo quindi i limiti laterali della funzione in x=5: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-98edca328c2637f8b7ae59dde1789f44_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 5^{-}} \\frac{2}{x-5}=\\frac{2}{4,999-5}=\\frac{2}{-0}= \\bm{-\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"292\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-378f3bdf00d4375069e68f4fc8547ca0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 5^{+}} \\frac{2}{x-5}=\\frac{2}{5,001-5}=\\frac{2}{+0}=\\bm{+\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"292\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il limite sinistro della funzione in x=5 d\u00e0 meno infinito e il limite destro d\u00e0 pi\u00f9 infinito. Pertanto la funzione presenta un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto infinito in x = 5, poich\u00e9 almeno un limite laterale in questo punto tende all&#8217;infinito.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 4<\/h3>\n<p> Determinare tutte le discontinuit\u00e0 della funzione a tratti mostrata nel grafico seguente: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-discontinuites-de-fonctions.webp\" alt=\"l'esercizio risolveva le discontinuit\u00e0 delle funzioni\" class=\"wp-image-1433\" width=\"400\" height=\"344\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per disegnare la funzione devi alzare la matita in x=-2, in x=1 e in x=4. La funzione \u00e8 quindi discontinua in questi tre punti.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In x=-2, il limite del lato sinistro \u00e8 +\u221e e il limite del lato destro \u00e8 3. Quindi, poich\u00e9 uno dei limiti laterali \u00e8 infinito, la funzione ha un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto infinito in x=-2.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eff79ace33659ceb8203e6e27f38fe35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -2^-} f(x) = +\\infty \\ \\neq \\ \\lim_{x \\to -2^+} f(x) = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"296\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il limite della funzione in x=1 \u00e8 0 e, invece, il valore della funzione in x=1 \u00e8 uguale a 2. La funzione presenta quindi una discontinuit\u00e0 evitabile in x=1. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a616cc5210984ffeed3525a219dd53a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1^-} f(x) =   \\lim_{x \\to 1^+} f(x) = 0 \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\lim_{x \\to 1} f(x) = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a3aea29db1a67d08d91d510033ffd1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1} f(x) =  0 \\neq  f(1) = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In x = 4, il limite del lato sinistro \u00e8 -3 e il limite del lato destro \u00e8 1. Pertanto, poich\u00e9 i due limiti laterali sono diversi e nessuno dei due d\u00e0 infinito, la funzione ha inevitabilmente una discontinuit\u00e0 di salto finito in x =4. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b758745a987f927350b2d885009c3a87_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 4^-} f(x) = -3 \\ \\neq \\ \\lim_{x \\to 4^+} f(x) = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"265\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 5<\/h3>\n<p> Trova tutti gli asintoti e le discontinuit\u00e0 della funzione rappresentata nel grafico seguente: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-types-de-discontinuites-d-une-fonction.webp\" alt=\"esercizio risolto sui tipi di discontinuit\u00e0 di una funzione\" class=\"wp-image-1435\" width=\"537\" height=\"453\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong><span style=\"text-decoration: underline;\">Asintoti<\/span><\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione \u00e8 molto vicina alla linea verticale x=3 ma non la tocca mai. Inoltre, il limite laterale sinistro in x=3 \u00e8 +\u221e e il limite laterale destro \u00e8 -\u221e. Pertanto x=3 \u00e8 un asintoto verticale.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89bdb1598b6153cec4e9efce7b0927b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 3^-} f(x)=+\\infty \\qquad \\lim_{x \\to 3^+} f(x)=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E la stessa cosa accade con la linea orizzontale y=-1, la funzione si avvicina molto a y=-1 ma non la attraversa mai. Inoltre, il limite della funzione quando x si avvicina a +\u221e e -\u221e \u00e8 -1. Pertanto, y=-1 \u00e8 un asintoto orizzontale.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0f0ee09aaa4a3bfa4fcb77ecc84640a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +\\infty} f(x)=-1 \\qquad \\lim_{x \\to -\\infty} f(x)=-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"297\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong><span style=\"text-decoration: underline;\">Discontinuit\u00e0<\/span><\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per x=6 la funzione viene interrotta perch\u00e9 c&#8217;\u00e8 un punto in sospeso. Il limite quando x si avvicina a 6 \u00e8 -1,4 ma f(6)=1. La funzione presenta quindi una discontinuit\u00e0 evitabile in x=6 perch\u00e9 il valore del limite non coincide con il valore della funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33612be383c71fea04c8c886710f7f10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left. \\begin{array}{l} \\displaystyle \\lim_{x \\to 6^-} f(x)=-1,4\\\\[3ex] \\displaystyle \\lim_{x \\to 6^+} f(x)=-1,4 \\end{array} \\right\\} \\bm{\\longrightarrow} \\lim_{x \\to 6} f(x)=-1,4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"326\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-647b9aea6cc8b605d7e8bc7d5e83ee64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x \\to 6} f(x)=-1,4 \\neq f(6)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> A x=-3 i limiti laterali non coincidono e nessuno d\u00e0 infinito. La funzione presenta quindi un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto finito in x=-3.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f7d2a2c7abbc525adfcc7576b449f1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -3^-} f(x)=-2 \\neq \\lim_{x \\to -3^+} f(x)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"275\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E infine, la funzione ha un&#8217;inevitabile discontinuit\u00e0 di salto infinito in x = 3, poich\u00e9 almeno un limite laterale a questo punto risulta in infinito. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89bdb1598b6153cec4e9efce7b0927b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 3^-} f(x)=+\\infty \\qquad \\lim_{x \\to 3^+} f(x)=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p><strong><\/strong><\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-109\"><strong> <\/strong><\/div>\n<p><strong><br \/><\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Qui scoprirai quali tipi di discontinuit\u00e0 esistono. Inoltre, potrai vedere esempi di tutti i tipi di discontinuit\u00e0 e potrai esercitarti con esercizi risolti sui tipi di discontinuit\u00e0 delle funzioni. Quali sono tutti i tipi di discontinuit\u00e0? 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