{"id":254,"date":"2023-07-10T11:04:37","date_gmt":"2023-07-10T11:04:37","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/piani-paralleli\/"},"modified":"2023-07-10T11:04:37","modified_gmt":"2023-07-10T11:04:37","slug":"piani-paralleli","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/piani-paralleli\/","title":{"rendered":"Piani paralleli"},"content":{"rendered":"

In questa pagina troverai tutto sui piani paralleli: quando due piani sono paralleli, le equazioni di due piani paralleli, esempi, esercizi risolti, propriet\u00e0,\u2026 <\/p>\n

<\/span> Cosa sono due piani paralleli?<\/span><\/h2>\n

Nella geometria analitica due piani sono paralleli quando sono sempre alla stessa distanza. Pertanto due piani paralleli non si intersecano mai e non hanno nulla in comune.<\/strong> <\/p>\n

\n
\"concetto<\/figure>\n<\/div>\n

Due piani posizionati paralleli non sono l’unica posizione relativa possibile tra piani, poich\u00e9 due piani nello spazio (in R3) possono anche essere intersecanti o coincidenti. <\/p>\n

<\/span> Come fai a sapere se due piani sono paralleli?<\/span><\/h2>\n

Dopo aver visto la definizione di piani paralleli, vediamo come si pu\u00f2 determinare se due piani sono paralleli oppure no.<\/p>\n

Partendo dall\u2019equazione generale (o implicita) di due piani diversi:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_1<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_2<\/p>\n<\/p>\n

I 2 piani saranno paralleli se i loro coefficienti A, B e C sono proporzionali tra loro e non al coefficiente D. In altre parole, il parallelismo tra due piani si verifica quando \u00e8 soddisfatta la seguente equazione: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Esempio di due piani paralleli<\/span><\/h2>\n

Ad esempio, i seguenti due piani sono paralleli:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_1<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_2<\/p>\n<\/p>\n

I piani sono paralleli perch\u00e9 i coefficienti delle variabili X, Y, Z sono proporzionali tra loro, ma non ai termini indipendenti: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{6}{3}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Calcola la distanza tra due piani paralleli<\/span><\/h2>\n

Due piani paralleli sono sempre alla stessa distanza, quindi, per trovare la distanza tra due piani paralleli, possiamo prendere un punto su uno dei due piani e calcolare la distanza da quel punto all’altro piano.<\/strong> Pertanto, per calcolare la distanza tra 2 piani paralleli, \u00e8 necessario conoscere la formula per la distanza da un punto a un piano<\/a> . <\/p>\n

\n
\"distanza<\/figure>\n<\/div>\n

\u00c8 un metodo per trovare la distanza tra due piani paralleli. Esiste per\u00f2 un modo ancora pi\u00f9 semplice per farlo quando i coefficienti A, B e C delle equazioni dei due piani coincidono:<\/p>\n

Considera le equazioni generali (o implicite) di due piani paralleli:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_1<\/p>\n<\/p>\n

La formula per calcolare la distanza tra due piani paralleli<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\color{orange}<\/p>\n<\/p>\n

Quindi sicuramente \u00e8 pi\u00f9 semplice trovare la distanza tra due piani paralleli utilizzando la formula poich\u00e9 si tratta solo di applicare la formula e basta, ma dipende dal problema. Inoltre, riteniamo che sia meglio spiegare entrambi i modi di calcolo della distanza in modo che tu possa scegliere quello che preferisci.<\/p>\n

Esempio di calcolo della distanza tra due piani paralleli<\/h3>\n

Ad esempio, calcoleremo la distanza tra i seguenti due piani:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_1<\/p>\n<\/p>\n

Dobbiamo innanzitutto verificare che abbiamo a che fare con due piani paralleli. Pertanto, tutti i coefficienti delle equazioni piane sono proporzionali tranne i termini indipendenti, quindi sono effettivamente due piani paralleli.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{4}{8}=\\cfrac{-2}{-4}=\\cfrac{-4}{-8}\\neq<\/p>\n<\/p>\n

In questo caso i termini A, B e C delle equazioni dei due piani non coincidono, ma possiamo ottenere questo risultato dividendo per due l’intera equazione del secondo piano:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_2<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_2<\/p>\n<\/p>\n

Quindi, le equazioni dei due piani ora hanno gli stessi coefficienti A, B e C. Pertanto possiamo facilmente calcolare la distanza tra i due piani con la formula per la distanza tra due piani paralleli:<\/p>\n<\/p>\n

\"d(P,\\pi)<\/p>\n<\/p>\n

Sostituiamo i valori e risolviamo le operazioni:<\/p>\n<\/p>\n

\"d(P,\\pi)<\/p>\n<\/p>\n

Cosicch\u00e9 la distanza tra un piano e l’altro piano \u00e8 uguale all’unit\u00e0. <\/p>\n

<\/span> Propriet\u00e0 dei piani paralleli<\/span><\/h2>\n

Le caratteristiche dei piani paralleli sono le seguenti:<\/p>\n