{"id":252,"date":"2023-07-10T12:11:22","date_gmt":"2023-07-10T12:11:22","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/posizione-relativa-di-due-piani-nello-spazio-r3-esempi-esercizi-risolti\/"},"modified":"2023-07-10T12:11:22","modified_gmt":"2023-07-10T12:11:22","slug":"posizione-relativa-di-due-piani-nello-spazio-r3-esempi-esercizi-risolti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/posizione-relativa-di-due-piani-nello-spazio-r3-esempi-esercizi-risolti\/","title":{"rendered":"Posizione relativa di due piani nello spazio"},"content":{"rendered":"
In questa pagina troverai tutte le possibili posizioni relative di due piani (piani asciutti, paralleli o coincidenti). Scoprirai anche come viene calcolata la posizione relativa tra due piani e, inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi svolti. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Quali sono le posizioni relative di due piani? <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Nella geometria analitica ci sono solo tre possibili posizioni relative tra due piani: piani secanti, piani paralleli e piani coincidenti.<\/p>\n
\n
Piani che si intersecano<\/strong> : due piani si intersecano se si intersecano solo su una linea.<\/li>\n
Piani paralleli<\/strong> : due piani sono paralleli se non si intersecano in nessun punto.<\/li>\n
Piani coincidenti<\/strong> : Due piani sono coincidenti se hanno tutti punti in comune. <\/li>\n<\/ul>\n
\n
\n
piani che si intersecano<\/strong> <\/p>\n<\/figure>\n<\/div>\n
Esistono due metodi per trovare la posizione relativa tra due piani: uno dai coefficienti delle equazioni generali dei due piani e l’altro calcolando i ranghi di due matrici. Di seguito \u00e8 riportata una spiegazione di ciascuna procedura. <\/p>\n
<\/span> Come determinare la posizione relativa di due piani mediante coefficienti<\/span><\/h2>\n
Un modo per sapere qual \u00e8 la posizione relativa tra due piani \u00e8 utilizzare i coefficienti delle loro equazioni generali (o implicite).<\/p>\n
Consideriamo quindi l’equazione generale (o implicita) di due piani diversi:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
La posizione relativa tra i due piani nello spazio tridimensionale (in R3) dipende dalla proporzionalit\u00e0 dei loro coefficienti o parametri: <\/p>\n<\/figure>\n
Pertanto i due piani si intersecheranno quando uno dei coefficienti A, B o C non sar\u00e0 proporzionale agli altri. I due piani saranno invece paralleli quando solo i termini indipendenti non saranno proporzionali. E infine, i piani coincideranno quando tutti i coefficienti delle due equazioni saranno proporzionali.<\/p>\n
Ad esempio, calcoliamo la posizione relativa dei due piani seguenti:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Per sapere di che tipo di aereo si tratta bisogna verificare quali coefficienti sono proporzionali:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
I coefficienti A, B e C sono proporzionali tra loro ma non al coefficiente D, quindi i due piani sono paralleli<\/strong> . <\/p>\n
<\/span> Come calcolare la posizione relativa di due aerei in base agli intervalli <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Un altro modo per conoscere la posizione relativa di due determinati piani consiste nel calcolare l’intervallo di due matrici formate dai coefficienti di detti piani.<\/p>\n
Sia quindi l’equazione generale (o implicita) di due piani diversi:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Chiamiamo A la matrice composta dai coefficienti A, B e C delle due equazioni:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E sia la matrice A’ la matrice espansa con tutti i coefficienti delle due equazioni:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
La posizione relativa dei due piani pu\u00f2 essere conosciuta in base agli intervalli delle due matrici precedenti:<\/p>\n<\/figure>\n
Che le posizioni relative dipendano dai ranghi di queste due matrici pu\u00f2 essere dimostrato dal toerem di Rouche-Frobenius (un teorema utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari). Tuttavia in questa pagina non faremo la dimostrazione perch\u00e9 non \u00e8 necessario conoscerla e non fornisce nemmeno molto.<\/p>\n
Per poter vedere come viene fatto, calcoleremo la posizione relativa tra i seguenti due piani:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
La prima cosa da fare \u00e8 costruire la matrice A e la matrice estesa A’ con i coefficienti delle equazioni dei due piani:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E ora dobbiamo calcolare il rango di ciascuna matrice. Troviamo innanzitutto l’estensione della matrice A mediante determinanti: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
La matrice A contiene una sottomatrice 2\u00d72 il cui determinante \u00e8 diverso da zero, quindi \u00e8 una matrice di rango 2.<\/p>\n
D’altra parte \u00e8 necessario calcolare anche il rango della matrice A’. E il rango della matrice estesa A’ sar\u00e0 sempre almeno uguale a quello della matrice A, quindi anche in questo caso specifico il rango della matrice A’ \u00e8 pari a 2.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Pertanto le estensioni delle due matrici sono equivalenti e di valore 2, quindi i due piani si intersecano<\/strong> . <\/p>\n
<\/span>Risolti problemi della posizione relativa di due aerei<\/span><\/h2>\n
Esercizio 1<\/h3>\n
Studia la posizione relativa dei due piani seguenti: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Per calcolare la posizione relativa tra i due piani, vedremo se i coefficienti delle equazioni dei due piani sono proporzionali:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Tutti i coefficienti delle equazioni implicite dei due piani sono proporzionali tra loro, si tratta quindi di due piani coincidenti<\/strong> .<\/p>\n
<\/div>\n
Esercizio 2<\/h3>\n
Determinare la posizione relativa dei due piani seguenti: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Per determinare la posizione relativa tra i due piani, analizzeremo la proporzionalit\u00e0 dei coefficienti delle loro equazioni:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
I coefficienti A e C delle equazioni implicite dei due piani sono proporzionali tra loro, ma non al coefficiente B. Sono quindi due piani secanti<\/strong> .<\/p>\n
<\/div>\n
Esercizio 3<\/h3>\n
Trova la posizione relativa dei seguenti 2 piani: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Per determinare la posizione relativa tra i due piani \u00e8 necessario verificare se i coefficienti delle equazioni dei due piani sono proporzionali:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
I primi tre parametri (A, B e C) delle equazioni dei due piani sono proporzionali tra loro ma non al parametro D, quindi i due piani sono paralleli<\/strong> .<\/p>\n
<\/div>\n
Esercizio 4<\/h3>\n
Calcolare il valore del parametro<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
in modo che i due piani seguenti siano paralleli: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Affinch\u00e9 i due piani siano paralleli, i coefficienti A, B e C nelle loro equazioni devono essere proporzionali. In altre parole deve essere verificata la seguente uguaglianza:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
In questo caso particolare i coefficienti A e B del primo piano sono la met\u00e0 di quelli del secondo piano:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Pertanto, dobbiamo risolvere l’equazione di cui sopra. E, per fare questo, incrociamo le due frazioni: <\/p>\n<\/p>\n
In questa pagina troverai tutte le possibili posizioni relative di due piani (piani asciutti, paralleli o coincidenti). Scoprirai anche come viene calcolata la posizione relativa tra due piani e, inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi svolti. Quali sono le posizioni relative di due piani? Nella geometria analitica ci sono solo tre possibili posizioni …<\/p>\n
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