{"id":250,"date":"2023-07-10T13:20:19","date_gmt":"2023-07-10T13:20:19","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/distanza-da-un-punto-a-un-piano-nello-spazio-formula-esempi-risolti-esercizi\/"},"modified":"2023-07-10T13:20:19","modified_gmt":"2023-07-10T13:20:19","slug":"distanza-da-un-punto-a-un-piano-nello-spazio-formula-esempi-risolti-esercizi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/distanza-da-un-punto-a-un-piano-nello-spazio-formula-esempi-risolti-esercizi\/","title":{"rendered":"Distanza da un punto a un piano nello spazio (formula)"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai come viene calcolata la distanza tra un punto e un piano nello spazio (formula). Inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo. <\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-104\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcual-es-la-distancia-de-un-punto-a-un-plano\"><\/span> Qual \u00e8 la distanza da un punto a un piano? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-105\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Nella geometria analitica, <strong>la distanza da un punto a un piano \u00e8 la distanza pi\u00f9 breve tra il punto e qualsiasi altro punto sul piano.<\/strong> Questa distanza corrisponde alla lunghezza del segmento perpendicolare al piano che va dal punto al piano. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-dun-point-a-un-plan-de-formule.webp\" alt=\"qual \u00e8 la distanza da un punto a un piano\" class=\"wp-image-3471\" width=\"431\" height=\"227\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-distancia-de-un-punto-a-un-plano\"><\/span> Formula per la distanza da un punto a un piano <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-106\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Una volta vista esattamente la nozione di distanza tra un punto e un piano, vediamo ora la formula per calcolare tale distanza: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFCC8080;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px solid #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Dato un punto e l&#8217;equazione generale (o implicita) di un piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-224b2b4bb57594d3fa92e148ada43cbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x_0,y_0,z_0) \\qquad \\qquad \\pi: \\ Ax+By+Cz+D=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"379\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> La <strong>formula per la distanza da un punto a un piano<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fa5cd77905fa8723448de603b90b705_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert A\\cdot x_0+B\\cdot y_0+C\\cdot z_0+D\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> La dimostrazione della formula per la distanza da un punto a un piano \u00e8 piuttosto noiosa e lunga, quindi non la faremo in questa pagina.<\/p>\n<p> Se invece applicando la formula otteniamo un risultato pari a zero, ci\u00f2 significa ovviamente che la distanza tra il punto e il piano \u00e8 zero e, quindi, il punto fa parte di quel piano.<\/p>\n<p> Si noti infine che per applicare la formula, il piano deve essere definito come un&#8217;equazione generale (o implicita). Quindi se fosse espressa da un altro tipo di equazione piana, dovremmo prima trasformarla in un&#8217;equazione generale e poi utilizzare la formula. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-como-calcular-la-distancia-de-un-punto-a-un-plano\"><\/span> Esempio di calcolo della distanza da un punto a un piano <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-109\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Affinch\u00e9 tu possa vedere come viene determinata numericamente la distanza tra un punto e un piano, risolveremo un esempio di seguito:<\/p>\n<ul>\n<li> Calcola la distanza tra il punto P e il piano \u03c0. Detto punto e piano:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19db41565c49be8ca3580630de59813b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(1,3,-2) \\qquad \\qquad \\pi: \\ 2x+5y-4z+7=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"348\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per trovare la distanza dal punto al piano \u00e8 sufficiente applicare la formula vista nella sezione precedente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fa5cd77905fa8723448de603b90b705_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert A\\cdot x_0+B\\cdot y_0+C\\cdot z_0+D\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora sostituiamo il valore di ciascuna incognita nella formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c50799e6cbc0fb28d311858f4c94a82_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert 2\\cdot 1+5\\cdot 3-4\\cdot (-2)+7\\rvert}{\\sqrt{2^2+5^2+(-4)^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"282\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E, infine, eseguiamo le operazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-805821ed65a28cb8c08ee24473e8bd7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert 2+15+8+7\\rvert}{\\sqrt{4+25+16}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef28713d2c68c0bbb7a25bfd50466811_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{d(P,\\pi) = }\\cfrac{\\bm{32}}{\\bm{\\sqrt{45}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nota che al numeratore della frazione c&#8217;\u00e8 un valore assoluto e al denominatore abbiamo una radice quadrata, quindi il risultato deve essere sempre positivo. Ci\u00f2 ha senso perch\u00e9 le distanze non possono essere negative, ma sono sempre positive. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calcular-la-distancia-entre-dos-planos-paralelos\"><\/span> Calcola la distanza tra due piani paralleli<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Due piani paralleli sono sempre alla stessa distanza, quindi, per trovare la distanza tra due piani paralleli, possiamo prendere un punto su uno dei due piani e calcolare la distanza da quel punto all&#8217;altro piano.<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-deux-plans-paralleles.webp\" alt=\"distanza tra due piani paralleli\" class=\"wp-image-2647\" width=\"401\" height=\"234\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> \u00c8 un metodo per trovare la distanza tra due piani paralleli. Esiste per\u00f2 un modo ancora pi\u00f9 semplice per farlo quando i coefficienti A, B e C delle equazioni dei due piani coincidono:<\/p>\n<p> Considera le equazioni generali (o implicite) di due piani paralleli:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a277aae741d0cfe8200b7c338f57343f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_1 : \\ Ax+By+Cz+D_1=0 \\qquad \\qquad  \\pi_2 : \\ Ax+By+Cz+D_2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"528\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La <strong>formula per calcolare la distanza tra due piani paralleli<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fba7a69f403ec1b933994e987e1ff71b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\color{orange} \\boxed{\\color{black} \\quad d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert D_2-D_1\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\quad \\vphantom{\\Biggl(}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"343\" style=\"vertical-align: -28px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi sicuramente \u00e8 pi\u00f9 semplice trovare la distanza tra due piani paralleli utilizzando la formula poich\u00e9 si tratta solo di applicare la formula e basta, ma dipende dal problema. Inoltre, riteniamo che sia meglio spiegare entrambi i modi di calcolo della distanza in modo che tu possa scegliere quello che preferisci.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di calcolo della distanza tra due piani paralleli<\/h3>\n<p> Ad esempio, calcoleremo la distanza tra i seguenti due piani:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9cd1abd1a84a5a230fb855c75c59e11_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_1 : \\ 4x-2y-4z+7=0 \\qquad \\qquad  \\pi_2 : \\ 8x-4y-8z+2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"471\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dobbiamo innanzitutto verificare che abbiamo a che fare con due piani paralleli. Pertanto, tutti i coefficienti delle equazioni piane sono proporzionali tranne i termini indipendenti, quindi sono effettivamente due piani paralleli.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e13f3d3e18910312a6604d299010da6f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{4}{8}=\\cfrac{-2}{-4}=\\cfrac{-4}{-8}\\neq \\cfrac{7}{2} \\quad \\longrightarrow \\quad \\pi_1 \\parallel \\pi_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In questo caso i termini A, B e C delle equazioni dei due piani non coincidono, ma possiamo ottenere questo risultato dividendo per due l&#8217;intera equazione del secondo piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d159a803fe606b074b2fbafbf792829d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_2 : \\ \\cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\\cfrac{0}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0098cb52d72e1305e5cc6daee535dee1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_2 : \\ 4x-2y-4z+1=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi le equazioni dei due piani hanno gi\u00e0 gli stessi coefficienti A, B e C. Pertanto possiamo facilmente calcolare la distanza tra i due piani con la formula per la distanza tra due piani paralleli:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f78d3a0f1fd3a6c00acfd51c160dc8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert D_2-D_1\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sostituiamo i valori e risolviamo le operazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ebaa9342424e4e1c6df12cac1f2658fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert 1-7\\rvert}{\\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \\cfrac{\\lvert -6\\rvert}{\\sqrt{36}} = \\cfrac{6}{6} = \\bm{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"369\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Cosicch\u00e9 la distanza tra un piano e l&#8217;altro piano \u00e8 uguale all&#8217;unit\u00e0. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-distancia-de-un-punto-a-un-plano\"><\/span> Risoluzione dei problemi di distanza da un punto ad un piano<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Calcola la distanza tra il punto P e il piano la cui equazione cartesiana (o generale) \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80f2f62e8bfd05d8d6f6d8341c0bb0fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(2,0,-1) \\qquad \\qquad \\pi: \\ x-3y+2z-4=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per calcolare la distanza dal punto al piano, \u00e8 necessario utilizzare la formula corrispondente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fa5cd77905fa8723448de603b90b705_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert A\\cdot x_0+B\\cdot y_0+C\\cdot z_0+D\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sostituiamo il valore di ciascun parametro nella formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23e86b0b23677612b604cb66fb8d63ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert 1\\cdot 2+(-3)\\cdot 0+2\\cdot (-1)-4\\rvert}{\\sqrt{1^2+(-3)^2+2^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E, infine, eseguiamo le operazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e947d902a760182e4518c89dd743d9ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert 2+0-2-4\\rvert}{\\sqrt{1+9+4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f67bf3231fbdd1e0e0be07f3252dace_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert -4\\rvert}{\\sqrt{14}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c92e0662fecd16f52c300603444e4dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{d(P,\\pi) = }\\cfrac{\\bm{4}}{\\bm{\\sqrt{14}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Trova la distanza tra il punto P e il piano \u03c0: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a3458d356f7bffc69bc0f986b1682d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-1,4,3) \\qquad \\qquad \\pi: \\ y=5x-2z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Prima di utilizzare la formula per la distanza da un punto a un piano, dobbiamo prima esprimere il piano sotto forma di un&#8217;equazione implicita (o generale):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef28b8fe3e435d42ebba26a0644e4b5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi: \\ -5x+y+2z=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E ora possiamo usare la formula per determinare la distanza dal punto al piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fa5cd77905fa8723448de603b90b705_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert A\\cdot x_0+B\\cdot y_0+C\\cdot z_0+D\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sostituiamo il valore di ciascun termine nella formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b60e5f2a3865e5077f484a741ccfe2b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert -5\\cdot (-1)+1\\cdot 4+2\\cdot 3+0\\rvert}{\\sqrt{(-5)^2+1^2+2^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"296\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E, infine, eseguiamo le operazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-350cfedc4d96fd5cdd987bd3c9fbcc8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert 5+4+6\\rvert}{\\sqrt{25+1+4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffd92b77650ccab388d90bf6dbd365ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{d(P,\\pi) = }\\cfrac{\\bm{15}}{\\bm{\\sqrt{30}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Utilizza la formula per la distanza tra un punto e un piano per determinare se il punto P si trova nel piano \u03c0. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f1172694919a2ec59e99d94477e10e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(0,-3,5) \\qquad \\qquad \\pi: \\ 4x+6y+2z+8=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"348\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per verificare se il punto appartiene al piano possiamo calcolare la distanza tra i due: se la distanza \u00e8 zero significa che il punto appartiene al piano, se invece la distanza \u00e8 diversa da 0 significa che il punto appartiene al piano il punto \u00e8 esterno al piano. piano.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, determiniamo la distanza tra il punto e il piano dalla formula: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fa5cd77905fa8723448de603b90b705_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert A\\cdot x_0+B\\cdot y_0+C\\cdot z_0+D\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62c5bc20a51cc65d03c68c20f08afc11_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert 4\\cdot 0+6\\cdot (-3)+2\\cdot 5+8\\rvert}{\\sqrt{4^2+6^2+2^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"282\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc797a0472cb98c5901fc294efe5988c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert -18+10+8\\rvert}{\\sqrt{16+36+4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7abeba148ae6b786dcdd35df00f7c308_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{0}{\\sqrt{56}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36660ee3653f3f3fcd120a6016e5dd8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{d(P,\\pi) = 0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La distanza tra il punto e il piano \u00e8 equivalente a zero, quindi effettivamente <strong>il punto appartiene al piano.<\/strong><\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 4<\/h3>\n<p> Trova la distanza tra i due piani seguenti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b51c64f5f5d25771ee1eb45d8e37e2f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_1 : \\ 2x-y+5z-3=0 \\qquad \\qquad  \\pi_2 : \\ 2x-y+5z-7=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"453\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dobbiamo innanzitutto verificare che abbiamo a che fare con due piani paralleli. Tutti i coefficienti delle equazioni dei due piani sono proporzionali ad eccezione dei termini indipendenti, quindi si tratta effettivamente di due piani paralleli.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c520445614ecabfaf8a1bda841afa65_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{2}{2}=\\cfrac{-1}{-1}=\\cfrac{5}{5} \\neq \\cfrac{-3}{-7} \\quad \\longrightarrow \\quad \\pi_1 \\parallel \\pi_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In questo caso calcoleremo la distanza tra i due piani con la formula, poich\u00e9 i loro coefficienti A, B e C sono uguali:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f78d3a0f1fd3a6c00acfd51c160dc8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert D_2-D_1\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Quindi, sostituiamo i valori nella formula ed eseguiamo le operazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c107ce392f40f085eadf58283ea31fc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert -7-3\\rvert}{\\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \\cfrac{\\lvert -10\\rvert}{\\sqrt{30}} = \\cfrac{\\bm{10}}{\\bm{\\sqrt{30}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"343\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 5<\/h3>\n<p> Trova la distanza tra i seguenti due piani paralleli: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d14719b0eefd313552d5257c249c66f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_1 : \\ \\begin{cases} x=3+4\\lambda-2 \\mu \\\\[1.7ex]y=-2+\\lambda+6 \\mu \\\\[1.7ex]z=5-\\lambda+3 \\mu \\end{cases}\\qquad \\qquad  \\pi_2 : \\ 3x+2y-2z-9=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"477\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Il piano in primo piano \u00e8 definito sotto forma di equazioni parametriche, quindi per applicare la formula per la distanza tra due piani paralleli dobbiamo prima convertirla sotto forma di un&#8217;equazione generale e ci vogliono molti calcoli e tempo. Pertanto, \u00e8 pi\u00f9 veloce se prendiamo un punto su quel piano e calcoliamo la distanza da quel punto all&#8217;altro piano.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, le coordinate di un punto attraverso il quale passa il piano \u03c0 <sub>1<\/sub> corrispondono ai termini indipendenti di ciascuna equazione parametrica:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d66243e674f3ead58ca1ff6b29a9a715_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(3,-2,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ora applichiamo la formula per trovare la distanza tra questo punto e l&#8217;altro piano: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e667bbf8e826d021b1cb466a3b312ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi_2) = \\cfrac{\\lvert A\\cdot x_0+B\\cdot y_0+C\\cdot z_0+D\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"307\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4c4801629feef3733a4564df35d3c46_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi_2) = \\cfrac{\\lvert 3\\cdot 3+2\\cdot (-2)+(-2)\\cdot 5-9\\rvert}{\\sqrt{3^2+2^2+(-2)^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"317\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-617538033c94b7606ec4aff058302fd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi_2) = \\cfrac{\\lvert 9-4-10-9\\rvert}{\\sqrt{9+4+4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"206\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-112e5dabc19834e9cd886f6c9296452a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi_2) = \\cfrac{\\lvert -14\\rvert}{\\sqrt{17}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18ff6ac34eed85be881c346ecb7e41dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi_2) = \\cfrac{14}{\\sqrt{17}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La distanza tra i due piani paralleli \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef887cbd7e8b9c8bbe88736ce26776d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{d(\\pi_1,\\pi_2)=d(P,\\pi_2) =} \\cfrac{\\bm{14}}{\\bm{\\sqrt{17}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai come viene calcolata la distanza tra un punto e un piano nello spazio (formula). 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