{"id":248,"date":"2023-07-10T14:01:40","date_gmt":"2023-07-10T14:01:40","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/equazione-generale-o-cartesiana-implicita-del-piano\/"},"modified":"2023-07-10T14:01:40","modified_gmt":"2023-07-10T14:01:40","slug":"equazione-generale-o-cartesiana-implicita-del-piano","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/equazione-generale-o-cartesiana-implicita-del-piano\/","title":{"rendered":"Equazione implicita, generale o cartesiana del piano"},"content":{"rendered":"

Spiegazione di come viene calcolata l’equazione del piano implicita (formula), nota anche come equazione generale o cartesiana. Inoltre, troverai come trovare l’equazione del piano a partire dal suo vettore normale. E in pi\u00f9 potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo. <\/p>\n

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<\/span> Qual \u00e8 l’equazione implicita o generale del piano? <\/span><\/h2>\n
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Nella geometria analitica, l’ equazione implicita di un piano<\/strong> , chiamata anche equazione generale<\/strong> o cartesiana<\/strong> del piano, \u00e8 un’equazione che consente di esprimere matematicamente qualsiasi piano. Per trovare l’equazione implicita o generale di un piano abbiamo bisogno di un punto e di due vettori linearmente indipendenti appartenenti a quel piano. <\/p>\n

<\/span> Formula dell’equazione implicita o generale del piano <\/span><\/h2>\n
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Consideriamo un punto e due vettori di direzione di un piano:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}<\/p>\n<\/p>\n

L’equazione implicita, generale o cartesiana di un piano si ottiene risolvendo il seguente determinante e ponendo il risultato uguale a 0:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Pertanto, l\u2019 equazione implicita o generale del piano risultante<\/strong> sar\u00e0 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n

\"Ax+By+Cz+D=0\"<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

\u00c8 importante che i due vettori nella formula siano linearmente indipendenti l’uno dall’altro, ovvero debbano avere direzioni diverse. E perch\u00e9 questa condizione sia soddisfatta \u00e8 sufficiente che i due vettori non siano paralleli. <\/p>\n

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\"Equazione<\/figure>\n<\/div>\n

Sebbene non sia necessario conoscere il motivo di questa formula, puoi vederne la dimostrazione di seguito.<\/p>\n

Partendo dalle equazioni parametriche di un piano passeremo all’equazione implicita (o generale) del piano:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Innanzitutto, passiamo il termine indipendente da ciascuna equazione parametrica all’altro lato dell’equazione:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

O equivalente:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Affinch\u00e9 il sistema di equazioni sopra riportato abbia una soluzione ammissibile, il rango della seguente matrice deve essere uguale a 2 (teorema di Rouche-Frobenius):<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\begin{pmatrix}\\text{u}_x<\/p>\n<\/p>\n

Quindi se l\u2019intervallo della matrice precedente deve essere due, il determinante 3×3 dovr\u00e0 necessariamente essere uguale a zero:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\begin{vmatrix}\\text{u}_x<\/p>\n<\/p>\n

E risolvendo questo determinante, otteniamo l’equazione generale, implicita o cartesiana di un piano:<\/p>\n<\/p>\n

\"Ax+By+Cz+D=0\"<\/p>\n<\/p>\n

Quindi, abbiamo appena visto l’equazione implicita (o generale) e le equazioni parametriche del piano, tuttavia ci sono ancora pi\u00f9 modi per esprimere analiticamente un piano, come l’equazione vettoriale e l’equazione canonica. Puoi vedere la formula e la spiegazione di tutte le equazioni nel piano<\/a> in questo link. <\/p>\n

<\/span> Esempio di come trovare l’equazione implicita o generale del piano <\/span><\/h2>\n
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Vediamo come determinare l’equazione implicita (o generale o cartesiana) di un piano attraverso un esempio:<\/p>\n