{"id":247,"date":"2023-07-10T14:29:46","date_gmt":"2023-07-10T14:29:46","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/equazioni-parametriche-del-piano\/"},"modified":"2023-07-10T14:29:46","modified_gmt":"2023-07-10T14:29:46","slug":"equazioni-parametriche-del-piano","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/equazioni-parametriche-del-piano\/","title":{"rendered":"Equazioni parametriche del piano"},"content":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai cosa sono le equazioni parametriche di un piano e come si calcolano (formula). Inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo. <\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-104\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-son-las-ecuaciones-parametricas-de-un-plano\"><\/span> Quali sono le equazioni parametriche di un piano? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-105\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Nella geometria analitica, le <strong>equazioni parametriche di un piano<\/strong> sono equazioni che consentono di esprimere matematicamente qualsiasi piano. Per trovare le equazioni parametriche di un piano abbiamo solo bisogno di un punto e di due vettori linearmente indipendenti appartenenti a quel piano. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-las-ecuaciones-parametricas-del-plano\"><\/span> Formulazione delle equazioni parametriche del piano <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-106\"><\/div>\n<\/div>\n<div style=\"background-color:#FFCC8080;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px solid #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Consideriamo un punto e due vettori di direzione di un piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf5d4130501bb01b15aa80f8f80caf1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\\\[2ex] \\vv{\\text{u}}=(\\text{u}_x,\\text{u}_y,\\text{u}_z)\\\\[2ex] \\vv{\\text{v}}=(\\text{v}_x,\\text{v}_y,\\text{v}_z)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"116\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> La <strong>formula per le equazioni parametriche di un piano<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f74da212d3f5f1c3a3002d71a4bed96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}x=P_x + \\lambda \\text{u}_x + \\mu \\text{v}_x \\\\[1.7ex]  y=P_y + \\lambda  \\text{u}_y + \\mu \\text{v}_y\\\\[1.7ex] z=P_z + \\lambda\\text{u}_z + \\mu \\text{v}_z \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"167\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left;\"> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b5c45836864531b8e37025dabadd24a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lambda\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> sono due scalari, cio\u00e8 due numeri reali.<\/p>\n<\/div>\n<p> \u00c8 importante che i due vettori di direzione dell&#8217;equazione del piano siano linearmente indipendenti, cio\u00e8 abbiano una direzione diversa (non parallela). Altrimenti, l\u2019equazione di cui sopra non rappresenterebbe alcun piano. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equations-planes.webp\" alt=\"Equazione parametrica del piano\" class=\"wp-image-2443\" width=\"404\" height=\"142\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> D&#8217;altra parte, tieni presente che oltre all&#8217;equazione parametrica, ci sono altri modi per esprimere analiticamente un piano nello spazio (in R3), come l&#8217; <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/equazione-generale-o-cartesiana-implicita-del-piano\/\">equazione generale del piano<\/a> . In questo link troverai la sua formula, come si calcola dalle equazioni parametriche del piano, esempi ed esercizi risolti. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-como-hallar-las-ecuaciones-parametricas-de-un-plano\"><\/span> Esempio di come trovare le equazioni parametriche di un piano <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-109\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Una volta visto qual \u00e8 l&#8217;equazione parametrica del piano, vediamo come si calcola utilizzando un esempio:<\/p>\n<ul>\n<li> Trovare le equazioni parametriche del piano passante per il punto\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3f0118e7d45cb9daa5eb13da519c4c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(1,3,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> e contiene i vettori<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-181eea061c4ba593347d9a9418e929f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}=(2,0,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1902a5430dccdf4883ac68065ccaad61_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}=(4,2,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p> Per determinare le equazioni parametriche del piano \u00e8 sufficiente applicare la sua formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-46f87775f11f01a59c70aa3ee864aebe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}x=P_x + \\lambda \\text{u}_x + \\mu \\text{v}_x \\\\[1.7ex] y=P_y + \\lambda \\text{u}_y + \\mu \\text{v}_y\\\\[1.7ex] z=P_z + \\lambda\\text{u}_z + \\mu \\text{v}_z \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"167\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E ora sostituiamo il punto e ciascun vettore di direzione nell&#8217;equazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-501ec8b26b4d88ebe95abd3ca7e7fe44_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}x=1 + \\lambda \\cdot 2 + \\mu \\cdot 4 \\\\[1.7ex] y=3+ \\lambda \\cdot 0 + \\mu \\cdot 2\\\\[1.7ex] z=2 + \\lambda\\cdot (-1)+ \\mu \\cdot 3\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"190\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e8517084217ee5519c428b598f2d7f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}\\bm{x=1 + 2\\lambda + 4\\mu } \\\\[1.7ex] \\bm{y=3 + 2\\mu}\\\\[1.7ex] \\bm{z=2 -\\lambda+ 3\\mu} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"138\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-pasar-de-la-ecuacion-vectorial-de-un-plano-a-ecuaciones-parametricas\"><\/span> Come passare dall&#8217;equazione vettoriale di un piano alle equazioni parametriche<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Un altro metodo per determinare le equazioni parametriche di un piano proviene dall&#8217;equazione vettoriale di un piano. Qui sotto potete vedere la demo.<\/p>\n<p> Sia l&#8217;equazione vettoriale di qualsiasi piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78b41d21b63c22ec05d3f93576a897e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\\lambda (\\text{u}_x,\\text{u}_y,\\text{u}_z) + \\mu (\\text{v}_x,\\text{v}_y,\\text{v}_z)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"398\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Operiamo e realizziamo prima i prodotti dei vettori per gli scalari:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9eb7c00ddf8ba235e3698c85a0f23db0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+ (\\lambda\\text{u}_x,\\lambda\\text{u}_y,\\lambda\\text{u}_z) +(\\mu\\text{v}_x,\\mu\\text{v}_y,\\mu\\text{v}_z)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"440\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Successivamente, aggiungiamo i componenti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3ff52d13a3d4400800b0f72148f99c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x,y,z)=(P_x+\\lambda \\text{u}_x + \\mu \\text{v}_x,P_y+\\lambda \\text{u}_y + \\mu \\text{v}_y,P_z+\\lambda \\text{u}_z + \\mu \\text{v}_z)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"467\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E, infine, otteniamo l&#8217;equazione parametrica del piano assimilando separatamente le coordinate corrispondenti a ciascuna variabile:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-46f87775f11f01a59c70aa3ee864aebe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}x=P_x + \\lambda \\text{u}_x + \\mu \\text{v}_x \\\\[1.7ex] y=P_y + \\lambda \\text{u}_y + \\mu \\text{v}_y\\\\[1.7ex] z=P_z + \\lambda\\text{u}_z + \\mu \\text{v}_z \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"167\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come puoi vedere nei due esempi sopra, trovare le equazioni parametriche di un piano \u00e8 relativamente semplice. Tuttavia, i problemi possono diventare un po&#8217; complicati, quindi di seguito sono riportati diversi esercizi risolti di diversa difficolt\u00e0 in modo da poter esercitarsi. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-ecuaciones-parametricas-del-plano\"><\/span> Risolti problemi di equazioni parametriche del piano<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Determinare le equazioni parametriche del piano che contiene il vettore<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-490c9a9e1ad20441fc3e4e552562da06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}=(2,1,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> e passa attraverso i seguenti due punti:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0c8787181ac89109302dca999a33418_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(3,2,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> E <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b15174216dceaaf397f378acb645116_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B(-2,-1,1).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per conoscere l&#8217;equazione di un piano occorrono un punto e due vettori e in questo caso abbiamo un solo vettore, dobbiamo quindi trovare un altro vettore direttore del piano. Per fare ci\u00f2 possiamo calcolare il vettore che definisce i due punti del piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42b4f718ed5e9e490fb0129949f8f694_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB} = B - A = (-2,-1,1) - (3,2,-1) = (-5,-3,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"406\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ora che conosciamo gi\u00e0 due vettori di direzione del piano e un punto, utilizziamo quindi la formula per le equazioni parametriche del piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5adabb85c9285653d6b638f7c48ba50_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}x=P_x + \\lambda \\text{u}_x + \\mu \\text{v}_x \\\\[1.7ex] y=P_y + \\lambda \\text{u}_y + \\mu \\text{v}_y \\\\[1.7ex] z=P_z + \\lambda\\text{u}_z + \\mu \\text{v}_z \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"167\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E sostituiamo nell&#8217;equazione i due vettori e uno dei due punti del piano: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ecedfca92c24d2754bcca977f2f30e76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}x=3 + \\lambda \\cdot 2+ \\mu \\cdot (-5) \\\\[1.7ex] y=2 + \\lambda \\cdot 1 + \\mu \\cdot (-3) \\\\[1.7ex] z=(-1) + \\lambda\\cdot 5 + \\mu \\cdot 2 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"190\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c67219e6157433f05d410c0aefb05f05_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}\\bm{x=3 +2 \\lambda-5\\mu } \\\\[1.7ex] \\bm{y=2 + \\lambda-3 \\mu } \\\\[1.7ex] \\bm{z=-1 + 5\\lambda + 2\\mu } \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"151\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Trova le equazioni parametriche del piano che contiene i seguenti tre punti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df564519d92ccbe87c5500460231d2b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A(4,1,0) \\qquad B(2,-3,-1) \\qquad C(1,5,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"308\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare le equazioni parametriche del piano, dobbiamo trovare due vettori linearmente indipendenti che si collegano nel piano. E, per questo, possiamo calcolare due vettori definiti dai 3 punti: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14d7f4f29cbdc14a69357bf1b8f29b4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB} = B - A = (2,-3,-1) - (4,1,0) = (-2,-4,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"406\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a33c0974226c3e3c0a51de22c0b8b38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AC} = C - A = (1,5,3) - (4,1,0) = (-3,4,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Le coordinate dei due vettori trovati non sono proporzionali, quindi sono linearmente indipendenti tra loro.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ora che conosciamo gi\u00e0 due vettori di direzione e un punto sul piano, applichiamo la formula per l&#8217;equazione parametrica del piano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5adabb85c9285653d6b638f7c48ba50_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}x=P_x + \\lambda \\text{u}_x + \\mu \\text{v}_x \\\\[1.7ex] y=P_y + \\lambda \\text{u}_y + \\mu \\text{v}_y \\\\[1.7ex] z=P_z + \\lambda\\text{u}_z + \\mu \\text{v}_z \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"167\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E sostituiamo nell&#8217;equazione i due vettori e uno dei tre punti del piano: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f57edaf8a85108cffb796470ffca8484_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}x=4 + \\lambda \\cdot (-2)+ \\mu \\cdot (-3) \\\\[1.7ex] y=1 + \\lambda \\cdot (-4) + \\mu \\cdot 4 \\\\[1.7ex] z=0 + \\lambda\\cdot (-1) + \\mu \\cdot 3 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"218\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4cab5ddc074bd7df6849d71854207cf5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}\\bm{x=4 -2 \\lambda-3\\mu } \\\\[1.7ex] \\bm{y=1-4 \\lambda+4 \\mu } \\\\[1.7ex] \\bm{z=-\\lambda + 3\\mu } \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"138\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Calcolare le equazioni parametriche del piano definito dalla seguente equazione vettoriale: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01df6ae373f0d460332985a54715ca88_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x,y,z)=(0,-1,5)+\\lambda (6,1,-2) + \\mu (1,-1,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"354\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trasformare l&#8217;equazione vettoriale del piano in un&#8217;equazione parametrica, \u00e8 necessario operare con le coordinate quindi risolvere ciascuna variabile separatamente: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01df6ae373f0d460332985a54715ca88_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x,y,z)=(0,-1,5)+\\lambda (6,1,-2) + \\mu (1,-1,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"354\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b2bc3ea152efd43fbb9a16f7d1c73b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x,y,z)=(0,-1,5)+(6\\lambda,\\lambda,-2\\lambda) + (\\mu,-\\mu,3\\mu)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"370\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8760242bbd8cf85b3d2e7280e1c0a2e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x,y,z)=(6\\lambda+\\mu,-1+\\lambda-\\mu,5-2\\lambda+3\\mu)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-381b1ceea87f332904ae69a566ecd1af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}\\bm{x=6\\lambda+\\mu } \\\\[1.7ex] \\bm{y=-1+\\lambda-\\mu} \\\\[1.7ex] \\bm{z=5-2\\lambda+3\\mu } \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"137\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 4<\/h3>\n<p> Trova le equazioni parametriche del piano che contiene la retta<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ed \u00e8 parallelo a destra<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23a7daa116b8874af1538c91f8d239de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> essendo le linee: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-624f315685b292c4bb05e9cb4b931a97_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} x=1+t \\\\[1.7ex] y=2-3t\\\\[1.7ex] z=4+2t \\end{cases} \\qquad \\qquad s: \\ \\frac{x-4}{2} = \\frac{y+3}{2}= \\frac{z-2}{-3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"424\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare le equazioni parametriche del piano, dobbiamo conoscere due vettori di direzione e un punto sul piano. L&#8217;istruzione ci dice che contiene la riga<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Pertanto, possiamo prendere il vettore direzione e un punto su questa linea per definire il piano. Inoltre l&#8217;affermazione ci dice che il piano \u00e8 parallelo alla retta<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4cc36ef269909ae645021a09d5e91016_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> quindi possiamo anche usare il vettore direzione di questa linea per l&#8217;equazione del piano.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> la destra<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 espresso sotto forma di equazioni parametriche, quindi le componenti del suo vettore direzione sono i coefficienti dei termini del parametro<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40f8b062c79839dcf7f2885a9e1469e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b40bdea86f773b36fb40078fb4ddf23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{r} =(1,-3,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E le coordinate cartesiane di un punto su questa stessa linea sono i termini indipendenti delle equazioni parametriche:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d565383a925076ae118032f7b9b62f7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(1,2,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> D&#8217;altra parte, la linea retta<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae1901659f469e6be883797bfd30f4f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ha la forma di un&#8217;equazione continua, tale che le componenti del suo vettore di direzione sono i denominatori delle frazioni:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8f571b217df7a6bbe833d706091457a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{s} =(2,2,-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto le equazioni parametriche del piano sono: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5adabb85c9285653d6b638f7c48ba50_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}x=P_x + \\lambda \\text{u}_x + \\mu \\text{v}_x \\\\[1.7ex] y=P_y + \\lambda \\text{u}_y + \\mu \\text{v}_y \\\\[1.7ex] z=P_z + \\lambda\\text{u}_z + \\mu \\text{v}_z \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"167\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c81f4d8e5aa907f111b3389d5137736e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}x=1 + \\lambda \\cdot 1+ \\mu \\cdot 2 \\\\[1.7ex] y=2 + \\lambda \\cdot (-3) + \\mu \\cdot 2 \\\\[1.7ex] z=4 + \\lambda\\cdot 2 + \\mu \\cdot (-3) \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"189\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fccd86ac9a3e4084e324d8e5b1071e59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{cases}\\bm{x=1 + \\lambda+2\\mu } \\\\[1.7ex] \\bm{y=2-3 \\lambda+2 \\mu } \\\\[1.7ex] \\bm{z=4+2\\lambda -3\\mu } \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"137\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questa pagina troverai cosa sono le equazioni parametriche di un piano e come si calcolano (formula). 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