L’iperbole \u00e8 una curva aperta con due rami, la cui definizione matematica \u00e8 la seguente:<\/p>\n
Nella geometria analitica, un’iperbole \u00e8 il luogo dei punti del piano che soddisfa la seguente condizione: il valore assoluto della differenza delle distanze tra un punto qualsiasi dell’iperbole e due punti fissi (detti fuochi) deve essere costante.<\/strong><\/p>\n Inoltre, il valore della sottrazione di queste due distanze \u00e8 sempre equivalente alla distanza tra i due vertici dell’iperbole. <\/p>\n<\/p>\n Di seguito vedremo cosa significa il coefficiente<\/p>\n<\/p>\n di un’iperbole. <\/p>\n Inoltre l’iperbole fa parte del gruppo geometrico chiamato coniche insieme alla circonferenza, all’ellisse e alla parabola. L’iperbole \u00e8 quindi una sezione conica, o in altre parole si pu\u00f2 ottenere da un cono.<\/p>\n In particolare, un’iperbole \u00e8 il risultato della sezione di un cono mediante un piano avente un angolo minore dell’angolo formato dalla generatrice del cono rispetto al suo asse di rivoluzione. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n Le caratteristiche di un’iperbole dipendono da:<\/p>\n Innanzitutto diciamo che semiasse significa met\u00e0 di un asse. Ad esempio, il semiasse vero \u00e8 il segmento che va dal punto A al centro dell’iperbole, la cui lunghezza \u00e8<\/p>\n<\/p>\n Esiste quindi una relazione molto importante tra il semiasse reale, il semiasse immaginario e la semilunghezza focale. In effetti, la formula che dedurremo di seguito \u00e8 molto utilizzata per risolvere esercizi e problemi sull’iperbole.<\/p>\n Dovresti sapere che i punti B e B’ di un’iperbole corrispondono ai punti di intersezione dell’asse principale e del cerchio immaginario di raggio<\/p>\n<\/p>\n (distanza semifocale) dal centro al punto A. Pertanto, come si pu\u00f2 vedere nella seguente rappresentazione grafica, il segmento che congiunge il punto A ed il punto B coincide con il raggio di detto cerchio (<\/p>\n ): <\/p>\n Quindi si pu\u00f2 dimostrare dal teorema di Pitagora che la relazione tra i parametri<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n \u00e8 il seguente: <\/p>\n<\/p>\n Esistono diversi tipi di equazioni dell’iperbole, poich\u00e9 a seconda delle sue propriet\u00e0 l’una o l’altra viene utilizzata per esprimerla matematicamente. Successivamente, analizzeremo ciascuno in dettaglio.<\/p>\n Innanzitutto, abbiamo l’ equazione ordinaria<\/strong> dell’iperbole. In secondo luogo vedremo una variante dell’equazione ordinaria, questa \u00e8 l’ equazione ridotta o canonica<\/strong> dell’iperbole. Successivamente studieremo come \u00e8 l’ equazione generale<\/strong> di un’iperbole. E infine, analizzeremo le equazioni di due casi speciali di iperboli: l’ iperbole equilatera<\/strong> e le iperboli coniugate<\/strong> . <\/p>\n Quando vogliamo definire mediante un’equazione un’iperbole con centro esterno nell’origine delle coordinate (punto (0,0)), dobbiamo utilizzare la seguente formula: <\/p>\n La formula per l’ equazione ordinaria dell’iperbole<\/strong> in coordinate cartesiane \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n Oro:<\/p>\n E<\/p>\n sono le coordinate del centro dell’iperbole:<\/p>\n \u00e8 la lunghezza del semiasse maggiore dell’iperbole.<\/li>\n \u00e8 la lunghezza del semiasse minore dell’iperbole.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n Con questa equazione puoi descrivere le iperboli il cui asse focale \u00e8 orizzontale (rami aperti a sinistra e a destra), che \u00e8 ci\u00f2 che normalmente sono le iperboli. Ma se lavoriamo con un asse focale verticale (rami aperti dall’alto verso il basso), il segno negativo passa dalla variabile y alla<\/em> variabile x<\/em> :<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n sono, come prima, le coordinate del centro dell’iperbole e i termini<\/p>\n E<\/p>\n sono ancora il semiasse maggiore e il semiasse minore dell’iperbole, anche se, a differenza di prima, questi due saranno ora orientati rispettivamente verticalmente e orizzontalmente. <\/p>\n Questo tipo di equazione dell’iperbole \u00e8 molto simile all’equazione ordinaria, l’unica differenza \u00e8 che l’equazione canonica viene utilizzata per esprimere analiticamente le iperboli il cui centro \u00e8 il punto (0,0). Utilizziamo quindi l’equazione canonica o ridotta dell’iperbole quando il centro dell’iperbole \u00e8 l’origine delle coordinate.<\/strong><\/p>\n Dedurremo ora la formula per l\u2019equazione ridotta dell\u2019iperbole dalla sua equazione ordinaria:<\/p>\n<\/p>\n Se il centro dell’iperbole dovesse essere l’origine delle coordinate, cio\u00e8 il punto (0,0), vale sempre quanto segue:<\/p>\n<\/p>\n Pertanto, la formula dell\u2019equazione canonica o ridotta dell\u2019iperbole sar\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n Come prima, se l’asse focale fosse verticale anzich\u00e9 orizzontale, la variabile negativa sarebbe x<\/em> : <\/p>\n<\/p>\n La formula per l’equazione generale di un’iperbole \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n Tuttavia, affinch\u00e9 l’equazione di cui sopra sia un’iperbole, i coefficienti<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n Devono essere diversi da zero e, allo stesso tempo, avere segno opposto. <\/p>\n Un’iperbole equilatera<\/strong> \u00e8 un’iperbole in cui la lunghezza del semiasse reale \u00e8 equivalente alla lunghezza del semiasse immaginario, ci\u00f2 significa che<\/p>\n<\/p>\n Pertanto l\u2019equazione dell\u2019iperbole equilatera \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Inoltre, gli asintoti delle iperboli equilatere sono perpendicolari tra loro. E le equazioni di queste linee sono le seguenti:<\/p>\n<\/p>\n Se guardiamo attentamente, queste due equazioni sono le bisettrici rispettivamente del primo (e terzo) quadrante e del secondo (e quarto) quadrante. Quindi se ruotiamo un’iperbole equilatera di 45\u00b0 verso sinistra, i suoi asintoti occupano il posto degli assi coordinati: <\/p>\n Quindi, quando compiamo la svolta di 45\u00ba, l’equazione per l’iperbole \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n Due iperboli sono coniugate se l’asse reale dell’una \u00e8 equivalente all’asse immaginario dell’altra<\/strong> . Pertanto, l’unica differenza tra le equazioni di due iperboli coniugate \u00e8 quale variabile \u00e8 negata, perch\u00e9 i coefficienti dei denominatori devono rimanere gli stessi.<\/p>\n Ecco un esempio delle equazioni di due iperboli coniugate tra loro: <\/p>\n<\/p>\n Inoltre, come puoi vedere dalle iperboli rappresentate graficamente, le iperboli coniugate condividono gli stessi asintoti.<\/p>\n Come hai visto nei grafici precedenti, ogni iperbole ha due asintoti. Ricorda che un asintoto \u00e8 una linea retta che si avvicina molto a una funzione ma non la interseca n\u00e9 la tocca mai del tutto.<\/p>\n Quindi le formule che corrispondono agli asintoti delle iperboli sono:<\/p>\n<\/p>\n In modo che gli asintoti di qualsiasi iperbole possano essere facilmente determinati utilizzando i loro coefficienti<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n che sono rispettivamente le lunghezze del semiasse reale e del semiasse immaginario dell’iperbole. <\/p>\n L’ eccentricit\u00e0 di un’iperbole<\/strong> \u00e8 un parametro caratteristico che determina quanto \u00e8 aperta o chiusa. Numericamente, l’eccentricit\u00e0 di un’iperbole si calcola dividendo la sua semilunghezza focale per il suo semiasse reale:<\/p>\n<\/p>\n L’eccentricit\u00e0 di qualsiasi iperbole \u00e8 sempre maggiore di 1:<\/p>\n<\/p>\n Il valore di questo parametro \u00e8 abbastanza rilevante, poich\u00e9 indica la forma di una data iperbole. Quanto pi\u00f9 l’eccentricit\u00e0 di un’iperbole \u00e8 vicina a 1, tanto pi\u00f9 chiusi saranno i suoi rami; invece quanto maggiore sar\u00e0 il valore dell’eccentricit\u00e0 tanto pi\u00f9 i suoi rami saranno aperti. <\/p>\n Va infine notato che l’eccentricit\u00e0 di un’iperbole equilatera \u00e8 sempre uguale a <\/p>\n<\/p>\n Di seguito puoi mettere in pratica i concetti che abbiamo visto con problemi ed esercizi risolti sulle iperboli e sull’equazione dell’iperbole.<\/p>\n Qual \u00e8 l’equazione dell’iperbole con centro nel punto (-1,3), lunghezza del semiasse reale di 3 unit\u00e0 e lunghezza del semiasse immaginario (parallelo all’asse Y) di 7 unit\u00e0? <\/p>\n Per trovare l’equazione dell’iperbole, basta applicare la formula dell’equazione ordinaria dell’iperbole:<\/p>\n<\/p>\n Sostituiamo le coordinate del centro dell’iperbole nell’equazione: <\/p>\n<\/p>\n E infine, sostituiamo i valori delle incognite<\/p>\n<\/p>\n E <\/p>\n Trova le coordinate del centro, dei vertici, dei fuochi, il valore dell’eccentricit\u00e0 e gli asintoti dell’iperbole la cui equazione \u00e8 definita da: <\/p>\n<\/p>\n Innanzitutto occorre notare che la variabile negativa nell’equazione \u00e8 la variabile y<\/em> , quindi i rami dell’iperbole si apriranno a destra e a sinistra (asse focale parallelo all’asse X).<\/p>\n In secondo luogo, l’equazione corrisponde all’equazione canonica (o ridotta) dell’iperbole, quindi il suo centro \u00e8 l’origine delle coordinate.<\/p>\n<\/p>\n Una volta conosciuto il centro dell’iperbole, per calcolare tutto il resto occorre trovare il valore del semiasse reale (parametro<\/p>\n<\/p>\n ) e il semiasse immaginario (parametro<\/p>\n ). Possiamo dedurli entrambi dalla formula dell’equazione canonica (o ridotta) dell’iperbole: <\/p>\n<\/p>\n Quindi se tra il centro ed i vertici c’\u00e8 una distanza di 5 unit\u00e0, ci\u00f2 implica che i vertici delle iperboli sono:<\/p>\n<\/p>\n Per determinare le coordinate di ciascun punto focale \u00e8 necessario conoscere il valore della mezza focale (parametro<\/p>\n<\/p>\n ). E per questo possiamo usare la formula che collega gli elementi di un’iperbole: <\/p>\n<\/p>\n Tra il centro e le abitazioni c’\u00e8 quindi uno spazio di 13 unit\u00e0. Pertanto, le coordinate di ciascuna famiglia sono:<\/p>\n<\/p>\n Quindi, per calcolare l’eccentricit\u00e0 dell’iperbole, dobbiamo utilizzare la formula corrispondente:<\/p>\n<\/p>\n E, infine, troviamo gli asintoti dell’iperbole con le loro formule: <\/p>\n<\/p>\n Calcola l’equazione dell’iperbole con centro nell’origine delle coordinate sapendo che la differenza nelle distanze da un punto dell’iperbole ai fuochi F(-4.0) e F(4.0) \u00e8 6 unit\u00e0. <\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08f25424560ca1e7449189d00268f0b9_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Elementi di un’iperbole<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/p>\n<\/li>\n![\"elementi](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/elements-de-l-hyperbole.webp\")
<\/figure>\n<\/span> Relazione tra gli elementi di un’iperbole<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"Relazione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/elements-de-relation-dune-hyperbole.webp\")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> equazione dell’iperbole<\/span><\/h2>\n
<\/span> Equazione ordinaria dell’iperbole<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/li>\n<\/p>\n![\"b\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equazione canonica o ridotta dell’iperbole<\/span><\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n![\"x_0](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9ec62f2078baa728f7ebfabffd10153_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"y_0](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fe89d278351632cc7ab2e5843b59d50_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equazione generale dell’iperbole<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/span> Equazione dell’iperbole equilatera<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"Equazione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-hyperbole-equilaterale.webp\")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> iperboli coniugate<\/span><\/h3>\n
![\"\\cfrac{x^2}{a^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d53db10e1f9803780acbba6c67d420b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"equazioni](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-des-hyperboles-conjuguees.webp\")
<\/figure>\n<\/span>Asintoti dell’iperbole<\/span><\/h2>\n
![\"y=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d50d6c5ebf08aabc0b03be7e7bac218_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"b,\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a521efcd0a946cd643aebe98b5b41a3c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/span>Eccentricit\u00e0 dell’iperbole<\/span><\/h2>\n
![\"e=\\cfrac{c}{a}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7290cf41b85af2331d8634e251ca44b9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"e](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47a5ae71a1f4a771f6017b1fc5600ec4_l3.png\")
1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”40″ style=”vertical-align: -2px;”><\/p>\n<\/p>\n![\"eccentricit\u00e0](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/excentricite-dune-hyperbole.webp\")
<\/figure>\n![\"\\sqrt{2}.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dcc432e053b2cf0b17f199b8eb91ab1f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Problemi di iperbole risolti<\/span><\/h2>\n
Esercizio 1<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{(x-(-1))^2}{a^2}-\\cfrac{(y-3)^2}{b^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb8ad6c303104b76fdfe294488c60b30_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{(x+1)^2}{a^2}-\\cfrac{(y-3)^2}{b^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd828d8d4d401a7179e88f283b89fb0d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"b:\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4586bc1b16791cf732fc00ee37db4357_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{(x+1)^2}{3^2}-\\cfrac{(y-3)^2}{7^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc9216ffda5e5a35c5349a4c0162f456_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{\\bm{(x+1)^2}}{\\bm{9}}\\bm{-}\\cfrac{\\bm{(y-3)^2}}{\\bm{49}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a6dc9e5e100bccc73644512fcac3344_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 2<\/h3>\n
![\"\\cfrac{x^2}{25}-\\cfrac{y^2}{144}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-024bdc18c959ac2ec840e7701edb4c2d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{O(0,0)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6cc3df15d40bf714accb800d97cc619d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{x^2}{a^2}-\\cfrac{y^2}{b^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c236b71767c0cd45cba2e3be0826c02c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"a^2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c686e5df986b42acb7cae3ffa7226636_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"a](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30e75133dba02b3a9db45660814d8a8a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"a](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05c584db6eed155346c907e19f10f11f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n![\"b^2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e82b959fd678557ff50e9c147f301b7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"b=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8eb15c44c5845841e91b49a46c744c5b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"b](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-517b154a5fe27c41ae6666be7858a2a7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"\\bm{A(-5,0)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6a4fcc88007b1dd5424d647be5940951_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"c](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44e92e889aa75e6513e84583d2e6b63f_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 3<\/h3>\n
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