In questa pagina troverai tutto sulla parabola: cos’\u00e8, cosa rappresenta, i suoi elementi (fuoco, direttrice, vertice, ecc.) la sua equazione (con i diversi tipi di equazioni della parabola), esempi, esercizi risolti, le sue propriet\u00e0, le sue applicazioni,\u2026 <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Cos’\u00e8 una parabola? <\/span><\/h2>\n
\n
\n
La parabola \u00e8 un concetto che ha significati molto diversi, ma la sua definizione matematica \u00e8 la seguente:<\/p>\n
In matematica, una parabola \u00e8 il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (chiamato fuoco) e da una linea fissa (chiamata direttrice).<\/strong><\/p>\n
Pertanto ogni punto della parabola \u00e8 alla stessa distanza dal suo fuoco e dalla sua direttrice. <\/p>\n<\/div>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
\n
Inoltre, in geometria, la parabola \u00e8 una delle sezioni coniche insieme alla circonferenza, all’ellisse e all’iperbole. In altre parole, da un cono si pu\u00f2 ricavare una parabola.<\/p>\n
In particolare, la parabola risulta dalla sezione di un cono mediante un piano avente un angolo di inclinazione rispetto all’asse di rivoluzione equivalente all’angolo generatore del cono. Pertanto il piano contenente la parabola \u00e8 parallelo alla generatrice del cono. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Elementi di una parabola <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Le caratteristiche di una parabola dipendono dai seguenti elementi:<\/p>\n
\n
Fuoco (F)<\/strong> : \u00e8 un punto fisso all’interno della parabola. La distanza da un punto qualsiasi della parabola al fuoco \u00e8 uguale alla distanza da questo stesso punto alla direttrice della parabola.<\/li>\n
Direttrice (D)<\/strong> : \u00e8 una retta fissa esterna alla parabola. Un punto della parabola \u00e8 alla stessa distanza dalla direttrice e dal fuoco della parabola.<\/li>\n
Parametro (p)<\/strong> : \u00e8 la distanza dal fuoco al regista.<\/li>\n
Vettore raggio (R)<\/strong> : \u00e8 il segmento che congiunge un punto della parabola al fuoco. Il suo valore coincide con la distanza dal punto alla direttrice.<\/li>\n
Asse (E)<\/strong> : \u00e8 la retta perpendicolare alla direttrice che passa per il fuoco ed \u00e8 l’asse di simmetria della parabola, nel grafico sottostante corrisponde all’asse del computer (asse Y). Chiamato anche asse focale.<\/li>\n
Vertice (V)<\/strong> : \u00e8 il punto di intersezione tra la parabola e il suo asse.<\/li>\n
Lunghezza focale<\/strong> : \u00e8 la distanza tra il fuoco e il vertice, oppure tra la direttrice e il vertice. Il suo valore \u00e8 sempre uguale a\n
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/figure>\n
<\/span> lato destro<\/span><\/h3>\n
Il lato destro<\/strong> di una parabola \u00e8 la corda interna alla parabola che passa per il fuoco ed \u00e8 parallela alla direttrice. <\/p>\n<\/figure>\n
Allo stesso modo si pu\u00f2 dimostrare che la lunghezza del lato destro \u00e8 sempre il doppio del valore del parametro<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
D’altra parte, le due rette tangenti alla parabola che passano per gli estremi del lato destro formano un angolo di 45\u00ba con il lato destro stesso e si intersecano anche al vertice della parabola.<\/p>\n
<\/span>equazioni della parabola <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
L’equazione di una parabola \u00e8 un tipo di funzione quadratica perch\u00e9 deve sempre avere almeno 1 termine quadrato. Inoltre, l’equazione di una parabola dipende dal suo orientamento orizzontale o verticale.<\/p>\n
Pertanto, nella geometria analitica, ci sono diversi modi per esprimere matematicamente una parabola: l’ equazione canonica o ridotta<\/strong> , l’ equazione ordinaria<\/strong> e l’ equazione generale<\/strong> della parabola. <\/p>\n
<\/span> Equazione ridotta o canonica della parabola<\/span><\/h3>\n
Ci\u00f2 che differenzia l’equazione ridotta o canonica dalle altre equazioni paraboliche \u00e8 che il vertice della parabola \u00e8 l’origine delle coordinate<\/strong> , cio\u00e8 il punto (0,0).<\/p>\n
La forma dell’equazione ridotta della parabola dipende dal fatto che sia orizzontale o verticale. Osservate la seguente rappresentazione grafica dove sono indicate le 4 possibili varianti: <\/p>\n<\/figure>\n
Oro<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
\u00e8 il parametro caratteristico della parabola.<\/p>\n
Come puoi vedere nell’immagine precedente, quando la variabile x<\/em> \u00e8 quadrata, la parabola \u00e8 verticale, mentre quando la variabile y<\/em> \u00e8 quadrata, la parabola \u00e8 orizzontale. D’altra parte, la direzione dei rami della parabola dipende dal segno dell’equazione. <\/p>\n
<\/span> Equazione ordinaria della parabola<\/span><\/h3>\n
Abbiamo appena visto come si presenta l’equazione della parabola quando il suo vertice o centro corrisponde all’origine delle coordinate (l’equazione ridotta o canonica), ma qual \u00e8 l’equazione della parabola se il vertice \u00e8 fuori dall’origine?<\/p>\n
Quando il vertice della parabola \u00e8 un punto qualsiasi, si usa l’equazione ordinaria della parabola<\/strong> , la cui espressione \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
dove il centro o vertice della parabola \u00e8 il punto<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
L’equazione precedente corrisponde alla parabola orientata verticalmente, cio\u00e8 l’asse focale della parabola \u00e8 parallelo all’asse Y.<\/p>\n
Allo stesso modo, per definire una parabola orientata orizzontalmente (il suo asse focale \u00e8 parallelo all’asse X), dobbiamo utilizzare la seguente variante dell’equazione ordinaria della parabola:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Dove, come prima, il centro o vertice della parabola \u00e8 il punto <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Equazione generale della parabola<\/span><\/h3>\n
Finora tutte le equazioni delle parabole che abbiamo analizzato vengono utilizzate per esprimere parabole orizzontali o verticali. Ma ovviamente una parabola pu\u00f2 essere anche obliqua o inclinata<\/strong> .<\/p>\n
Ebbene, per esprimere questo tipo di parabola, utilizziamo l’ equazione generale della parabola<\/strong> , la cui formula \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
L’equazione di cui sopra \u00e8 una parabola se e solo se i coefficienti<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
<\/p>\n
non sono contemporaneamente nulli e, inoltre, \u00e8 soddisfatta la seguente condizione: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Esempio di come trovare vertice, fuoco e direttrice di una parabola dalla sua equazione<\/span><\/h2>\n
In molti esercizi e problemi sulle parabole ti viene chiesto di calcolare il vertice, il fuoco e la direttrice di una certa parabola. Vediamo quindi come si realizza attraverso un esempio:<\/p>\n
\n
Trova il vertice, il fuoco e la direttrice della seguente parabola:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
La cosa fondamentale per risolvere questo tipo di problema di parabola \u00e8 determinare il parametro p<\/em> della parabola<\/strong> . In questo caso l\u2019equazione della parabola corrisponde all\u2019equazione ridotta o canonica (parabola verticale):<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Pertanto il parametro p<\/em> \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
D’altra parte, poich\u00e9 la parabola segue l’equazione ridotta o canonica, ci\u00f2 significa che il suo vertice o centro \u00e8 nell’origine delle coordinate:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Una volta che conosciamo il vertice e il valore del parametro della parabola, possiamo facilmente trovarne il fuoco e la direttrice.<\/p>\n
Il termine quadratico dell’equazione \u00e8 la variabile x<\/em> per cui l’asse della parabola sar\u00e0 parallelo all’asse OY e, infatti, poich\u00e9 il suo vertice \u00e8 il punto (0,0), l’asse della parabola sar\u00e0 l’OY asse stesso. Quindi il fuoco di una parabola si trova sempre sull’asse della parabola e ad una distanza di<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
dal vertice della parabola, quindi le sue coordinate sono: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Allo stesso modo, la linea guida sar\u00e0 la linea orizzontale che si trova a distanza<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
dal vertice della parabola, che \u00e8 l’origine delle coordinate. L\u2019equazione della retta sar\u00e0 quindi: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
La parabola \u00e8 stata rappresentata graficamente di seguito in modo da poter controllare i risultati: <\/p>\n<\/figure>\n
<\/span> Propriet\u00e0 delle parabole<\/span><\/h2>\n
Tutte le parabole hanno le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n
\n
Una parabola \u00e8 una curva aperta, ovvero \u00e8 composta da due rami senza punti in comune che si estendono in modo illimitato.<\/li>\n
Ogni parabola ha un unico asse di simmetria, dove si trova il vertice di detta parabola.<\/li>\n
Una parabola orientata verticalmente \u00e8 convessa quando i suoi rami salgono; la parabola \u00e8 invece concava se i suoi rami scendono.<\/li>\n
L’eccentricit\u00e0 di una parabola equivale all’unit\u00e0 (1). L’eccentricit\u00e0 \u00e8 un coefficiente che in questo caso si calcola dividendo la distanza dal fuoco al centro della parabola per la distanza dal vertice alla direttrice (e le due distanze coincidono sempre nel loro valore).<\/li>\n
Dalla propriet\u00e0 precedente segue che tutte le parabole sono simili o simili.<\/li>\n
Una parabola non ha asintoti. <\/li>\n<\/ul>\n
<\/span> applicazioni paraboliche<\/span><\/h2>\n
Ora che hai molta familiarit\u00e0 con il significato di una parabola, potresti chiederti… qual \u00e8 lo scopo di una parabola?<\/p>\n
Ebbene, anche se non ti sembra, la forma geometrica della parabola \u00e8 molto comune nella vita reale. Ad esempio, molte volte quando si lancia una palla si fa un movimento parabolico, soprattutto nel basket. Ebbene, l’equazione della parabola \u00e8 molto utile per studiare analiticamente il percorso parabolico che segue la palla.<\/p>\n
Un’altra applicazione della parabola riguarda le antenne (da cui il nome antenna parabolica). Poich\u00e9 ogni raggio che cade su un oggetto di forma parabolica parallela all’asse di simmetria viene riflesso direttamente verso il fuoco, cio\u00e8 tutti i raggi che vanno all’antenna parabolica sono concentrati nel fuoco e questo pu\u00f2 essere utilizzato in diversi modi. Ecco perch\u00e9 il focus di una parabola \u00e8 cos\u00ec importante. <\/p>\n
<\/span> Risolti i problemi relativi ai piatti<\/span><\/h2>\n
Esercizio 1<\/h3>\n
Calcola il vertice, il fuoco e la direttrice della parabola la cui equazione \u00e8 la seguente: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Innanzitutto la parabola sar\u00e0 orizzontale perch\u00e9 segue la seguente espressione dell’equazione ridotta o canonica della parabola:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Quindi il suo parametro p<\/em> \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
D’altra parte, poich\u00e9 la parabola segue l’equazione ridotta o canonica, ci\u00f2 significa che il suo vertice o centro \u00e8 nell’origine delle coordinate:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Una volta che conosciamo il vertice e il valore del parametro della parabola, possiamo facilmente calcolarne il fuoco e la direttrice.<\/p>\n
Il termine quadratico dell’equazione \u00e8 la variabile e<\/em> cio\u00e8 l’asse della parabola sar\u00e0 parallelo all’asse OX e, infatti, poich\u00e9 il suo vertice \u00e8 il punto (0,0), l L’asse della parabola sar\u00e0 l’asse OX stesso. Quindi il fuoco di una parabola si trova sempre sull’asse della parabola e ad una distanza di<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
dal vertice della parabola, le cui coordinate sono: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Allo stesso modo, la linea guida \u00e8 a distanza<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
dal vertice della parabola, che \u00e8 l’origine delle coordinate ed \u00e8 perpendicolare al suo asse focale. L\u2019equazione della linea direttrice \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
Esercizio 2<\/h3>\n
Trovare il vertice, il fuoco e la direttrice della parabola la cui equazione \u00e8 la seguente: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
La parabola \u00e8 definita secondo la sua equazione ordinaria (asse parallelo all’asse Y), la cui formula \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Quindi il suo parametro p<\/em> \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Invece in questo caso l’equazione ordinaria della parabola implica che il suo centro non sia nell’origine delle coordinate, invece le coordinate cartesiane del vertice della parabola sono i numeri tra parentesi con il segno cambiato :<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Una volta che conosciamo il vertice e il valore del parametro della parabola, possiamo calcolarne il fuoco e la direttrice.<\/p>\n
Il termine quadratico dell’equazione \u00e8 la variabile x<\/em> tale che l’asse della parabola \u00e8 parallelo all’asse OY. Pertanto, il fuoco di una parabola si trova sempre sull’asse della parabola e ad una distanza di<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
dal vertice della parabola, in modo che le coordinate del punto focale siano quelle del vertice sommando<\/p>\n
<\/p>\n
verticalmente: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Allo stesso modo, la direttrice sar\u00e0 la linea orizzontale situata a distanza<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
dal vertice della parabola. L\u2019equazione della linea direttrice \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
Esercizio 3<\/h3>\n
Determina l’equazione parabolica il cui asse \u00e8 parallelo all’asse delle ascisse, ha come vertice il punto V(5,2) e il suo fuoco \u00e8 il punto P(8,2). <\/p>\n
\n
vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
In questo caso il vertice della parabola non \u00e8 l’origine delle coordinate, quindi abbiamo bisogno dell’equazione ordinaria per definire la parabola dell’enunciato. Inoltre, l’asse focale della parabola \u00e8 parallelo all’asse x, il che significa che la parabola sar\u00e0 orientata orizzontalmente (i rami andranno a destra o a sinistra) e quindi il termine quadratico dell’equazione dovr\u00e0 essere la variabile y<\/em> :<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Quindi possiamo sostituire le coordinate del vertice della parabola nell’equazione:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ora dobbiamo trovare il valore del parametro<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
La distanza dal focolare al piano deve essere<\/p>\n
<\/p>\n
quindi possiamo trovare il valore del parametro<\/p>\n
<\/p>\n
dalla seguente equazione: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Infine l\u2019equazione della parabola \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n
In questa pagina troverai tutto sulla parabola: cos’\u00e8, cosa rappresenta, i suoi elementi (fuoco, direttrice, vertice, ecc.) la sua equazione (con i diversi tipi di equazioni della parabola), esempi, esercizi risolti, le sue propriet\u00e0, le sue applicazioni,\u2026 Cos’\u00e8 una parabola? La parabola \u00e8 un concetto che ha significati molto diversi, ma la sua definizione matematica …<\/p>\n
![\"definizione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/definition-de-parabole.webp\")
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