La formula per l’ equazione dell’ellisse<\/strong> in coordinate cartesiane \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Oro:<\/p>\n E<\/p>\n sono le coordinate del centro dell’ellisse:<\/p>\n \u00e8 il raggio orizzontale dell’ellisse.<\/li>\n \u00e8 il raggio verticale dell’ellisse. <\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n Un tipo molto comune di ellisse \u00e8 quella il cui centro \u00e8 all’origine delle coordinate, cio\u00e8 nel punto (0,0). Ecco perch\u00e9 vedremo come trovare l’equazione dell’ellisse centrata nell’origine.<\/p>\n Seguendo la formula per l’equazione dell’ellisse:<\/p>\n<\/p>\n Se l’ellisse \u00e8 centrata sull’origine delle coordinate, significa che<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n sono uguali a 0, quindi la tua equazione sar\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n Ci sono matematici che chiamano questa espressione anche equazione canonica o equazione ridotta dell’ellisse.<\/p>\n Una volta che vediamo come appare l’equazione dell’ellisse, vedremo quali sono i suoi elementi. Ma prima ricordiamo cos’\u00e8 esattamente un’ellisse:<\/p>\n L’ellisse \u00e8 una linea piatta, chiusa, curva, molto simile alla circonferenza, ma la sua forma \u00e8 pi\u00f9 ovale. In particolare, l’ellisse \u00e8 il luogo di tutti i punti di un piano la cui somma delle distanze da altri due punti fissi (detti fuochi F e F’) \u00e8 costante.<\/p>\n Quindi gli elementi di un’ellisse sono:<\/p>\n I diversi elementi di un’ellisse sono collegati tra loro. Inoltre, le relazioni tra loro sono molto importanti per gli esercizi sulle ellissi, perch\u00e9 di solito sono necessarie per risolvere problemi sulle ellissi e determinare le loro equazioni.<\/p>\n Come abbiamo visto sopra nella definizione dell’ellisse, la distanza da qualsiasi punto dell’ellisse al fuoco F pi\u00f9 la distanza dallo stesso punto al fuoco F’ \u00e8 costante. Ebbene, questo valore costante \u00e8 pari al doppio di quanto misura il semiasse maggiore. In altre parole, per ogni punto dell\u2019ellisse vale la seguente uguaglianza:<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n \u00e8 la distanza dal punto P al fuoco F e F’ rispettivamente e<\/p>\n \u00e8 la lunghezza dell’asse semifocale.<\/p>\n Pertanto, poich\u00e9 il vertice dell’asse secondario si trova proprio al centro dell’asse focale, la distanza da esso a uno dei fuochi \u00e8 equivalente alla lunghezza dell’asse semiprimario (<\/p>\n<\/p>\n ): <\/p>\n Quindi, dal teorema di Pitagora<\/a> , \u00e8 possibile ricavare la relazione che esiste tra il semiasse principale, il semiasse secondario e la semilunghezza focale:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Ricorda questa formula perch\u00e9 sar\u00e0 molto utile per calcolare i risultati degli esercizi con i puntini di sospensione. <\/p>\n Ovviamente non tutte le ellissi sono uguali, ma alcune sono pi\u00f9 allungate ed altre pi\u00f9 appiattite. Quindi, esiste un coefficiente che viene utilizzato per misurare quanto \u00e8 arrotondata una determinata ellisse. Questo coefficiente si chiama eccentricit\u00e0<\/strong> e si calcola con la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n Oro<\/p>\n<\/p>\n \u00e8 la distanza dal centro dell’ellisse a uno dei suoi fuochi e<\/p>\n la lunghezza del semiasse maggiore. <\/p>\n Come puoi vedere nella rappresentazione precedente, minore \u00e8 il valore dell’eccentricit\u00e0 dell’ellisse, pi\u00f9 assomiglia ad un cerchio, invece, maggiore \u00e8 il coefficiente, pi\u00f9 l’ellisse \u00e8 appiattita. Inoltre, il valore dell’eccentricit\u00e0 varia da zero (cerchio perfetto) a uno (linea orizzontale), entrambi esclusi.<\/p>\n<\/p>\n Une fois que nous avons vu toutes les propri\u00e9t\u00e9s de l’ellipse, nous allons r\u00e9soudre un probl\u00e8me d’ellipse \u00e0 titre d’exemple :<\/p>\n Pour d\u00e9terminer l’\u00e9quation d’une ellipse, nous avons besoin de la longueur du demi-axe principal, de la longueur du demi-axe secondaire et des coordonn\u00e9es de son point.<\/strong> Par cons\u00e9quent, dans ce cas, nous n’avons besoin de conna\u00eetre que l’axe semi-secondaire. Ainsi, pour calculer la longueur mesur\u00e9e par l’axe semi-secondaire, nous pouvons utiliser la relation entre l’axe semi-principal, l’axe semi-secondaire et la distance semi-focale : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”215″ width=”2133″ style=”vertical-align: -5px;”><\/p>\n a^2=b^2+c^2 b^2=a^2-c^2 b=\\sqrt{a^2-c^2} = \\sqrt{5^2-4^2}=\\sqrt {9} = 3<\/p>\n \\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1\\cfrac{(x-4)^2}{5^2 }+\\cfrac{(y-(-1))^2}{3^2} = 1\\cfrac{\\bm{(x-4)^2}}{\\bm{25}}+\\cfrac{\\ bm{(y+1)^2}}{\\bm{9}} \\bm{= 1}<\/p>\n Quelle est l’\u00e9quation de l’ellipse centr\u00e9e au point C(2,0) dont l’axe semi-principal (parall\u00e8le \u00e0 l’axe X) et l’axe secondaire mesurent respectivement 6 et 3 unit\u00e9s ? Repr\u00e9senter graphiquement ladite ellipse. <\/p>\n L’\u00e9quation de l’ellipse est la suivante :” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”208″ width=”1595″ style=”vertical-align: -20px;”><\/p>\n \\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1<\/p>\n \\cfrac{(x-2)^2}{6^2}+\\cfrac{(y-0)^2}{3^2} = 1\\cfrac{\\bm{(x-2)^2}} {\\bm{36}}+\\cfrac{\\bm{y^2}}{\\bm{9}} \\bm{= 1}<\/p>\n Calculer l’\u00e9quation de l’ellipse dont le demi-axe principal (parall\u00e8le \u00e0 l’axe des abscisses) mesure 13 unit\u00e9s, son centre est l’origine des coordonn\u00e9es et la distance de son centre \u00e0 l’un de ses foyers est de 5 unit\u00e9s. <\/p>\n Pour calculer l’\u00e9quation de l’ellipse, nous devons savoir combien de temps mesure l’axe semi-secondaire. Et, pour cela, on peut utiliser la relation math\u00e9matique qui existe entre le demi-axe principal, le demi-axe secondaire et la demi-distance focale : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”299″ width=”2688″ style=”vertical-align: -20px;”><\/p>\n a^2=b^2+c^2 b^2=a^2-c^2 b=\\sqrt{a^2-c^2} = \\sqrt{13^2-5^2}=\\sqrt {144} = 12<\/p>\n \\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1\\cfrac{(x-0)^2}{13^2 }+\\cfrac{(y-0)^2}{12^2} = 1\\cfrac{\\bm{x^2}}{\\bm{169}}+\\cfrac{\\bm{y^2}} {\\bm{144}} \\bm{= 1}<\/p>\n D\u00e9terminer l’\u00e9quation de l’ellipse suivante et les coordonn\u00e9es de ses foyers : <\/p>\n Les sommets horizontaux de l’ellipse sont les points (-4,1) et (10,1). Par cons\u00e9quent, son diam\u00e8tre horizontal et son rayon sont : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”252″ width=”2047″ style=”vertical-align: -20px;”><\/p>\n d_h=10-(-4) =14 a =\\cfrac{14}{2} = 7<\/p>\n d_v=6-(-4) =10 b =\\cfrac{10}{2} = 5<\/p>\n C_x= \\cfrac{10+(-4)}{2} = \\cfrac{6}{2} =3 C_y= \\cfrac{6+(-4)}{2} = \\cfrac{2}{ 2} = 1C(3.1)<\/p>\n \\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1\\cfrac{(x-3)^2}{7^2 }+\\cfrac{(y-1)^2}{5^2} =1\\cfrac{\\bm{(x-3)^2}}{\\bm{49}}+\\cfrac{\\bm{( y-1)^2}}{\\bm{25}} \\bm{= 1}<\/p>\n a^2=b^2+c^2 c^2=a^2-b^2 c=\\sqrt{a^2-b^2} = \\sqrt{7^2-5^2}=\\sqrt {24}<\/p>\n \\qrt{24}<\/p>\n C(3,1) \\bm{FA\\sinistra(3+\\quadrato{24},1}\\destra)} \\bm{FA\\sinistra(3-\\quadrato{24},1}\\destra)}<\/p>\n Calculez l’\u00e9quation de l’ellipse qui r\u00e9pond aux caract\u00e9ristiques suivantes :<\/p>\n On peut calculer la demi-focale \u00e0 partir de la focale : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”185″ width=”1667″ style=”vertical-align: -19px;”><\/p>\n 2c = 6 c=\\cfrac{6}{2} c=3<\/p>\n d(P,F) + d(P,F’)= 2a 3+5= 2a 8= 2a \\cfrac{8}{2}= a 4= a<\/p>\n a^2=b^2+c^2 b^2=a^2-c^2 b=\\sqrt{a^2-c^2} = \\sqrt{4^2-3^2}=\\sqrt {7}<\/p>\n \\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1\\cfrac{(x-0)^2}{4^2 }+\\cfrac{(y-0)^2}{\\sinistra(\\sqrt{7}\\right)^2} =1\\cfrac{\\bm{x^2}}{\\bm{16}}+\\ cfrac{\\bm{y^2}}{\\bm{7}} \\bm{= 1}$<\/p>\n Infine, se questo articolo ti \u00e8 stato utile, sicuramente ti interesseranno anche le nostre pagine sulla formula dell’iperbole<\/a> e sulla formula della parabola<\/a> . Troverai una spiegazione dettagliata di cosa sono l’iperbole e la parabola, le loro equazioni, le loro caratteristiche, esempi, esercizi risolti,\u2026<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Qui troverai come viene calcolata l’equazione (formula) dell’ellisse, indipendentemente dal fatto che abbia l’origine come centro o meno. Troverai anche quali sono gli elementi dell’ellisse, come calcolarli e a cosa servono. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti di equazioni dell’ellisse. Formula dell’equazione dell’ellisse La formula per l’ equazione dell’ellisse in coordinate cartesiane \u00e8: Oro: …<\/p>\n![\"\\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e29350c8a9f9271d7c58bb5636661eae_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n![\"formula](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-dune-ellipse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Equazione dell’ellisse centrata nell’origine<\/span><\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{\\bm{x^2}}{\\bm{a^2}}+\\cfrac{\\bm{y^2}}{\\bm{b^2}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7821573c61c10361101554eb56041901_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> elementi dell’ellisse<\/span><\/h2>\n
\n
![\"elementi](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/elements-dellipse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Relazione tra gli elementi di un’ellisse<\/span><\/h3>\n
![\"d(P,F)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cef5996a2621318273bd54d01594941_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"d(P,F)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6be809958050006a77cc59c5b7c32557_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"Equazione](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/relation-delements-dellipse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"a^2=b^2+c^2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f07be3767557be2f8c17fc9a226a2506_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Eccentricit\u00e0 dell’ellisse<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"eccentricit\u00e0](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/excentricite-dellipse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"0\n\n<h2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7cba3912f2e788be4e73f1e18c9fb21_l3.png\")
<\/span> Exemple de calcul de l’\u00e9quation de l’ellipse<\/span><\/h2>\n\n
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<\/p>\n![\"\n\n<h2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c8518a77b08b28dd3989532a9c1a0bd_l3.png\")
<\/span> Probl\u00e8mes r\u00e9solus de l’\u00e9quation de l’ellipse<\/span><\/h2>\n Exercice 1<\/h3>\n
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\n!["\u00e9quation]("https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/centre-de-lellipse-de-lequation-a-lexterieur-de-lorigine.webp")
<\/figure>\n<\/div>\n Exercice 2<\/h3>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bcf056c99846b69f1bf4ed5ce1e6552a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e53a75087af9221fe85fa404a4045ff_l3.png\")
<\/div>\n Exercice 3<\/h3>\n
!["exercices]("https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-de-lequation-de-lellipse.webp")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76aa999f562c86113192c06e01991927_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d494da27f7cde61e219586567d178c8_l3.png\")
<\/div>\n Exercice 4<\/h3>\n
\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae016b9237aee40e4130230eb495fe6b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-615d5b2ccb4a343777d9d707806526ab_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n