{"id":23,"date":"2023-09-17T11:08:12","date_gmt":"2023-09-17T11:08:12","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/tipi-di-indeterminazioni-limiti-indeterminati\/"},"modified":"2023-09-17T11:08:12","modified_gmt":"2023-09-17T11:08:12","slug":"tipi-di-indeterminazioni-limiti-indeterminati","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/tipi-di-indeterminazioni-limiti-indeterminati\/","title":{"rendered":"Tipi di indeterminazioni (limiti indeterminati)"},"content":{"rendered":"<p>In questo articolo spieghiamo cos\u2019\u00e8 l\u2019indeterminazione. Scoprirai quali sono tutti i tipi di indeterminazioni e come risolverle. Inoltre potrai vedere esercizi risolti passo dopo passo sui limiti funzionali di tutte le indeterminazioni. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-son-las-indeterminaciones\"><\/span> Cosa sono le indeterminazioni?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Le indeterminazioni, dette anche forme indeterminate, sono espressioni matematiche che compaiono nel calcolo dei limiti di funzioni il cui risultato non \u00e8 definito.<\/strong> Pertanto, per risolvere le indeterminazioni dei limiti \u00e8 necessario applicare una procedura preliminare che dipende dal tipo di funzione.<\/p>\n<p> Cio\u00e8, quando si ottiene l&#8217;indeterminazione, non significa che il limite non esiste o che non pu\u00f2 essere risolto, ma piuttosto che bisogner\u00e0 apportare modifiche alla funzione per trovare la soluzione del limite. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tipos-de-indeterminaciones\"><\/span> Tipi di indeterminazioni<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Le indeterminazioni, o forme indeterminate, sono classificate nei seguenti tipi:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Indeterminatezza infinito meno infinito<\/strong> (\u221e-\u221e)<\/li>\n<li> <strong>Numero di indeterminazioni tra zero<\/strong> (k\/\u221e)<\/li>\n<li> <strong>Indeterminazione zero tra zero<\/strong> (0\/0)<\/li>\n<li> <strong>Indeterminazione infinita tra l&#8217;infinito<\/strong> (\u221e\/\u221e)<\/li>\n<li> <strong>Indeterminatezza 1 elevata all&#8217;infinito<\/strong> (1 <sup>\u221e<\/sup> )<\/li>\n<li> <strong>Indeterminatezza zero elevata a zero<\/strong> (0 <sup>0<\/sup> )<\/li>\n<li> <strong style=\"font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif; font-size: 1rem;\">Indeterminazione zero per l&#8217;infinito<\/strong> <span style=\"font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif; font-size: 1rem; font-weight: inherit;\">(0\u00b7\u221e)<\/span><\/li>\n<li> <strong>Indeterminazione zero elevata all&#8217;infinito<\/strong> (0 <sup>\u221e<\/sup> )<\/li>\n<li> <strong>Indeterminatezza infinita portata a zero<\/strong> (\u221e <sup>0<\/sup> )<\/li>\n<\/ul>\n<p> Vedremo poi come risolvere ogni tipo di indeterminazioni. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-infinito-menos-infinito\"><\/span> Infinito meno infinita indeterminatezza<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> La <strong>forma indeterminata infinito meno infinito<\/strong> non \u00e8 uguale a zero, poich\u00e9 sottraiamo due numeri molto grandi ma non sappiamo quale sia il maggiore. Il risultato della differenza degli infiniti dipende quindi dall&#8217;ordine di ciascun infinito.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03349653243a9ad62377c721fea0e797_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\infty-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Risolvere questo tipo di indeterminatezza non \u00e8 semplice, perch\u00e9 a seconda del tipo di funzione occorre applicare una procedura o un&#8217;altra. Pertanto, ti consigliamo di visualizzare la spiegazione completa nel seguente link:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/indeterminazione-infinito-meno-infinito-%e2%88%9e-%e2%88%9e\/\">come risolvere l&#8217;indeterminazione infinito meno infinito<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-numero-entre-cero\"><\/span> Numero di indeterminazioni compreso tra zero<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> L&#8217; <strong>indeterminazione di una costante divisa per zero<\/strong> si ottiene quando si annulla il denominatore di una funzione razionale.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d550f72be2a531eb89d5cf200f54dc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{k}{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Il risultato di questo tipo di forma indeterminata sar\u00e0 sempre pi\u00f9 infinito, meno infinito oppure il limite della funzione non esister\u00e0. Vediamo come viene calcolata questa indeterminazione risolvendo come esempio un limite:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f20a823489187682e3becf93cbd93c7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0}\\cfrac{-4}{x^2}=\\cfrac{-4}{0^2}=\\cfrac{-4}{0}=\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Abbiamo ottenuto l&#8217;indeterminatezza di un numero diviso zero, <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">quindi dobbiamo calcolare i limiti laterali della funzione:<\/u><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84821ecfa11641959a1463c3f2dd00e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^-}\\cfrac{-4}{0^2}=\\cfrac{-4}{(-0,001)^2}=\\cfrac{-4}{+0}=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"289\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-904f4d1bb401493cdb76cbb9ce607f0f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+}\\cfrac{-4}{0^2}=\\cfrac{-4}{0,001^2}=\\cfrac{-4}{+0}=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"261\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/limiti-laterali\/\">cosa sono i limiti laterali?<\/a><\/span><\/p>\n<p> I due limiti laterali della funzione danno lo stesso risultato, quindi per definizione il limite della funzione quando x tende a 0 d\u00e0 meno infinito:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c1b718f44360fe4322ba69ee40c9613_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^-}f(x)=\\lim_{x\\to 0^+}f(x)=-\\infty \\ \\longrightarrow \\ \\lim_{x\\to 0}f(x)=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"401\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Si noti che se i limiti laterali avessero dato valori diversi, il limite della funzione in questo punto non esisterebbe. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-entre-cero\"><\/span> Zero tra zero indeterminatezza<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Il <strong>limite indeterminato zero diviso zero<\/strong> \u00e8 molto comune e si ottiene nelle funzioni con frazioni in cui numeratore e denominatore si annullano.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f88512bac0562399d5d8e65829073b54_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{0}{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questo tipo di limite indeterminato viene risolto in modo diverso a seconda della funzione. Ad esempio, se la funzione ha radici, \u00e8 necessario eseguire passaggi diversi. Puoi vedere le diverse risoluzioni di questo tipo di indeterminatezza nel seguente link:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/zero-tra-zero-0-0-indeterminazione\/\">come risolvere l&#8217;indeterminazione dello zero tra zero<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-infinito-entre-infinito\"><\/span> Infinita indeterminatezza tra gli infiniti<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>L&#8217;indeterminazione infinita tra l&#8217;infinito<\/strong> di solito si verifica nei limiti infiniti delle funzioni con frazioni. Sebbene l&#8217;indeterminazione sia il quoziente di due infiniti, il risultato non deve necessariamente essere infinito.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5322af410095265a81aa545e533ebd1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{\\infty}{\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questo tipo di forma indeterminata si risolve mediante confronto. Si osserva cio\u00e8 il grado del numeratore e il grado del denominatore e, a seconda di quale sia maggiore, il risultato limite \u00e8 l&#8217;uno o l&#8217;altro. Puoi vedere tutti i casi nel seguente link:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\">esercizi risolti sui limiti infiniti tra l&#8217;infinito<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-1-elevado-a-infinito\"><\/span> Indeterminatezza 1 elevata all&#8217;infinito<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Matematicamente, si potrebbe pensare che <strong>1 all&#8217;infinito<\/strong> dia 1, poich\u00e9 qualsiasi potenza di 1 \u00e8 uguale a 1. Tuttavia, questo termine \u00e8 un&#8217;indeterminazione e, quindi, non \u00e8 possibile dedurne il risultato cos\u00ec facilmente.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f68a3b617b5f1db37a9beea43e15264f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1^{\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Questo tipo di indeterminazione si calcola applicando la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6bc13731241df168c3dc37d3e3b8e58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}f(x)^{g(x)}=\\lim_{x\\to+\\infty}e^{g(x)\\cdot [f(x)-1]}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ad esempio, il seguente limite \u00e8 indeterminato perch\u00e9 d\u00e0 la potenza dell&#8217;infinito:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96004b3ff4fd888f2e7fbc30a14abf13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\left(1-\\frac{1}{x}\\right)^x=\\left(1-\\frac{1}{+\\infty}\\right)^{+\\infty}=(1-0)^{+\\infty}=1^{+\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"428\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dobbiamo quindi utilizzare la formula per questo tipo di indeterminazione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e577daa5f0e768ca16bfe27a4d7a8a85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}e^{x\\cdot\\left[1-\\frac{1}{x}-1\\right]}=\\lim_{x\\to+\\infty}e^{x\\cdot\\left[-\\frac{1}{x}\\right]}=\\lim_{x\\to+\\infty}e^{-1}=\\frac{1}{e}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"37\" width=\"383\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E cos\u00ec abbiamo gi\u00e0 risolto il limite indeterminato elevato all&#8217;infinito. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-elevado-a-cero\"><\/span> Zero indeterminatezza portata a zero<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>L&#8217;indeterminazione zero rispetto alla potenza zero<\/strong> appare entro i limiti delle funzioni complicate.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfc1e32d3dc765b27701a8576e765fc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0^0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per risolvere questo tipo di limite indeterminato, \u00e8 necessario utilizzare la seguente propriet\u00e0 limit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56b621d520e28cf2dbcd93bcd5d35eb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)\\cdot \\ln\\bigl(f(x)\\bigr)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"266\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ad esempio, il seguente limite d\u00e0 la forma indeterminata 0 alla potenza di 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8680b80b19cae955169d2c0a8ad41f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\left(\\frac{1}{x}\\right)^{\\frac{1}{x}}=\\left(\\frac{1}{+\\infty}\\right)^{\\frac{1}{+\\infty}}=0^0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ma se applichiamo i logaritmi al limite, possiamo trovare il suo valore: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04165b15f4b40bbe84ae5a4b214d4846_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\left(\\frac{1}{x}\\right)^{\\frac{1}{x}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{1}{x}\\cdot \\ln\\left(\\frac{1}{x}\\right)}}=\\\\[5ex]\\displaystyle =e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{\\ln\\left(\\frac{1}{x}\\right)}{x}}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{\\ln1-\\ln x}{x}}}=\\\\[5ex]=\\displaystyle e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{-\\ln x}{x}}}=e^{^{\\displaystyle\\frac{-\\infty}{+\\infty}}}=e^0=1\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"239\" width=\"307\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-por-infinito\"><\/span> Indeterminazione zero per l&#8217;infinito<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> \u00c8 difficile incontrare l&#8217; <strong>indeterminatezza del prodotto tra zero e infinito<\/strong> , ma ci\u00f2 non significa che sia facile da determinare.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74b7fdba8e0feae988551f83341ec063_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0\\cdot \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Non esiste un metodo unico per risolvere questo tipo di indeterminatezza, ma dipende dal tipo di funzione. In questo caso dobbiamo trasformare la funzione in indeterminatezza infinita divisa per infinito o indeterminatezza zero divisa per zero, e da l\u00ec applicare i metodi risolutivi che abbiamo visto sopra per ciascuna indeterminazione.<\/p>\n<p> Quindi se il limite di una funzione \u00e8 0 e il limite dell&#8217;altra funzione \u00e8 \u221e:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac028c501a7835fdfa3bab5c769849b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)=0\\qquad\\lim_{x\\to a}g(x)=\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"243\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Possiamo trasformare questo tipo indefinitamente apportando le seguenti modifiche:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df402461269ae26c30768fc0bf83f2ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)\\cdot g(x)\\begin{cases}\\displaystyle\\lim_{x\\to a}\\frac{f(x)}{\\displaystyle\\frac{1}{g(x)}}=\\frac{0}{0}\\\\[10ex]\\displaystyle\\lim_{x\\to a}\\frac{g(x)}{\\displaystyle\\frac{1}{f(x)}}=\\frac{\\infty}{\\infty}\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"174\" width=\"248\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Vediamo come fare risolvendo come esempio un limite indeterminato:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-929e74562ababa44a253522d4474afad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}e^{-x}\\cdot x=e^{-\\infty}\\cdot (+\\infty)=0\\cdot \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Operiamo sulla funzione per ottenere un&#8217;indeterminazione infinita su infinito quindi troviamo il limite: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c29bbb439514449cd12fd8d66e327af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}e^{-x}\\cdot x=\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{x}{\\displaystyle\\frac{1}{e^{-x}}}=\\\\[6ex]=\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{x}{e^x}=\\frac{+\\infty}{e^{+\\infty}}=\\frac{+\\infty}{+\\infty}=0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"241\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-elevado-a-infinito\"><\/span> Indeterminazione zero elevata all\u2019infinito<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Lo <strong>zero di indeterminazione elevato all&#8217;infinito<\/strong> \u00e8 un po&#8217; difficile da comprendere, poich\u00e9 stiamo elevando un numero molto piccolo a un numero molto grande.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4894b918853d6dca8db65a026b1a349b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0^{\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quando si ottengono queste forme indeterminate, \u00e8 necessario utilizzare la seguente formula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56b621d520e28cf2dbcd93bcd5d35eb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)\\cdot \\ln\\bigl(f(x)\\bigr)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"266\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Risolviamo un esempio per capire meglio come calcolare questo tipo di indeterminazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ca354428ea8889a956a9b77b04a088f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+}x^{\\frac{1}{x}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+}\\frac{1}{x}\\cdot \\ln(x)}}=\\\\[3.5ex]\\displaystyle =e^{^{\\displaystyle\\frac{1}{0^+}\\cdot \\ln(0^+)}}=e^{+\\infty\\cdot (-\\infty)}\\\\[3ex]\\displaystyle =e^{-\\infty}=\\frac{1}{e^{+\\infty}}=0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"190\" width=\"221\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-infinito-elevado-a-cero\"><\/span> Indeterminatezza infinita portata a zero<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Normalmente, qualsiasi potenza elevata a zero d\u00e0 1, tuttavia, l&#8217; <strong>indeterminatezza dell&#8217;infinito elevato a zero<\/strong> non deve necessariamente essere cos\u00ec.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a2ef9259a35e0e2f7a176bcdb934ad9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\infty^0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"25\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come nelle indeterminazioni zero elevato a zero e zero elevato all&#8217;infinito, per risolvere questo tipo di limite indeterminato \u00e8 necessario applicare i logaritmi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56b621d520e28cf2dbcd93bcd5d35eb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)\\cdot \\ln\\bigl(f(x)\\bigr)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"266\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Vediamo come si risolve questo tipo di limiti indeterminati calcolando passo passo un esempio:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a45090015a206189aca3884f8b2cab30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}x^{\\frac{1}{x}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{1}{x}\\cdot \\ln(x)}}=\\\\[3ex]\\displaystyle =e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{\\ln(x)}{x}}}=e^{^{\\displaystyle\\frac{\\ln(+\\infty)}{+\\infty}}}=\\\\[3ex]\\displaystyle =e^{^{\\displaystyle\\frac{+\\infty}{+\\infty}}}=e^0=1\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"199\" width=\"236\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questo articolo spieghiamo cos\u2019\u00e8 l\u2019indeterminazione. 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