{"id":213,"date":"2023-07-11T21:43:45","date_gmt":"2023-07-11T21:43:45","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/moltiplicazione-del-prodotto-di-un-vettore-per-un-numero-reale-scalare\/"},"modified":"2023-07-11T21:43:45","modified_gmt":"2023-07-11T21:43:45","slug":"moltiplicazione-del-prodotto-di-un-vettore-per-un-numero-reale-scalare","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/moltiplicazione-del-prodotto-di-un-vettore-per-un-numero-reale-scalare\/","title":{"rendered":"Moltiplicazione di un vettore per un numero"},"content":{"rendered":"<p>Questa pagina spiega come moltiplicare numericamente e graficamente un vettore per un numero reale (o uno scalare). Inoltre troverai anche esempi ed esercizi risolti del prodotto di un vettore per uno scalare. Infine vengono spiegate anche le propriet\u00e0 di questo tipo di operazione con i vettori. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcomo-se-multiplica-un-vector-por-un-numero-real\"><\/span> Come si moltiplica un vettore per un numero reale? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div style=\"background-color:#FFCC8080;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px; border: 2px solid #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Per calcolare numericamente il prodotto di un vettore e un numero (o uno scalare), ciascuna componente del vettore deve essere moltiplicata per il numero.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4b2f8c9cdb09377a66fbce8392c30ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abb3b5391be9c0e4d871ff45367ca838_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\\cdot \\vv{\\text{u}} =(k\\cdot \\text{u}_x \\ , \\ k\\cdot \\text{u}_y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> Pertanto, il risultato della moltiplicazione di un vettore per un numero d\u00e0 origine a un nuovo vettore con le seguenti caratteristiche:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff6f00; font-weight: bold;>\n<li><span style=\" color:#262626;font-weight:=\"\" normal;\"=\"\">\n<li style=\"margin-bottom:18px\"><span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Il risultato del prodotto di un vettore per uno scalare produce un nuovo vettore con la stessa direzione del vettore originale.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Inoltre, il nuovo vettore avr\u00e0 la stessa direzione se il numero \u00e8 positivo.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Oppure avr\u00e0 il significato opposto se il numero \u00e8 negativo.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">La grandezza del vettore risultante \u00e8 equivalente alla grandezza del vettore originale moltiplicata per lo scalare.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> Nel grafico seguente puoi vedere come viene mantenuta la direzione del vettore indipendentemente dal segno dello scalare. D&#8217;altra parte, la direzione del vettore dipende dal segno del numero che moltiplica. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/multiplication-ou-produit-dun-nombre-ou-dun-scalaire-par-un-vecteur.webp\" alt=\"moltiplicazione o prodotto di un numero o di uno scalare per un vettore\" class=\"wp-image-283\" width=\"305\" height=\"206\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Inoltre, nel grafico seguente si vede chiaramente che la grandezza del vettore prodotto risultante \u00e8 uguale alla grandezza del vettore originale moltiplicato per lo scalare. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/numero-de-produit-de-multiplication-de-module-par-vecteur.webp\" alt=\"Come si evolve il modulo di una moltiplicazione o prodotto di un numero per un vettore?\" class=\"wp-image-290\" width=\"255\" height=\"313\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ovviamente, se moltiplichiamo il vettore per un numero maggiore di 1, il risultato \u00e8 un vettore di maggiore lunghezza (di modulo maggiore). D&#8217;altra parte, se moltiplichiamo il vettore per un numero inferiore a 1, il risultato \u00e8 un vettore di lunghezza inferiore (modulo pi\u00f9 piccolo).<\/p>\n<p> <strong>Nota:<\/strong> non confondere il prodotto di un vettore e di uno scalare con il <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/calcolare-il-prodotto-scalare-tra-due-vettori-esempi-esercizi-risolti\/\">prodotto scalare di vettori<\/a> . Sebbene abbiano un nome simile, sono due concetti completamente diversi. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-producto-de-un-vector-por-un-escalar\"><\/span> Esempio di prodotto di un vettore per uno scalare<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Successivamente, vedremo un esempio numerico di come viene calcolato il prodotto di un vettore e un numero:<\/p>\n<ul>\n<li> Moltiplicare il seguente vettore per 4:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a3b02659b94a332ef3cd2cc62769d94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} =(2,-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-998ae86a47fde44f6006a0744f03c562_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot \\vv{\\text{u}} =(4 \\cdot 2 \\ , \\ 4 \\cdot (-3)) = \\bm{(8,-12)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come hai visto, questo tipo di operazione vettoriale non \u00e8 molto complicata perch\u00e9 non devi fare molti calcoli.<\/p>\n<p> Tuttavia, esistono operazioni vettoriali pi\u00f9 complicate, come l&#8217;addizione e la sottrazione di vettori. Se hai gi\u00e0 capito come calcolare il prodotto di un vettore per uno scalare, ti consigliamo di passare al livello successivo e vedere come risolvere <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/somma-di-vettori-graficamente-esempi-risolti-numericamente-esercizi-add\/\">l&#8217;addizione<\/a> e <a href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/sottrarre-i-vettori-numericamente-esempi-grafici-esercizi-risolti-sottrarre\/\">la sottrazione di vettori<\/a> , poich\u00e9 si tratta di operazioni un po&#8217; pi\u00f9 difficili e, in effetti, sono molto pi\u00f9 utilizzati (sono pi\u00f9 importanti). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-multiplicacion-de-un-vector-por-un-numero\"><\/span> Propriet\u00e0 di moltiplicare un vettore per un numero<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il prodotto tra un vettore e un numero ha le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Propriet\u00e0 associativa<\/strong> : quando il vettore viene moltiplicato per pi\u00f9 di un numero, l&#8217;ordine delle moltiplicazioni non ha importanza.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7cc3b0e34695b9960f32199046e868e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k \\cdot (k' \\cdot \\vv{\\text{u}}) =(k\\cdot k') \\cdot \\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Propriet\u00e0 distributiva<\/strong> rispetto all&#8217;addizione e alla sottrazione di vettori:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8b55a3b25ad66154d6e8bb18fc70da7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k \\cdot (\\vv{\\text{u}}+  \\vv{\\text{v}})=k\\cdot \\vv{\\text{u}} + k\\cdot \\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-086f60151d160ac3b6d4f5add59434b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k \\cdot (\\vv{\\text{u}}- \\vv{\\text{v}})=k\\cdot \\vv{\\text{u}} - k\\cdot \\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Propriet\u00e0 distributiva<\/strong> rispetto all&#8217;addizione di scalari:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7354955effb7b59f41793537f4517851_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(k+k') \\cdot \\vv{\\text{u}} =k\\cdot \\vv{\\text{u}} + k'\\cdot \\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"196\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Elemento neutro<\/strong> : Ovviamente qualsiasi vettore moltiplicato per 1 d\u00e0 il vettore stesso: <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-154c7987de1e55e762dcf229eae9fd23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1\\cdot \\vv{\\text{u}} = \\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"64\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-multiplicacion-de-un-vector-por-un-escalar\"><\/span> Risolti problemi di moltiplicazione di un vettore per uno scalare<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Calcola analiticamente il risultato del prodotto del seguente vettore per 3: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b5a56f394f2b178a0175a53e6a55a1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{a}=(-2,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare il prodotto, devi moltiplicare ciascuna coordinata del vettore per 3: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e0b8a6167489c27e91bef24f222e3af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3\\cdot \\vv{a}=(3\\cdot (-2), 3 \\cdot 5) = \\bm{(-6,15)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"250\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Moltiplica il seguente vettore per 6 e trova il suo modulo: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85db994a57a1325a456909a04efa2e23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{a}=(3,-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa moltiplichiamo il vettore per lo scalare:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c6c6b2d9291528aff357e7e94daf221_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6\\cdot \\vv{a}=(6\\cdot 3, 6 \\cdot (-4)) = (18,-24)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Esistono ora due modi per calcolare la grandezza del vettore ottenuto. Il primo \u00e8 trovare il modulo del vettore originale, quindi moltiplicarlo per 6: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a7bc760b63c8efa2c36d2d49802000c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{a} \\rvert =\\sqrt{3^2+(-4)^2} = \\sqrt{25} =5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"229\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32f0e3a2cb32142aa26a1fbb0f3bf9df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6\\cdot \\lvert \\vv{a} \\rvert =6\\cdot 5 =\\bm{30}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"137\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E il secondo modo \u00e8 calcolare direttamente la grandezza del vettore ottenuto nella moltiplicazione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06f0793bfdae917904c47247b9b1f08f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert 6\\cdot \\vv{a} \\rvert =\\sqrt{18^2+(-24)^2} = \\sqrt{900} =\\bm{30}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"287\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In modo che con entrambe le procedure si dimostra che il risultato non dipende dal metodo con cui viene calcolato il modulo.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 3<\/h3>\n<p> Dal seguente vettore:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf8d63b14f91ee738fe5107ab2a05779_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{a}=(4,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Calcolare algebricamente le seguenti operazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5557b66d322653674e2266800c73c958_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2\\cdot \\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2f511cc4014aae8cf90bef442f30bdd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3\\cdot \\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d09a188710cecb56283c4a2dea7a97e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{2} \\cdot \\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c4742e8a37f45e358d2e7740c5aadef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot \\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Successivamente, determina se i vettori risultanti hanno la stessa direzione e direzione del vettore originale e ordinali dal pi\u00f9 breve al pi\u00f9 lungo. <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa calcoliamo le moltiplicazioni: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b92c621a30ebf15a0628cba3e0f6be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2\\cdot \\vv{a}=(2\\cdot 4, 2 \\cdot (-1)) = (8,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"241\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71e1eb36b88b2ca47d69f0bfe4d1a33b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3\\cdot \\vv{a}=(-3\\cdot 4, -3 \\cdot (-1)) = (-12,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"290\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9866b27859b66475a36d182919ec4e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{2}\\cdot \\vv{a}=\\left(\\frac{1}{2}\\cdot 4, \\frac{1}{2} \\cdot (-1)\\right) = \\left(2,-\\frac{1}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6904a22660dc2e21ab3f775e1453535c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot \\vv{a}=(4\\cdot 4, 4 \\cdot (-1)) = (16,-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"250\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, i vettori moltiplicati per numeri positivi hanno la stessa direzione e direzione del vettore originale. E i vettori moltiplicati per numeri negativi hanno la stessa direzione ma la direzione opposta al vettore originale.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Vettori della stessa direzione e della stessa direzione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50dd29950a1b957a78493d3de5b4bf5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 2\\vv{a}, \\ 4\\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9fac7295c812fa36c4fcba97e316b5f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{2}\\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Vettori con la stessa direzione ma significato diverso:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1b95a4d066d0dd0da8cdf0373d19c8d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3\\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine, dobbiamo ordinare i vettori in base alla loro lunghezza o, equivalentemente, al loro modulo. Il vettore di lunghezza maggiore (o modulo pi\u00f9 grande) sar\u00e0 quello che \u00e8 stato moltiplicato per un numero maggiore (in valore assoluto), e il vettore di lunghezza minore (o modulo pi\u00f9 piccolo) sar\u00e0 quello che \u00e8 stato moltiplicato per un numero minore numero (in valore assoluto). Quindi l&#8217;ordine delle lunghezze \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1e7cf58774569c9f128f49948c9fead_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} \\displaystyle\\frac{1}{2}\\vv{a}\\end{vmatrix} <\\lvert 2\\vv{a}\\rvert < \\lvert -3\\vv{a}\\rvert < \\lvert 4\\vv{a}\\rvert\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Si noti che la lunghezza o modulo non dipende dal segno dello scalare moltiplicato, poich\u00e9 la direzione del vettore non ne modifica il modulo.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 4<\/h3>\n<p> Consideriamo i due vettori seguenti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-740cd5f2540cb57342f82c58e1076cbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{a} =(7,-2) \\qquad \\vv{b} =(-3,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"205\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Calcolare la seguente operazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5abd316200fbcf062072dfdf51266cda_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2 \\vv{a} - 3 \\vv{b}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa risolviamo le moltiplicazioni dei vettori per i numeri: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08a07c35741b9e7427990abb5bb89ef9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2 \\cdot \\vv{a} - 3 \\cdot \\vv{b}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"82\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fa31543d7c2a129c47b030cfa5fc4e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2 \\cdot (7,-2) - 3 \\cdot(-3,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7624e801962ac397ca316243c4e3420_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(14,-4) - (-9,15)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E poi sottraiamo i vettori: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72660b240eab9459d0b0aefb1d10d728_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(14-(-9),-4-15)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe8b5f018f4a24a925bfce0c2c997dae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(23,-19)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 5<\/h3>\n<p> Esegui le seguenti moltiplicazioni di vettori per scalari e rappresenta i risultati graficamente: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1c2fa6e2c114b3bbce76ca987020ad9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2\\cdot (1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1adddd551d57bc95b951c6573080090a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3\\cdot (-1,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33be3689306562b8a4ae74d0970fc1f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot (2,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd3d3bba47ccc84d7616e38ca863b22d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{3}{2}\\cdot (-2,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fe6e18de5ed93f74fa207a3f9ecc2c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -\\frac{1}{2}\\cdot (8,6)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>vedi soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa moltiplichiamo i vettori per gli scalari reali: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6846258bc5f69aaea3f86991095d3199_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2\\cdot (1,2) = (2\\cdot 1,2\\cdot 2)=\\bm{(2,4)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-605e263cab7e34f01290372f0e2666c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3\\cdot (-1,1) = (-3\\cdot (-1),-3\\cdot 1)=\\bm{(3,-3)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"325\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8b4cf7b606673d72ae9cdd0004f0757_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot (2,1) = (4\\cdot 2,4\\cdot 1)=\\bm{(8,4)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-51454cc5c3239bb4552918b1a693b499_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{3}{2}\\cdot (-2,4)= \\left(\\frac{3}{2}\\cdot (-2), \\frac{3}{2}\\cdot 4 \\right) = \\bm{(-3,6)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"307\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fbbfff835499e861d11de5da6714d10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -\\frac{1}{2}\\cdot (8,6)= \\left(-\\frac{1}{2}\\cdot 8, -\\frac{1}{2}\\cdot 6 \\right) = \\bm{(-4,-3)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"322\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Infine, una volta calcolati i vettori, li rappresentiamo nel grafico: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-et-problemes-resolus-de-multiplication-dun-vecteur-par-un-nombre.webp\" alt=\"esercizi e problemi risolti di moltiplicazione di un vettore per un numero\" class=\"wp-image-327\" width=\"469\" height=\"370\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questa pagina spiega come moltiplicare numericamente e graficamente un vettore per un numero reale (o uno scalare). 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Come si moltiplica un vettore per un numero reale? &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/moltiplicazione-del-prodotto-di-un-vettore-per-un-numero-reale-scalare\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Moltiplicazione di un vettore per un numero<\/span> Leggi altro &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[22],"tags":[],"class_list":["post-213","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-vettori"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Moltiplicazione di un vettore per un numero - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/moltiplicazione-del-prodotto-di-un-vettore-per-un-numero-reale-scalare\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Moltiplicazione di un vettore per un numero - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Questa pagina spiega come moltiplicare numericamente e graficamente un vettore per un numero reale (o uno scalare). 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