{"id":184,"date":"2023-07-15T12:37:30","date_gmt":"2023-07-15T12:37:30","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/potenze-di-numeri-complessi\/"},"modified":"2023-07-15T12:37:30","modified_gmt":"2023-07-15T12:37:30","slug":"potenze-di-numeri-complessi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/potenze-di-numeri-complessi\/","title":{"rendered":"Potenze dei numeri complessi"},"content":{"rendered":"

Risolvere le potenze dei numeri complessi<\/strong> \u00e8 una cosa abbastanza semplice da fare, se si conosce il metodo giusto. Pertanto, in questo articolo spiegheremo come risolvere le potenze complesse in tre modi: per i numeri complessi in forma binomiale, in forma polare e in forma trigonometrica.<\/p>\n

Come risolvere la potenza di un numero complesso?<\/span><\/h2>\n

Come abbiamo detto nell’introduzione, quando si opera con poteri complessi si possono verificare tre situazioni. Il primo e pi\u00f9 semplice \u00e8 quando ci viene dato il numero in forma polare<\/strong> . Il secondo \u00e8 quando ci viene dato il numero in forma binomiale e il terzo \u00e8 quando ci viene dato il numero in forma trigonometrica.<\/p>\n

In altre parole, quando si opera con complessi in forma polare, l’esercizio pu\u00f2 essere risolto pi\u00f9 rapidamente. Pertanto, si consiglia di convertire il numero in questione in forma polare. Ma in realt\u00e0, tutti i metodi sono facili da risolvere<\/strong> . Detto questo, ti spiegheremo come si risolvono tutti i casi e ti proporremo un esercizio.<\/p>\n

Potenze dei numeri complessi in forma polare<\/span><\/h2>\n

Quando vogliamo risolvere potenze complesse in forma polare<\/strong> , eleviamo semplicemente il modulo a qualsiasi e moltiplichiamo l’argomento per n. Espressa matematicamente, otteniamo la seguente formula: <\/p>\n

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\"Calcolare<\/figure>\n<\/div>\n

Ecco alcuni esempi, cos\u00ec puoi provare a risolverli da solo: <\/p>\n

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\"Esercizi<\/figure>\n<\/div>\n
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Il procedimento \u00e8 molto semplice, perch\u00e9 basta applicare le formule che abbiamo commentato sopra ed il risultato \u00e8 gi\u00e0 uscito. <\/p>\n

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\"poteri<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n
mostrare la soluzione<\/div>\n
Mostra meno<\/div>\n<\/div>\n

Potenze dei numeri complessi in forma binomiale<\/span><\/h2>\n

Quando invece vogliamo risolvere potenze complesse in forma binomiale<\/strong> possiamo utilizzare due metodi diversi. La prima si occupa di risolvere la potenza in modo \u201calgebrico\u201d (risolvendo come se fossi una variabile). E il secondo sistema consiste nel convertire la forma binomiale in polare e quindi seguire la procedura precedente.<\/p>\n

Se non sai come passare dalla forma binomiale a quella polare, te lo spieghiamo molto chiaramente nel nostro articolo sui numeri complessi<\/a> . Anche se ora lo vedremo rapidamente con un esempio.<\/p>\n

Prova a risolvere la seguente potenza complessa: (2 + 3i) 2<\/sup> .<\/strong> <\/p>\n

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Per prima cosa vedremo come si risolve l\u2019operazione con il \u201cmetodo algebrico\u201d.<\/p>\n

In questo caso specifico possiamo applicare un prodotto notevole<\/a> : (a + b) 2<\/sup> = a 2<\/sup> + 2ab + b 2<\/sup> .<\/p>\n

(2 + 3i) 2<\/sup><\/strong> = 2 2<\/sup> + 2 2 3i + 3i 2<\/sup><\/p>\n

Quindi operiamo e semplifichiamo.<\/p>\n

= 4 \u2013 9 + 12i = -5 + 12i<\/p>\n

In secondo luogo, possiamo utilizzare il secondo metodo. Iniziamo quindi esprimendo il numero in forma polare: <\/p>\n

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\"Conversione<\/figure>\n<\/div>\n

Quindi operiamo secondo le formule che abbiamo commentato all’inizio. <\/p>\n

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\"potere<\/figure>\n<\/div>\n

E alla fine otteniamo lo stesso risultato, solo in forma polare. Se non pensi che sia lo stesso numero, puoi provare a convertirlo tu stesso. Naturalmente bisogna tenere presente che l’argomento del risultato in forma binomiale che abbiamo ottenuto si trova nel secondo quadrante<\/strong> . Dobbiamo quindi aggiungere \u03c0 all’angolo.<\/p>\n<\/div>\n

mostrare la soluzione<\/div>\n
Mostra meno<\/div>\n<\/div>\n

Potenze dei numeri complessi in forma trigonometrica<\/span><\/h2>\n

Infine, quando vogliamo risolvere potenze complesse in forma trigonometrica<\/strong> , dobbiamo utilizzare la nota formula di de Moivre. Che \u00e8 scritto cos\u00ec: <\/p>\n

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\"La<\/figure>\n<\/div>\n

Conoscendo questa formula, prova a risolvere i seguenti esercizi: <\/p>\n

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\"Esercizio<\/figure>\n<\/div>\n
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Tutto quello che devi fare \u00e8 applicare la formula di de Moivre e potrai risolvere tutti gli esercizi. <\/p>\n

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\"Potenze<\/figure>\n<\/div>\n

Tuttavia, l’ultimo caso \u00e8 leggermente diverso, perch\u00e9 ha angoli numerici, invece di una variabile. <\/p>\n

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\"Calcolare<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n
mostrare la soluzione<\/div>\n
Mostra meno<\/div>\n<\/div>\n

Ulteriori informazioni sui poteri complessi<\/span><\/h2>\n