{"id":179,"date":"2023-07-15T15:42:05","date_gmt":"2023-07-15T15:42:05","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/numeri-complessi\/"},"modified":"2023-07-15T15:42:05","modified_gmt":"2023-07-15T15:42:05","slug":"numeri-complessi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/numeri-complessi\/","title":{"rendered":"Numeri complessi"},"content":{"rendered":"

Probabilmente hai sentito parlare di numeri complessi<\/strong> . Sono forse l\u2019insieme di numeri pi\u00f9 difficile da gestire, perch\u00e9 combinano numeri reali e immaginari. La sua unificazione rende possibile studiare comportamenti numerici che non possono essere trattati utilizzando tutti i numeri reali.<\/p>\n

Cosa sono i numeri complessi?<\/span><\/h2>\n

I numeri complessi sono la combinazione di un numero reale<\/a> e di un numero immaginario<\/a> . Ad esempio, 4 + 5i<\/strong> \u00e8 un numero complesso che ha una parte reale pari a 4 e una parte immaginaria pari a 5i. In generale possiamo esprimerli con la seguente formula: <\/p>\n

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\"Numeri<\/figure>\n<\/div>\n

Dove Re(z) = a e Im(z) = b<\/p>\n

Come abbiamo detto bene, i complessi sono l’ insieme pi\u00f9 grande o insieme globale<\/strong> , che comprende sia numeri reali che numeri immaginari. Successivamente, ti mostriamo un piccolo diagramma della struttura gerarchica di tutti gli insiemi: <\/p>\n

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\"insiemi<\/figure>\n<\/div>\n

Pertanto, quando abbiamo una combinazione di un numero reale e di un numero immaginario, abbiamo un numero complesso. Ma ci sono momenti in cui una delle due parti \u00e8 uguale a zero. Cosa succede in questi casi?<\/strong> Bene, abbiamo ancora a che fare con i complessi, perch\u00e9 l’insieme complesso comprende tutti gli altri insiemi numerici. Ma entriamo in una sottocategoria diversa: <\/p>\n

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numero complesso<\/strong><\/td>\n festa reale<\/strong><\/td>\n parte dell’immaginazione<\/strong><\/td>\n Sottocategoria<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
2+5i<\/td>\n 2<\/td>\n 5i<\/td>\n Complesso<\/td>\n<\/tr>\n
4<\/td>\n 4<\/td>\n 0<\/td>\n puro reale<\/td>\n<\/tr>\n
3i<\/td>\n 0<\/td>\n 3i<\/td>\n Pura immaginazione<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<\/div>\n

Quando abbiamo un reale puro, poich\u00e9 il valore immaginario b \u00e8 uguale a zero, il numero complesso rimanente \u00e8 equivalente a:<\/p>\n

z = un + 0i = un<\/p>\n

Quando invece abbiamo pura immaginazione, a \u00e8 uguale a zero e, di conseguenza, il numero complesso rimane il seguente:<\/p>\n

z = 0 + bi = bi<\/p>\n

Rappresentazione grafica dei numeri complessi<\/span><\/h2>\n

Per rappresentare i numeri complessi utilizziamo il piano complesso<\/a> . Che \u00e8 composta da due linee<\/strong> : la linea reale e la linea immaginaria. Queste due linee numeriche servono per localizzare graficamente i numeri in ogni serie e se le mettiamo insieme, otteniamo uno schema, come ad esempio: <\/p>\n

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\"piano<\/figure>\n<\/div>\n

L’asse X \u00e8 chiamato asse reale perch\u00e9 \u00e8 l\u00ec che si trovano i valori delle parti reali. Mentre l’asse Y \u00e8 chiamato asse immaginario, \u00e8 qui che vengono scritti i valori immaginari. Vediamo un esempio, posizioneremo il numero 3+2i<\/strong> nel piano complesso. <\/p>\n

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\"Rappresentazione<\/figure>\n<\/div>\n

Come hai visto nell’immagine, abbiamo individuato il numero utilizzando i numeri 3 e 2 come coordinate, ciascuno per un asse. Se vuoi saperne di pi\u00f9 sulla rappresentazione dei numeri complessi, ti consigliamo di leggere questo articolo.<\/p>\n

Quali sono i tipi di numeri complessi?<\/span><\/h2>\n

Ora vedremo i modi a nostra disposizione per esprimere un numero complesso. Finora abbiamo visto solo la forma base (chiamata forma binomiale), che si scrive come somma: parte reale pi\u00f9 parte immaginaria.<\/p>\n

Ma in realt\u00e0 abbiamo tre forme: la binomiale, la polare e la trigonometrica<\/strong> . Ogni tipo di espressione ha le sue propriet\u00e0 e viene utilizzata in una situazione o nell’altra. Quindi li spiegheremo tutti e mostreremo come passare dall’uno all’altro.<\/p>\n

1. Forma binomiale<\/h3>\n

I numeri complessi in forma binomiale<\/strong> si scrivono come la somma della parte reale e della parte immaginaria: a + bi. Ad esempio, il numero 6 + i \u00e8 un complesso espresso in notazione binomiale. In questo caso la formula \u00e8 sempre la stessa: <\/p>\n

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\"formula<\/figure>\n<\/div>\n

Pertanto, per esprimere un numero complesso in forma binomiale, \u00e8 sufficiente conoscere il suo valore reale e il suo valore immaginario.<\/p>\n

Ad esempio, il valore 3 + 2i<\/strong> \u00e8 in forma binomiale e, come abbiamo visto in precedenza, \u00e8 rappresentato cos\u00ec: <\/p>\n

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\"Rappresentazione<\/figure>\n<\/div>\n

La forma binomiale viene utilizzata principalmente per risolvere addizioni e sottrazioni di numeri complessi.<\/p>\n

2. Forma polare<\/h3>\n

Per esprimere i numeri complessi in forma polare<\/strong> , dobbiamo calcolare il loro modulo |z| e la sua argomentazione. La forma polare viene utilizzata principalmente quando dobbiamo risolvere la moltiplicazione e la divisione di numeri complessi.<\/p>\n

Per calcolare il modulo<\/strong> del numero complesso, basta fare il modulo di a e b, come spiegato nella seguente formula: <\/p>\n

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\"Modulo<\/figure>\n<\/div>\n

E per calcolare l’argomento<\/strong> o l’angolo di z, dobbiamo calcolare l’arcotangente di b tra a: <\/p>\n

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\"Argomento<\/figure>\n<\/div>\n

\u00c8 importante notare che per determinare esattamente il valore dell’angolo \u03b1 \u00e8 necessario individuare in quale quadrante esso si trova. Infatti, la funzione arcotangente calcola solo gli angoli compresi tra \u03c0\/2 e -\u03c0\/2. Per specificare in quale quadrante si trova il numero complesso, dobbiamo guardare i valori a e b (se sono positivi o negativi): <\/p>\n

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\"Quadranti<\/figure>\n<\/div>\n

Una volta che sappiamo in quale quadrante rientra il nostro numero, dobbiamo seguire alcune regole:<\/p>\n