{"id":17,"date":"2023-09-17T11:11:04","date_gmt":"2023-09-17T11:11:04","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/operazioni-con-funzioni-sommano-la-divisione-del-prodotto-per-sottrazione\/"},"modified":"2023-09-17T11:11:04","modified_gmt":"2023-09-17T11:11:04","slug":"operazioni-con-funzioni-sommano-la-divisione-del-prodotto-per-sottrazione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/operazioni-con-funzioni-sommano-la-divisione-del-prodotto-per-sottrazione\/","title":{"rendered":"Operazioni con funzioni: addizione, sottrazione, prodotto, divisione e composizione"},"content":{"rendered":"

In questo articolo spieghiamo quali operazioni si possono eseguire con le funzioni. Potrai vedere la spiegazione e gli esercizi risolti sulle operazioni con funzioni. E infine troverai le propriet\u00e0 delle operazioni con le funzioni. <\/p>\n

<\/span> Cosa sono le operazioni con funzioni?<\/span><\/h2>\n

Puoi eseguire 5 diversi tipi di operazioni con funzioni: addizione, sottrazione, prodotto, divisione e composizione.<\/strong> Cio\u00e8 due funzioni possono essere sommate, sottratte, moltiplicate, divise o composte.<\/p>\n

Successivamente vedremo come viene eseguita ogni tipologia di operazione con le funzioni e le caratteristiche di ciascuna di esse.<\/p>\n

<\/span> Somma di funzioni<\/span><\/h3>\n

Il valore della somma (o aggiunta) di due funzioni<\/strong> \u00e8 uguale alla somma del valore di ciascuna funzione. In altre parole, per calcolare l’immagine di una funzione somma \u00e8 sufficiente sommare le immagini delle funzioni coinvolte nell’operazione.<\/p>\n<\/p>\n

\"(f+g)(x)=f(x)+g(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Inoltre, il dominio della somma di due funzioni \u00e8 l’intersezione del dominio di ciascuna funzione sommata.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f+g)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)\"<\/p>\n<\/p>\n

Vediamo come vengono aggiunte due funzioni utilizzando un esempio:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=x^2+1<\/p>\n<\/p>\n

Aggiungiamo prima le due funzioni:<\/p>\n<\/p>\n

\"(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+1+\\log(x-1)\"<\/p>\n<\/p>\n

E ora troviamo il dominio della funzione somma. Per fare ci\u00f2, calcoliamo separatamente il dominio di ciascuna funzione:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f)=\\mathbb{R}\\qquad\\text{Dom}(g)=(1,+\\infty)\"<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> come calcolare il dominio di una funzione<\/a><\/span><\/p>\n

Quindi il dominio della funzione risultante dall\u2019operazione sar\u00e0:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f+g)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)=(1,+\\infty)\"<\/p>\n<\/p>\n

Ogni operazione con funzioni deve essere accompagnata dal suo dominio per definire completamente il risultato.<\/p>\n

<\/span> Sottrazione di funzioni<\/span><\/h3>\n

L’immagine della sottrazione (o differenza) di due funzioni<\/strong> \u00e8 la sottrazione delle immagini di ciascuna funzione partecipante all’operazione:<\/p>\n<\/p>\n

\"(f-g)(x)=f(x)-g(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Come per la funzione di addizione, il dominio di sottrazione di due funzioni equivale all’intersezione del dominio di ciascuna funzione.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f-g)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)\"<\/p>\n<\/p>\n

Quindi, se una funzione non \u00e8 definita per un certo valore della variabile indipendente x, non sar\u00e0 definita neanche la funzione risultante dalla sottrazione.<\/p>\n

Vediamo come si sottraggono due funzioni attraverso un esempio:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt{x}\\qquad<\/p>\n<\/p>\n

Per prima cosa sottraiamo le due funzioni:<\/p>\n<\/p>\n

\"(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\\sqrt{x}-\\cfrac{3}{x-4}\"<\/p>\n<\/p>\n

E poi determiniamo il dominio della funzione di sottrazione: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f)=[0,+\\infty)\\qquad\\text{Dom}(g)=\\mathbb{R}-\\{4\\}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f-g)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)=[0,4)\\cup<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Prodotto di punta<\/span><\/h3>\n

Per calcolare il prodotto o (la moltiplicazione) di due funzioni<\/strong> , devi semplicemente moltiplicare le espressioni di ciascuna funzione.<\/p>\n<\/p>\n

\"(f\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

D’altra parte, il dominio della funzione prodotto \u00e8 l’insieme delle intersezioni del dominio di ciascuna funzione moltiplicata.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

Ad esempio, se abbiamo le seguenti due funzioni:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt[3]{x^2-1}\\qquad<\/p>\n<\/p>\n

Per prima cosa eseguiamo il funzionamento del prodotto con le due funzioni:<\/p>\n<\/p>\n

\"(f\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

E infine troviamo il dominio della funzione risultante dall’operazione: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f)=\\mathbb{R}\\qquad\\text{Dom}(g)=\\mathbb{R}-\\{-2\\}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Distribuzione delle funzioni<\/span><\/h3>\n

Il risultato numerico di una divisione (o quoziente) di due funzioni<\/strong> corrisponde alla seguente equazione:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x)=\\frac{f(x)}{g(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Tuttavia il dominio di divisione di due funzioni \u00e8 l’insieme delle intersezioni del dominio di ciascuna funzione meno tutte le x che annulla la funzione che funge da divisore, perch\u00e9 altrimenti otterremmo un’indeterminazione.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\text{Dom}\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)-\\{x:g(x)=0\\}\"<\/p>\n<\/p>\n

Ad esempio, divideremo le seguenti funzioni:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=5^x<\/p>\n<\/p>\n

La distribuzione delle funzioni \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x)=\\frac{f(x)}{g(x)}=\\cfrac{5^x}{x-3}\"<\/p>\n<\/p>\n

D’altra parte, il dominio di ciascuna funzione separatamente \u00e8 costituito da tutti i numeri reali<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f)=\\mathbb{R}\\qquad\\text{Dom}(g)=\\mathbb{R}\"<\/p>\n<\/p>\n

Tuttavia, poich\u00e9 non pu\u00f2 esserci uno zero al denominatore di una frazione, nel dominio della funzione risultante dobbiamo rimuovere tutti i valori che annullano il denominatore (x=3). <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\text{Dom}\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)-\\{x:g(x)=0\\}=\\mathbb{R}-\\{3\\}\"<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Composizione delle funzioni<\/span><\/h3>\n

La composizione delle funzioni \u00e8 l’operazione pi\u00f9 difficile da risolvere, perch\u00e9 \u00e8 il concetto pi\u00f9 complicato.<\/p>\n

La composizione della funzione<\/strong> consiste nell’applicazione successiva di due funzioni. Algebricamente, la composizione di due funzioni \u00e8 espressa come segue:<\/p>\n<\/p>\n

\"(g\\circ<\/p>\n<\/p>\n

D’altra parte, il dominio della composizione delle funzioni<\/p>\n<\/p>\n

\"(g\\circ<\/p>\n

\u00e8 equivalente all’insieme di tutti i valori di x nel dominio della funzione<\/p>\n

\"f\"<\/p>\n

ad esempio<\/p>\n

\"f(x)\"<\/p>\n

appartiene al dominio della funzione<\/p>\n

\"g.\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(g\\circ<\/p>\n<\/p>\n

Ad esempio, date le seguenti due funzioni:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=x^2+1<\/p>\n<\/p>\n

Trovare la funzione composta<\/p>\n<\/p>\n

\"f\"<\/p>\n

seguito da<\/p>\n

\"g\"<\/p>\n

dobbiamo sostituire l’espressione di<\/p>\n

\"f(x)\"<\/p>\n

dove ce n’\u00e8 uno<\/p>\n

\"x\"<\/p>\n

nell’espressione di<\/p>\n

\"g(x):\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}(g\\circ<\/p>\n<\/p>\n

In questo caso, il dominio di entrambe le funzioni \u00e8 costituito interamente da numeri reali, quindi anche il dominio della funzione composta sar\u00e0 costituito da numeri reali.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(g\\circ<\/p>\n<\/p>\n

Come puoi vedere, comporre funzioni non \u00e8 un’operazione semplice da comprendere. Pertanto, ti consigliamo di esercitarti con i seguenti esercizi di composizione di funzioni:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Vedi:<\/strong> esercizi risolti sulla composizione delle funzioni<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Propriet\u00e0 delle operazioni con funzioni<\/span><\/h2>\n

Di tutte le operazioni con funzioni, la somma e il prodotto sono caratterizzati dalle seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n