{"id":164,"date":"2023-07-15T22:44:08","date_gmt":"2023-07-15T22:44:08","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/"},"modified":"2023-07-15T22:44:08","modified_gmt":"2023-07-15T22:44:08","slug":"quaternioni","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/","title":{"rendered":"Cosa sono i quaternioni?"},"content":{"rendered":"

Etimologicamente quaternioni o quaternioni<\/strong> deriva dal latino quaterni<\/em> . In spagnolo la parola si traduce \u201cper quattro\u201d. Tuttavia, la sua interpretazione significa \u201cnumero di quattro elementi\u201d.<\/p>\n

I quaternioni sono elementi di un campo non permutante inizialmente creato da William Rowan Hamilton. I quaternioni sono definiti come l’estensione dei numeri reali che compongono un numero ipercomplesso. In effetti, sono abbastanza simili ai numeri complessi<\/a> .<\/p>\n

Cio\u00e8, i quaternioni si verificano a causa dell’amplificazione causata analogicamente. D’altra parte, i numeri complessi sono prodotti come estensione dei numeri reali mediante la somma dell’unit\u00e0 immaginaria i<\/em> , quindi i<\/em> al quadrato \u00e8 uguale a -1. Nel primo caso, le unit\u00e0 immaginarie<\/strong> k<\/em> , i<\/em> e j<\/em> vengono aggiunte ai numeri reali.<\/p>\n

Pertanto, rispetto ai quaternioni, abbiamo che: i<\/em> 2<\/sup> = j<\/em> 2<\/sup> = k<\/em> 2<\/sup> = ijk<\/em> = -1. Questa rappresentazione corrisponde a quelle sistemate nella tabella di Cayley<\/strong> . A questo punto vale la pena ricordare che i<\/em> , j<\/em> , k<\/em> e 1 sono i quattro pilastri fondamentali dei quaternioni. <\/p>\n

\n\n\n\n\n\n\n\n
\u00d7<\/td>\n 1<\/td>\n Ehi<\/em><\/td>\n J<\/em><\/td>\n Che cosa<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
1<\/td>\n 1<\/td>\n Ehi<\/em><\/td>\n J<\/em><\/td>\n Che cosa<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
Ehi<\/em><\/td>\n Ehi<\/em><\/td>\n -1<\/td>\n Che cosa<\/em><\/td>\n -J<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
J<\/em><\/td>\n J<\/em><\/td>\n -K<\/em><\/td>\n -1<\/td>\n Ehi<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
Che cosa<\/em><\/td>\n Che cosa<\/em><\/td>\n J<\/em><\/td>\n -Ehi<\/em><\/td>\n -1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>
Il tavolo di Cayley<\/figcaption><\/figure>\n

William Hamilton invent\u00f2 i quaternioni nel 1843 come metodo che gli permetteva di moltiplicare e dividere i vettori, ruotarli e allungarli.<\/p>\n

Come sono fatti i quaternioni?<\/span><\/h2>\n

I quaternioni formano una bellissima algebra in cui ciascuno dei suoi oggetti contiene 4 variabili<\/strong> . Infatti, a volte vengono chiamati parametri di Eulero e non devono essere confusi con gli angoli di Eulero. Questi oggetti possono essere sommati e moltiplicati come una singola unit\u00e0 in modo simile all’algebra dei numeri regolari.<\/p>\n

Tuttavia, c\u2019\u00e8 una differenza. In termini matematici, la moltiplicazione dei quaternioni non \u00e8 commutativa.<\/p>\n

I quaternioni hanno 4 dimensioni. Ogni quaternione \u00e8 composto da 4 numeri scalari<\/strong> , una dimensione reale e 3 dimensioni immaginarie. Ognuna di queste dimensioni immaginarie ha un valore unitario della radice quadrata di -1. Si tratta per\u00f2 di diverse radici quadrate di -1, tutte perpendicolari tra loro, chiamate i<\/em> , j<\/em> e k<\/em> . Pertanto, un quaternione pu\u00f2 essere rappresentato come segue:<\/p>\n

x = (a, b, c, d) che si scrive x = a + bi + cj + dk<\/p>\n

Di conseguenza, a, b, c e d rappresentano numeri reali definiti inequivocabilmente da ciascun quaternione. D’altra parte, i numeri 1, i<\/em> , j<\/em> e k<\/em> sono fondamentali. Se vogliamo rappresentare i quaternioni<\/strong> utilizzando un insieme, possiamo fare quanto segue: Assumendo che IR 4<\/sup> rappresenti l’insieme, l’espressione \u00e8: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d \u2208 IR}<\/p>\n

Questo set \u00e8 coerente con lo spazio quadridimensionale reale. Proprio come un insieme di numeri reali corrisponde allo spazio esistente in una dimensione e l’insieme di numeri complessi corrisponde allo spazio in due dimensioni.<\/p>\n

Qual \u00e8 la struttura algebrica dei quaternioni?<\/span><\/h2>\n

Un quaternione illustra un corpo irregolare<\/strong> . Ci\u00f2 significa che \u00e8 una struttura algebrica simile a un campo. Tuttavia, non \u00e8 commutativo nella moltiplicazione. In altre parole, soddisfa tutte le qualit\u00e0 di un corpo, ma il suo risultato non \u00e8 commutativo.<\/p>\n

La moltiplicazione dei quaternioni \u00e8 associativa. Inoltre, ogni quaternione diverso da zero ha un inverso unico<\/strong> . I quaternioni non costituiscono un’algebra associativa rispetto ai numeri complessi.<\/p>\n

Infine, allo stesso modo in cui i numeri complessi e i numeri reali rappresentano le dimensioni vettoriali euclidee degli spazi unitari o doppi, quindi, i quaternioni creano un’area vettoriale euclidea quadridimensionale.<\/p>\n

Come vengono rappresentati i quaternioni nelle matrici?<\/span><\/h2>\n

Anche le rappresentazioni di matrici<\/strong> sono caratteristiche dei quaternioni. In questo caso, per la sua espressione vengono applicate matrici matematiche. Ad esempio, se abbiamo il quaternione p = a + bi + cj + dk \u00e8 possibile rappresentarlo in una matrice complessa 2 x 2 come segue:<\/p>\n

Un altro modo per utilizzare le rappresentazioni di matrici nei quaternioni \u00e8 utilizzare matrici reali 4 x 4<\/strong> . Inoltre, utilizzando le matrici per rappresentare i quaternioni, \u00e8 possibile esprimerli come prodotto interno di due vettori. Pertanto, un componente sarebbe: = (a1, a2, a3, a4) e l’altro {1, i, j, k<\/em> }.<\/p>\n

In questo caso l’elemento a 1<\/sub> che genera la componente reale viene scritto separatamente. Inoltre per il prodotto scalare si prendono in considerazione solo le tre basi<\/strong> i, j, k<\/em> :<\/p>\n

x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)<\/p>\n

Quali operazioni di base si possono fare con i quaternioni?<\/span><\/h2>\n

Per sommare ed ottenere un prodotto tra un quaternione e l’altro si applica l’aritmetica dei numeri complessi. Funziona come nel caso del precedente set IR 4<\/sup><\/strong> . Vale a dire che detto insieme pi\u00f9 il resto delle operazioni compensa tutte le qualit\u00e0 di un corpo. L’unica rilevanza in questo caso \u00e8 che il prodotto non commuta.<\/p>\n

In caso di aggiunta, viene effettuata termine per termine. In ogni caso, funziona allo stesso modo dei numeri complessi. Questo \u00e8 da dire:<\/p>\n

(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.<\/p>\n

Per il prodotto si applica da componente a componente<\/strong> . In base a ci\u00f2, appare cos\u00ec:<\/p>\n

ab = (a1b1 \u2013 a2b2 \u2013 a3b3 \u2013 a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 \u2013 a4b3)i + (a1b3 \u2013 a2b4 + a3b1 \u2013 a4b2)j + (a1b4 + a2b3 \u2013 a3b2 + a4b3)k<\/p>\n

Come abbiamo gi\u00e0 sottolineato in precedenza, il prodotto dei quaternioni non \u00e8 mai commutativo. Al contrario, \u00e8 sempre associativo<\/strong> . Le operazioni elaborate in precedenza possono essere effettuate sostituendo le rappresentazioni.<\/p>\n

Quali sono le applicazioni dei quaternioni?<\/span><\/h2>\n

Un quaternione va ben oltre un’indagine matematica. Attualmente hanno varie applicazioni. Innanzitutto, vengono utilizzati per verificare le risposte nella teoria dei numeri<\/strong> . Un esempio di ci\u00f2 \u00e8 il teorema di Lagrange che afferma che qualsiasi numero naturale \u00e8 espresso come la somma di 4 quadrati perfetti.<\/p>\n

D’altra parte, ha applicazioni nel campo della fisica. I quaternioni sono molto utili per la meccanica quantistica, l’elettromagnetismo e molto altro.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Etimologicamente quaternioni o quaternioni deriva dal latino quaterni . In spagnolo la parola si traduce \u201cper quattro\u201d. Tuttavia, la sua interpretazione significa \u201cnumero di quattro elementi\u201d. I quaternioni sono elementi di un campo non permutante inizialmente creato da William Rowan Hamilton. I quaternioni sono definiti come l’estensione dei numeri reali che compongono un numero ipercomplesso. …<\/p>\n

Cosa sono i quaternioni?<\/span> Leggi altro »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[9],"tags":[],"class_list":["post-164","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-spiegazioni-matematiche"],"yoast_head":"\nCosa sono i quaternioni? -Matoriet\u00e0<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"it_IT\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Cosa sono i quaternioni? -Matoriet\u00e0\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Etimologicamente quaternioni o quaternioni deriva dal latino quaterni . In spagnolo la parola si traduce \u201cper quattro\u201d. Tuttavia, la sua interpretazione significa \u201cnumero di quattro elementi\u201d. I quaternioni sono elementi di un campo non permutante inizialmente creato da William Rowan Hamilton. I quaternioni sono definiti come l’estensione dei numeri reali che compongono un numero ipercomplesso. … Cosa sono i quaternioni? Leggi altro »\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-15T22:44:08+00:00\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Squadra di Mathority\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Scritto da\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Squadra di Mathority\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Tempo di lettura stimato\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"5 minuti\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/\"},\"author\":{\"name\":\"Squadra di Mathority\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/#\/schema\/person\/8d6f69ffbe48aea8b43675a9a3ddb9c8\"},\"headline\":\"Cosa sono i quaternioni?\",\"datePublished\":\"2023-07-15T22:44:08+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-15T22:44:08+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/\"},\"wordCount\":933,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/#organization\"},\"articleSection\":[\"Spiegazioni matematiche\"],\"inLanguage\":\"it-IT\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/\",\"name\":\"Cosa sono i quaternioni? -Matoriet\u00e0\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-15T22:44:08+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-15T22:44:08+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"it-IT\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Cosa sono i quaternioni?\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/\",\"name\":\"Mathority\",\"description\":\"Dove la curiosit\u00e0 incontra il calcolo!\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"it-IT\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/#organization\",\"name\":\"Mathority\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"it-IT\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/mathority-logo.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/mathority-logo.png\",\"width\":703,\"height\":151,\"caption\":\"Mathority\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/#\/schema\/logo\/image\/\"}},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/#\/schema\/person\/8d6f69ffbe48aea8b43675a9a3ddb9c8\",\"name\":\"Squadra di Mathority\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"it-IT\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/it\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Squadra di Mathority\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/it\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Cosa sono i quaternioni? -Matoriet\u00e0","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/","og_locale":"it_IT","og_type":"article","og_title":"Cosa sono i quaternioni? -Matoriet\u00e0","og_description":"Etimologicamente quaternioni o quaternioni deriva dal latino quaterni . In spagnolo la parola si traduce \u201cper quattro\u201d. Tuttavia, la sua interpretazione significa \u201cnumero di quattro elementi\u201d. I quaternioni sono elementi di un campo non permutante inizialmente creato da William Rowan Hamilton. I quaternioni sono definiti come l’estensione dei numeri reali che compongono un numero ipercomplesso. … Cosa sono i quaternioni? Leggi altro »","og_url":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/","article_published_time":"2023-07-15T22:44:08+00:00","author":"Squadra di Mathority","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Scritto da":"Squadra di Mathority","Tempo di lettura stimato":"5 minuti"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/"},"author":{"name":"Squadra di Mathority","@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/#\/schema\/person\/8d6f69ffbe48aea8b43675a9a3ddb9c8"},"headline":"Cosa sono i quaternioni?","datePublished":"2023-07-15T22:44:08+00:00","dateModified":"2023-07-15T22:44:08+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/"},"wordCount":933,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/#organization"},"articleSection":["Spiegazioni matematiche"],"inLanguage":"it-IT","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/","url":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/","name":"Cosa sono i quaternioni? -Matoriet\u00e0","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/#website"},"datePublished":"2023-07-15T22:44:08+00:00","dateModified":"2023-07-15T22:44:08+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/#breadcrumb"},"inLanguage":"it-IT","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/quaternioni\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/it\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Cosa sono i quaternioni?"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/it\/","name":"Mathority","description":"Dove la curiosit\u00e0 incontra il calcolo!","publisher":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/it\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"it-IT"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/#organization","name":"Mathority","url":"https:\/\/mathority.org\/it\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"it-IT","@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/mathority-logo.png","contentUrl":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/mathority-logo.png","width":703,"height":151,"caption":"Mathority"},"image":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/#\/schema\/logo\/image\/"}},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/#\/schema\/person\/8d6f69ffbe48aea8b43675a9a3ddb9c8","name":"Squadra di Mathority","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"it-IT","@id":"https:\/\/mathority.org\/it\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Squadra di Mathority"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/it"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/164","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=164"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/164\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=164"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=164"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/it\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=164"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}