{"id":16,"date":"2023-09-17T11:11:42","date_gmt":"2023-09-17T11:11:42","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/divisione-dei-monomi-divisione-esempi-ed-esercizi-risolti-1\/"},"modified":"2023-09-17T11:11:42","modified_gmt":"2023-09-17T11:11:42","slug":"divisione-dei-monomi-divisione-esempi-ed-esercizi-risolti-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/divisione-dei-monomi-divisione-esempi-ed-esercizi-risolti-1\/","title":{"rendered":"Trasformazioni di funzioni: traslazioni, simmetria, espansione e compressione"},"content":{"rendered":"<p>Questa pagina spiega cosa sono le trasformazioni di funzioni e come trovarle. Esistono tre tipi di trasformazioni: traslazioni (o spostamenti), simmetrie ed espansioni (o contrazioni). Troverai anche esercizi risolti passo dopo passo cos\u00ec potrai esercitarti e comprendere i concetti senza lasciare dubbi. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-son-las-transformaciones-de-funciones\"><\/span> Cosa sono le trasformazioni di funzioni?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> A volte ci pu\u00f2 essere chiesto di rappresentare graficamente funzioni elementari molto simili ad altre che gi\u00e0 conosciamo. Ebbene, invece di rappresentare nuovamente la funzione simile, \u00e8 possibile utilizzare delle tecniche per passare dalla rappresentazione di una funzione a un&#8217;altra in modo semplice e rapido.<\/p>\n<p> <strong>Le trasformazioni di funzioni<\/strong> sono quindi tecniche che permettono di passare dalla rappresentazione grafica di una funzione alla rappresentazione grafica di un&#8217;altra funzione molto simile attraverso operazioni elementari.<\/p>\n<p> Fondamentalmente esistono tre tipi di trasformazioni di funzioni elementari:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Traslazioni o movimenti<\/strong> : una funzione pu\u00f2 essere spostata verticalmente e orizzontalmente.<\/li>\n<li> <strong>Riflessioni o simmetrie<\/strong> : una funzione pu\u00f2 essere riflessa utilizzando l&#8217;asse X o l&#8217;asse Y come asse di simmetria.<\/li>\n<li> <strong>Espansioni e compressioni<\/strong> : una funzione pu\u00f2 essere ingrandita o ridotta.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Una volta compreso il concetto di trasformazione di una funzione, approfondiremo ogni tipo di modifica. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"traslaciones-o-desplazamientos-de-funciones\"><\/span> Traslazioni o spostamenti di funzioni<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Inizieremo con i turni di funzione. Ne esistono di due tipi: traslazioni verticali e traslazioni orizzontali.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Traslazione o movimento verticale di una funzione<\/h3>\n<p> Per traslare o spostare una funzione verticalmente (lungo l&#8217;asse Y), \u00e8 necessario aggiungere o sottrarre una costante alla funzione: <\/p>\n<div style=\"padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Spostiamo una funzione <strong>di k unit\u00e0 verso l&#8217;alto<\/strong> aggiungendo ka alla funzione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d148ee17ffaab58b502ee771b74a931a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(x)+k}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Spostiamo una funzione <strong>di k unit\u00e0 verso il basso<\/strong> sottraendo ka dalla funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76021d6fef316019d46a849b31cb7ff5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(x)-k}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/translation-ou-deplacement-vertical-d-une-fonction.webp\" alt=\"Traslazione o movimento verticale di una funzione\" class=\"wp-image-314\" width=\"401\" height=\"334\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere dal grafico, l&#8217;aggiunta di una costante a qualsiasi funzione sposta le unit\u00e0 aggiunte verso l&#8217;alto (funzione verde). Quando invece si sottrae un numero da una funzione, le unit\u00e0 sottratte vengono spostate verso il basso (funzione rossa).<\/p>\n<p> Si noti che in questo tipo di movimenti vengono modificate solo le coordinate Y dei punti funzione, mentre le coordinate X rimangono le stesse.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Traslazione o spostamento orizzontale delle funzioni<\/h3>\n<p> Per traslare o spostare una funzione orizzontalmente (lungo l&#8217;asse X) \u00e8 necessario aggiungere o sottrarre una costante alla variabile indipendente <em>x<\/em> : <\/p>\n<div style=\"padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Il grafico di<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-682fb180cfa4be390cf2d7735ddeb017_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(x+k)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il grafico di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7ee323bc5a3f73ad5e066b13bed5504_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> spostato <strong>k unit\u00e0 a sinistra.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Il grafico di<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7433764880a8f4ab8e11e3f162743b49_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(x-k)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il grafico di<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7ee323bc5a3f73ad5e066b13bed5504_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> spostato <strong>k unit\u00e0 a destra.<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/translation-ou-deplacement-horizontal-d-une-fonction.webp\" alt=\"Traslazione o movimento orizzontale di una funzione\" class=\"wp-image-315\" width=\"504\" height=\"323\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere dal grafico, quando si aggiunge una costante direttamente alla variabile <em>x<\/em> , la funzione sposta le unit\u00e0 aggiunte a sinistra (funzione rossa). D&#8217;altra parte, quando si sottrae un numero dalla variabile <em>x<\/em> , la funzione sposta le unit\u00e0 sottratte verso destra (funzione verde).<\/p>\n<p> Si noti che in questo tipo di movimenti vengono modificate solo le coordinate X dei punti funzione, mentre le coordinate Y continuano con lo stesso valore.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di traslazione o spostamento di una funzione<\/h3>\n<ul>\n<li> Sposta la seguente funzione di 4 unit\u00e0 in alto e di 3 unit\u00e0 a destra:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3421a45cc1c0ad35b18520e81ddc031_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per spostare la funzione verso l&#8217;alto di 4 unit\u00e0, dobbiamo aggiungere 4 unit\u00e0 alla funzione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42f15821de4342f9ad62ca1f3d430a5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) + 4 = x^2 + 4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"137\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E anche per spostare la funzione di 3 unit\u00e0 a destra dobbiamo calcolare<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7b64f7ef5acc0208ecdcbf36a93b216_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . Pertanto, dove c&#8217;\u00e8 a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> noi possiamo<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bde661e1b7bc62c4e804705b7a355ef5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x-3 :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33a30fbf704532ac9887adb3449914a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x-3) = (x-3)^2 + 4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La funzione spostata di 4 unit\u00e0 in alto e di 3 unit\u00e0 a destra \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d2f913b24aecd43b30aca4a2ed58e0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(x) = (x-3)^2 + 4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Di seguito sono rappresentate graficamente la funzione originale e la funzione trasformata in modo da poter vedere la differenza tra loro: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-translation-ou-deplacement-d-une-fonction.webp\" alt=\"esempio di traslazione o movimento di una funzione\" class=\"wp-image-316\" width=\"475\" height=\"374\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Alcuni matematici chiamano spostamento obliquo o traslazione quando entrambi i tipi di movimento si verificano contemporaneamente. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"reflexion-o-simetria-de-una-funcion-respecto-los-ejes-de-coordenadas\"><\/span> Riflessione o simmetria di una funzione rispetto agli assi coordinati<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Possiamo rappresentare la funzione simmetrica rispetto a un qualsiasi asse cartesiano nel modo seguente: <\/p>\n<div style=\"padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Per <strong>riflettere una funzione rispetto all&#8217;asse x,<\/strong> dobbiamo cambiare il segno della funzione, cio\u00e8 dobbiamo calcolare<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8122cbaf79d8273fae34a9c722301ef7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{-f(x)}.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Per <strong>riflettere una funzione rispetto all&#8217;asse y,<\/strong> dobbiamo negare la variabile indipendente <em>x<\/em> , cio\u00e8 dobbiamo calcolare <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4367428d9a78be3de312b14e5205e6e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(-x)}.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/division-de-monomes-1.png\" alt=\"riflessione o simmetria rispetto all'asse X\" class=\"wp-image-317\" width=\"378\" height=\"312\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere nel grafico precedente, moltiplicando una funzione per -1, la invertiamo graficamente (funzione arancione), o in altre parole la specchiamo rispetto all&#8217;asse X. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/reflexion-ou-symetrie-autour-de-laxe-y.webp\" alt=\"riflessione o simmetria attorno all'asse Y\" class=\"wp-image-318\" width=\"378\" height=\"311\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come si pu\u00f2 vedere nel grafico precedente, negando la variabile <em>x<\/em> si specchia la funzione rispetto all&#8217;asse Y (funzione verde chiaro).<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di mirroring di una funzione<\/h3>\n<ul>\n<li> Calcola la funzione simmetrica rispetto all&#8217;asse OX e la funzione simmetrica rispetto all&#8217;asse OY della seguente funzione quadratica:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11c8e8e3276a66729e9719a4398fac1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2-4x+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"147\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per trovare la funzione simmetrica rispetto all&#8217;asse X, dobbiamo fare<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d240a12433577722a9f830dc1dcf0429_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec1ca457c73589ee30ad6641f0d66c10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-f(x)=-\\bigl[x^2-4x+6\\bigr]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6cffd86481d9546a5ce3132cebe8c0d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{-f(x)=-x^2+4x-6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E per trovare la funzione simmetrica rispetto all&#8217;asse Y dobbiamo farlo<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3831e7dbe8df4202b0780cbbb20432a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . Pertanto, sostituiamo dove c&#8217;\u00e8 a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> nella funzione originale dal termine <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9371f1e5d1cef68566c73bc482dfa55c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-x :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"32\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11c8e8e3276a66729e9719a4398fac1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2-4x+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"147\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6481e91f5c0f1de72c88438cb4aefbce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-x)=(-x)^2-4\\cdot (-x)+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"229\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04737d1dbc867b60d68e9c8f38387dc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-x)=x^2-4\\cdot (-x)+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"201\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9bb0ac917663f86bcba5cacc5d3f482_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(-x)=x^2+4x+6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"161\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Di seguito hai rappresentato sia la funzione originale che le funzioni simmetriche trovate: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-fonctions-symetriques-avec-les-axes-x-et-y.webp\" alt=\"esempio di funzioni simmetriche rispetto agli assi xey\" class=\"wp-image-319\" width=\"588\" height=\"557\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"expansiones-y-contracciones-de-las-funciones\"><\/span> Espansioni e contrazioni di funzioni<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Come per le traduzioni, ci sono due tipi di espansioni o contrazioni: verticale e orizzontale.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Espansione e contrazione verticale di una funzione<\/h3>\n<p> Moltiplicando una funzione intera per un coefficiente, possiamo farla espandere o contrarre: <\/p>\n<div style=\"padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Per <strong>espandere (o dilatare) una funzione sull&#8217;asse Y,<\/strong> dobbiamo moltiplicarla per un numero maggiore di 1:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03a53c8010e3a92a216e3db2ceec41fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"kf(x)\\qquad k>1&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;19&#8243; width=&#8221;121&#8243; style=&#8221;vertical-align: -5px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Per <strong>ridurre una funzione sull&#8217;asse Y,<\/strong> dobbiamo moltiplicarla per un numero positivo inferiore a 1:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-189e80beb9f93693ae854541fe86e22b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"kf(x)\\qquad 0<\/div>\n<div class=&quot;wp-block-image&quot;>\n<figure class=&quot;aligncenter size-large is-resized&quot;><img decoding=&quot;async&quot; loading=&quot;lazy&quot; src=&quot;http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/expansion-et-contraction-d-une-fonction.webp&quot; alt=&quot;expansion et contraction verticales d'une fonction&quot; class=&quot;wp-image-320&quot; width=&quot;442&quot; height=&quot;438&quot; srcset=&quot;&quot; sizes=&quot;&quot; data-src=&quot;&quot;><\/figure>\n<\/div>\n<p> Comme vous pouvez le voir dans le graphique pr\u00e9c\u00e9dent, si on multiplie une fonction par un coefficient sup\u00e9rieur \u00e0 1 (fonction verte) on la rend plus grande le long de l&#8217;axe OY, en revanche, si on multiplie une fonction par un coefficient sup\u00e9rieur \u00e0 0 mais plus petit que 1 (fonction rouge), nous le rendons plus petit le long de l&#8217;axe OY.<\/p>\n<h3 class=&quot;wp-block-heading&quot;> Expansion et contraction horizontales d&#8217;une fonction<\/h3>\n<p> Dans ce cas, au lieu de multiplier la fonction enti\u00e8re par un coefficient, pour qu&#8217;une fonction se dilate ou se contracte horizontalement, nous devons multiplier la variable ind\u00e9pendante <em>x<\/em> . <\/p>\n<div style=&quot;padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px;&quot;> Pour <strong>\u00e9tendre (ou dilater) une fonction sur l&#8217;axe X,<\/strong> il faut multiplier tous les <em>x<\/em> par un nombre compris entre 0 et 1 :&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;392&#8243; width=&#8221;2425&#8243; style=&#8221;vertical-align: -4px;&#8221;><\/p>\n<p> f(kx)\\qquad 0<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Per <strong>ridurre una funzione sull&#8217;asse X,<\/strong> dobbiamo moltiplicare tutte le <em>x<\/em> per un numero maggiore di 1: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-172c2c9b2f320ce017a42e21495fc0e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(kx)\\qquad k>1&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;19&#8243; width=&#8221;121&#8243; style=&#8221;vertical-align: -5px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/contraction-horizontale-ou-expansion-d-une-fonction.webp\" alt=\"espansione o contrazione orizzontale di una funzione\" class=\"wp-image-321\" width=\"446\" height=\"413\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere nel grafico precedente, se moltiplichiamo tutte le <em>x<\/em> di una funzione per un coefficiente maggiore di 0 ma minore di 1 (funzione verde) la allarghiamo lungo l&#8217;asse OX, se invece moltiplichiamo una funzione per un coefficiente maggiore di 1 (funzione rossa) la riduciamo lungo l&#8217;asse OX.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esempio di come espandere o comprimere una funzione<\/h3>\n<ul>\n<li> Duplica verticalmente e orizzontalmente la seguente funzione irrazionale:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df182b1121b5047a370b9a0217f223b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt{9-x^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per estendere per due la funzione sull&#8217;asse y, dobbiamo moltiplicare l&#8217;intera funzione per 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f10c9a73b34546e1fb103b07d188c16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2f(x)=2\\sqrt{9-x^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"140\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E per espandere la funzione anche per due sull&#8217;asse x, dobbiamo moltiplicare tutte le <em>x<\/em> della funzione per<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc880ad231c4b13f10b0a4b05da2aed9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{2}:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7955c308d702a9df6603dde57400f31d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f\\left(\\frac{1}{2}x\\right)=2\\sqrt{9-\\left(\\frac{1}{2}x\\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"201\" style=\"vertical-align: -19px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La funzione duplicata sui due assi coordinati \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-891161dec71142b1dc7c87250a039b6e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\bm{f(x) = 2\\sqrt{9-\\left(\\frac{1}{2}x\\right)^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -19px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Di seguito hai rappresentato graficamente la funzione originale e quella trasformata in modo da poter vedere le differenze tra loro: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-comment-developper-et-reduire-une-fonction.webp\" alt=\"esempio di come espandere e comprimere una funzione\" class=\"wp-image-322\" width=\"434\" height=\"395\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Come puoi vedere, la nuova funzionalit\u00e0 (colore viola) \u00e8 due volte pi\u00f9 grande della funzionalit\u00e0 originale (colore blu) sia verticalmente che orizzontalmente, pertanto la funzionalit\u00e0 si \u00e8 espansa. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-transformaciones-de-funciones\"><\/span> Esercizi risolti sulle trasformazioni di funzioni<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 1<\/h3>\n<p> Sposta la seguente funzione di terzo grado verso l&#8217;alto di 5 unit\u00e0: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40118044e198dd521201b4934a2465d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) = 4x^3-9x-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"155\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per spostare la funzione su 5 unit\u00e0, aggiungi 5 alla funzione:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d29d1537293d975f7fbda8871622660f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} f(x) + 5 &amp; = 4x^3-9x-2 + 5 \\\\[2ex] &amp; = 4x^3-9x+3 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"216\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione spostata di 5 unit\u00e0 \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d7c13d80c2d91f99f6a960223c4b904_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(x) = 4x^3-9x+3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 2<\/h3>\n<p> Trova la funzione simmetrica attorno all&#8217;asse Y della seguente funzione quadratica: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b91b7f45206484f6878a73f6891805a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) = 2x^2-3x+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per trovare la funzione simmetrica rispetto all&#8217;asse Y \u00e8 necessario calcolare<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3831e7dbe8df4202b0780cbbb20432a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , cio\u00e8 dobbiamo sostituire<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Per<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6cacb15a7aa187378723791e7a017ae0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> nella funzione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89980b1b6f9a88ffbf9ad6330aa357e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-x) = 2(-x)^2-3\\cdot (-x)+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"238\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-488db09618c47a0ad47b0d2e5d9a219d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-x) = 2x^2+3x+6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione simmetrica rispetto all\u2019asse OY \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ea68e782a0f7a69044cf73162fa23c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(x) = 2x^2+3x+6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 3<\/h3>\n<p> Esegui una compressione orizzontale della seguente funzione a un terzo della sua rappresentazione: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-312a893921ce7ac95eb3d5a4ede6fbeb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) = x^3-4x^2-5x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"195\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per ridurre <em>una<\/em> <em>funzione<\/em> attraverso il <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32f949a88dd584d81674904f2acc7bbe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(3x) = (3x)^3-4(3x)^2-5(3x)+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdb33583bf5172f677c39cee38e5b22a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(3x) = 27x^3-4\\cdot 9 x^2-15x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad5277a59fdcd9e0200b2a0e20f2a8ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(3x) = 27x^3-36 x^2-15x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> La funzione ridotta \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd28fc9dab2beff532a89bd1e056c649_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(x) = 27x^3-36 x^2-15x+1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 4<\/h3>\n<p> Calcola la funzione simmetrica rispetto all&#8217;asse OX della seguente funzione traslata di 4 unit\u00e0 a destra: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb19b7a548b34b8dc54dec33a00d890e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) = 3x^3-x^2+5x+8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"196\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Prima di calcolare la funzione simmetrica dobbiamo prima spostare la funzione di 4 unit\u00e0 verso destra, quindi: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce682e35d129267d2d363e05fd32a40e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x-4) = 3(x-4)^3-(x-4)^2+5(x-4)+8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"359\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f9fc4ca8d47f94f0168180fc84c65c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x-4) = 3(x-4)^3-(x-4)^2+5x-20+8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"354\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26f080aa9528ce8b84e4f3d86cea6863_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x-4) = 3(x-4)^3-(x-4)^2+5x-12\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"323\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E una volta spostata la funzione, calcoliamo la funzione simmetrica rispetto all&#8217;asse X. Per fare ci\u00f2 dobbiamo negare la funzione ottenuta: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62a7ea0e19503ec030dcdaa59c9157eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -f(x) = -\\Bigl[3(x-4)^3-(x-4)^2+5x-12\\Bigr]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"333\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45bad0a6a17349b172cede9f5e0bddd8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-f(x) = -3(x-4)^3+(x-4)^2-5x+12\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"319\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In breve la funzione dopo aver applicato tutte le operazioni elementari \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b7f02414a5ebdaa48088284628d47e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(x) =-3(x-4)^3+(x-4)^2-5x+12}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"306\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 5<\/h3>\n<p> Sposta la seguente funzione di 2 unit\u00e0 a sinistra, quindi espandila verticalmente di un fattore 4: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c33aacf88564e0d25f513ad302b229f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) = x^4-5x^3-x-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Per prima cosa spostiamo la funzione di due unit\u00e0 a sinistra: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-126c5a402b4694c6f828f8afff050bb2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x+2) = (x+2)^4-5(x+2)^3-(x+2)-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbde42766323610c75cf99f1fa119f16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x-4) = (x+2)^4-5(x+2)^3-x-2-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"336\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6805820552c93988723905b4a0ae4f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x-4) = (x+2)^4-5(x+2)^3-x-5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"305\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> E poi espandiamo la funzione lungo l&#8217;asse Y con un fattore 4: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07175c64db9d7e8074852df8944df6c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot f(x) = 4\\cdot \\Bigl[(x+2)^4-5(x+2)^3-x-5\\Bigr]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"332\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-580d477d32f0bfe0890bf4300ea6d7e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) = 4(x+2)^4-20(x+2)^3-4x-20\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"311\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In conclusione, la funzione dopo aver applicato tutte le trasformazioni elementari \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1109677d4c80d5ddd4796c61d491ec43_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{f(x) =4(x+2)^4-20(x+2)^3-4x-20}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"311\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Esercizio 6<\/h3>\n<p> Dalla funzione<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad1214b336820b0d687af311863cb5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> determinare quale delle rappresentazioni sul grafico corrisponde alla funzione <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89346440ae4c39502126b23a77a33d48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x-3 .\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-de-transformations-de-fonctions.webp\" alt=\"esercizi risolti passo passo sulle trasformazioni di funzioni\" class=\"wp-image-323\" width=\"345\" height=\"452\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Funzione<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dd7ee1df01702798c0545a0e677dd7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la funzione<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-983fed5b7a164bfcb0d3e0b5cebfd4c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> spostato di 3 unit\u00e0 verso il basso. Perch\u00e9 sottraendo un numero da una funzione, sposti la funzione verso il basso.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, la rappresentazione di<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dd7ee1df01702798c0545a0e677dd7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> corrisponde alla <strong>linea b)<\/strong> , perch\u00e9 \u00e8 spostata di 3 unit\u00e0 verso il basso rispetto a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b66617657d81f989c6c5d4683e180df7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x .\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Questo pu\u00f2 essere visto guardando l&#8217;asse verticale: quando<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-983fed5b7a164bfcb0d3e0b5cebfd4c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> passa per 0, la linea rossa passa per -3, quindi viene spostata di 3 unit\u00e0 verso il basso.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Esercizio 7<\/h3>\n<p> Dalla funzione<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1bdc795bee6a8b1a1919130f22ed548_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2+2,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> determinare quale parabola \u00e8 la rappresentazione della funzione <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-805285c257f852940155a59881e77197_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=(x-6)^2+2 .\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"155\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/problemes-resolus-de-transformations-de-fonctions.webp\" alt=\"risolto problemi di trasformazione di funzioni\" class=\"wp-image-324\" width=\"586\" height=\"350\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Funzione<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34a59683b5fe280b2ad03b3a77d12552_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=(x-6)^2+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la funzione<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e5bac9d65f6cadab9818bc92de4830f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> spostato di 6 unit\u00e0 a destra. Possiamo verificarlo calcolando <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08c4660cf5137f59fa8264aa436dfdbe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x-6):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e5bac9d65f6cadab9818bc92de4830f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f2572ed3c877df9b660d302e833e334_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x-6)=(x-6)^2+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Pertanto, la rappresentazione di<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34a59683b5fe280b2ad03b3a77d12552_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=(x-6)^2+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> corrisponde alla <strong>parabola c)<\/strong> , perch\u00e9 \u00e8 spostata di 6 unit\u00e0 a destra rispetto a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e5bac9d65f6cadab9818bc92de4830f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Questo pu\u00f2 essere visto guardando i vertici delle parabole: la distanza tra i vertici della parabola<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e5bac9d65f6cadab9818bc92de4830f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ed il vertice della parabola c) \u00e8 di 6 unit\u00e0, quindi quest&#8217;ultima \u00e8 spostata di 6 unit\u00e0 a destra rispetto alla prima.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questa pagina spiega cosa sono le trasformazioni di funzioni e come trovarle. Esistono tre tipi di trasformazioni: traslazioni (o spostamenti), simmetrie ed espansioni (o contrazioni). Troverai anche esercizi risolti passo dopo passo cos\u00ec potrai esercitarti e comprendere i concetti senza lasciare dubbi. Cosa sono le trasformazioni di funzioni? 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&raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[17],"tags":[],"class_list":["post-16","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-rappresentazione-delle-funzioni"],"yoast_head":"<!-- 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