Prima di vedere come si calcolano, ricordiamo quali sono i punti di intersezione di una funzione con gli assi.<\/p>\n
I punti di intersezione o di intersezione degli assi<\/strong> sono i punti in cui la rappresentazione di una funzione interseca gli assi delle coordinate, cio\u00e8 i punti del grafico che si lega sull’asse X e sull’asse l. Asse Y.<\/p>\n Ad esempio, la parabola nel grafico seguente interseca l’asse Y nel punto (0,3) e interseca l’asse X nei punti (-1,0) e (3,0). <\/p>\n La seconda coordinata dei punti di intersezione di una funzione con l’asse X sar\u00e0 sempre 0, quindi: <\/p>\n I punti limite di qualsiasi funzione dell’asse x OX sono nella forma<\/p>\n<\/p>\n , e pu\u00f2 essere calcolato risolvendo la seguente equazione:<\/p>\n<\/p>\n A volte quando risolviamo questa equazione possiamo ottenere due (o pi\u00f9) soluzioni, ci\u00f2 significa che la funzione interseca l’asse X due (o pi\u00f9) volte. D’altra parte, se l’equazione non ha soluzione, ci\u00f2 implica che la funzione non interseca l’asse X. <\/p>\n La prima coordinata dei punti di intersezione di una funzione con l’asse Y sar\u00e0 sempre 0, quindi: <\/p>\n Il punto limite di qualsiasi funzione con l’asse y OY \u00e8 nella forma<\/p>\n<\/p>\n , e pu\u00f2 essere trovato calcolando l’immagine della funzione in x=0:<\/p>\n<\/p>\n A differenza dei punti di interruzione sull’asse X, pu\u00f2 esserci un solo punto di interruzione sull’asse Y. <\/p>\n Per non avere dubbi, vedremo di seguito un esempio di come trovare i punti di taglio di una funzione con gli assi cartesiani:<\/p>\n Per prima cosa calcoleremo il punto limite della funzione con l’asse x. Il punto di intersezione con l’asse X<\/strong> avr\u00e0 sempre la seconda componente pari a 0, cio\u00e8 sar\u00e0 del tipo<\/p>\n<\/p>\n . Perch\u00e9 f(x) \u00e8 sempre uguale a 0 sull’asse OX. Quindi per trovare l’altra componente del punto dobbiamo risolvere l’equazione <\/p>\n Il punto di intersezione con l’asse X \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n Ora troveremo il punto di intersezione con l’asse y. Il punto di intersezione con l’asse Y<\/strong> avr\u00e0 sempre la prima componente pari a 0, cio\u00e8 il punto sar\u00e0 del tipo<\/p>\n<\/p>\n . Poich\u00e9 la variabile indipendente x<\/em> si annulla sempre sull’asse Y. Quindi per trovare l’altra coordinata del punto dobbiamo calcolare<\/p>\n Il punto di intersezione con l’asse Y \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n Di seguito avete rappresentata graficamente la funzione di esempio, potete vedere che le soglie trovate coincidono con quelle del grafico: <\/p>\n Determinare i punti di taglio con gli assi delle coordinate della seguente funzione: <\/p>\n<\/p>\n Punto di taglio con asse X<\/strong><\/p>\n Per trovare il punto di intersezione della funzione con l’asse X \u00e8 necessario risolvere <\/p>\n<\/p>\n Il punto di intersezione della funzione con l’asse X \u00e8 quindi:<\/p>\n<\/p>\n Punto di taglio con asse Y<\/strong><\/p>\n Per trovare il punto di intersezione con l’asse Y devi calcolare <\/p>\n<\/p>\n Il punto di intersezione della funzione con l’asse Y \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n Trovare i punti di intersezione con gli assi cartesiani della seguente funzione affine: <\/p>\n<\/p>\n Punto di taglio con asse X<\/strong><\/p>\n Per trovare il punto limite della funzione con l’asse OX, dobbiamo porre la funzione uguale a zero e risolvere l’equazione risultante: <\/p>\n<\/p>\n Quindi il punto di intersezione della funzione con l’asse delle ascisse \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n Punto di taglio con asse Y<\/strong><\/p>\n Per trovare il punto di interruzione con l’asse OY, dobbiamo calcolare <\/p>\n<\/p>\n Il punto di intersezione della funzione con l’asse del computer \u00e8 quindi: <\/p>\n<\/p>\n Calcolare i punti limite con gli assi della seguente funzione quadratica: <\/p>\n<\/p>\n Punto di taglio con asse X<\/strong><\/p>\n Per trovare il punto di intersezione della funzione con l’asse X \u00e8 necessario risolvere <\/p>\n<\/p>\n In questo caso, dobbiamo risolvere un’equazione quadratica, quindi applichiamo la formula: <\/p>\n<\/p>\n Abbiamo ottenuto due soluzioni dell’equazione quadratica, quindi la funzione interseca l’asse X in due punti:<\/p>\n<\/p>\n Punto di taglio con asse Y<\/strong><\/p>\n Per determinare invece il punto di intersezione con l’asse Y \u00e8 necessario calcolare <\/p>\n<\/p>\n Pertanto l\u2019unico punto di intersezione della funzione con l\u2019asse Y \u00e8: <\/p>\n<\/p>\n Trovare i punti di intersezione con gli assi del piano cartesiano della seguente funzione razionale: <\/p>\n<\/p>\n Punto di taglio con asse X<\/strong><\/p>\n Per trovare il punto di intersezione della funzione con l’asse X \u00e8 necessario risolvere <\/p>\n<\/p>\n 5 non equivale a 0, quindi l’equazione non ha soluzione e, quindi, non esiste alcun punto di intersezione tra la funzione e l’asse X.<\/p>\n Punto di taglio con asse Y<\/strong><\/p>\n Per trovare il punto di intersezione con l’asse Y devi calcolare <\/p>\n<\/p>\n Qualsiasi numero diviso per zero \u00e8 un’indeterminazione che d\u00e0 infinito. Pertanto, la funzione non si estende oltre l’asse Y in nessun punto.<\/p>\n In breve, la funzione di esercizio non ha punti di intersezione con gli assi<\/strong> , cio\u00e8 il suo grafico non passa n\u00e9 per l’asse X n\u00e9 per l’asse Y in nessun punto.<\/p>\n Calcolare i punti limite con gli assi della seguente funzione di terzo grado: <\/p>\n<\/p>\n Punto di taglio con asse X<\/strong><\/p>\n Per trovare il punto di intersezione della funzione con l’asse X \u00e8 necessario risolvere <\/p>\n<\/p>\n Entrambi i termini dell’equazione hanno una x<\/em> , con la quale possiamo estrarre un fattore comune:<\/p>\n<\/p>\n Affinch\u00e9 l’uguaglianza precedente sia soddisfatta, uno dei fattori deve essere 0. Pertanto, poniamo ciascun fattore uguale a zero per ottenere tutte le soluzioni possibili:<\/p>\n<\/p>\n Abbiamo quindi ottenuto tre soluzioni dell’equazione di terzo grado, quindi la funzione taglia l’asse X in 3 punti:<\/p>\n<\/p>\n Punto di taglio con asse Y<\/strong><\/p>\n Per calcolare il punto di taglio con l’asse Y, \u00e8 necessario calcolare <\/p>\n<\/p>\n Pertanto, l’unico punto di intersezione della funzione con l’asse Y \u00e8 l’origine delle coordinate (0,0):<\/p>\n<\/p>\n Si noti che questo punto lo avevamo gi\u00e0 trovato nel calcolo del punto di taglio con l’asse X, perch\u00e9 la funzione taglia in questo punto con entrambi gli assi contemporaneamente.<\/p>\n![\"Punti](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/points-de-coupe-ou-dintersection-d-une-fonction-avec-les-axes.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Punto di taglio di una funzione con l’asse X<\/span><\/h2>\n
![\"(a,0)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73f7f9618f43f69c0d8a68ff9b47ffef_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"f(x)=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bce6c022ed0fc63f4659af75888f96c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/span> Punto di taglio di una funzione con l’asse Y<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/span> Esempio di calcolo dei punti limite di una funzione con gli assi<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x)=0:\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05bb421b504b7ae4aa483574cd6f28d5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"-2x+4=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2cbefcee2bd8d00196109ec35122749_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"-2x=-4\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9bff5f534f1955d41026f5ef95b12498_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x=\\cfrac{-4}{-2}=2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4053786f809507a3ff38b6a58b876a9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(2,0)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9109f132c97f810054198982440ac8c2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"f(0):\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f92d7beea0ed3a053927c2d429d3450_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(0)=-2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-787bef78715f07326d73529c31be0a11_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(0,4)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0aa7bcc7acd9b70190168abbe3d05d9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"come](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-trouver-les-points-de-coupure-d-une-fonction-avec-les-axes.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Esercizi risolti per i punti di taglio di una funzione con assi<\/span><\/h2>\n
Esercizio 1<\/h3>\n
![\"f(x)=3x-3\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-447bac271b899fc6d87ee8fc9f3d87b5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"3x-3=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b7291fed5da122f14a1b5cbafc13559e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"3x=3\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b39e9a661c099f0b13442a0dd3ba5700_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x=\\cfrac{3}{3}=1\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64407431d2b1206ab172819ab1928e50_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(1,0)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84f3677bb18b0fdcb23f9f99693d049e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"f(0)=3\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a83e45cdffe32b2ee0599ddd1f0ae4bd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(0,-3)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e89904be28df22207ae43a7379270316_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 2<\/h3>\n
![\"f(x)=2x+8\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e733087b3bf20359712e748e2e3d5764_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"2x+8=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdcfe575c0789863873671ec42ab16ae_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"2x=-8\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc7337d181b4e08c25470427998bc646_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x=\\cfrac{-8}{2}=-4\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbbfe13092d0b2e10696de59568d6433_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(-4,0)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe3caa28378743e8250e55c03d1ac7ca_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"f(0)=2\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1444b23eab6cd020e38565fafd74d31b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(0,8)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-105b970552c775092fe96f1b5251d9b4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 3<\/h3>\n
![\"f(x)=x^2-3x+2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d43d784f066ade6ba00e0c2e5f910774_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"x^2-3x+2=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8a3b8c7361e03cf0cfeb06bc32627f0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31cf15f08af9aa5c86f1f39728544b3c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47048fdd48ce98ba99629edf5a379f76_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(1,0)}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34015e4c89221f8acc0e76fc0f301550_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"f(0)=0^2-3\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-037e5e8037e4c4a3e1b8daeffe909aa1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(0,2)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6928e231184fd28bd944d9531a322d74_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\nEsercizio 4<\/h3>\n
![\"f(x)=\\cfrac{5}{x}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c6588a40aa5d636b904df48cdc63f43_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{5}{x}=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c2f253c2098f7e0688564532f048904_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"5=0\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e761a1a13a81d25e434a24c11cb263ee_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"5=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-884c8e1ffbde4b09284840f90e1a642e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"5\\neq](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-120ad4537dbe55170dae71719cf66566_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"f(0)=\\cfrac{5}{0}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d11baf5490eb4560f276585a0b0ee6f8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n Esercizio 5<\/h3>\n
![\"f(x)=x^3-9x\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91cb8246270e79763a0cbadd5bda610b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"x^3-9x=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9b6c5eb5845339d1864ff4c341b1128_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x(x^2-9)=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3279d8df0d4b242b861866c675e1241c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-37febaed85a502533604305b9009611d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(-3,0)}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2ce13d316debbfa000812492c9e95eb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"f(0)=0^3-9\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d670efac6ee1ce9704c9fe94c3b1e6b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(0,0)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c790019bd70403eba876c59c82c0f9c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n