{"id":12,"date":"2023-09-17T11:14:13","date_gmt":"2023-09-17T11:14:13","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzioni-con-valore-assoluto\/"},"modified":"2023-09-17T11:14:13","modified_gmt":"2023-09-17T11:14:13","slug":"funzioni-con-valore-assoluto","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/it\/funzioni-con-valore-assoluto\/","title":{"rendered":"Funzioni di valore assoluto"},"content":{"rendered":"
Questa pagina spiega cos’\u00e8 una funzione di valore assoluto. Imparerai anche come definire una funzione con valore assoluto a tratti e come rappresentare questi tipi di funzioni su un grafico. Inoltre lo vedrai con esempi di funzioni a valore assoluto e potrai esercitarti con esercizi e problemi risolti passo dopo passo. <\/p>\n
<\/span> Quali sono le funzioni con valore assoluto?<\/span><\/h2>\n
La definizione di una funzione valore assoluto \u00e8 la seguente: <\/p>\n
\n
Il valore assoluto di una funzione trasforma tutte le sue immagini in immagini positive. Pertanto, il percorso di una funzione assoluta non pu\u00f2 mai avere valori negativi.<\/p>\n<\/div>\n
La seguente funzione \u00e8 un esempio di funzione valore assoluto:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Se valutando la funzione in un punto otteniamo un risultato positivo, rimane positivo:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Se invece il risultato \u00e8 negativo diventa positivo:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Le funzioni di valore assoluto vengono solitamente impartite alle scuole superiori, perch\u00e9 le loro caratteristiche le rendono un po’ difficili da comprendere. <\/p>\n
<\/span> Come definire a tratti una funzione con valore assoluto <\/span><\/h2>\n
\n
Una funzione con valori assoluti pu\u00f2 essere espressa come una funzione a tratti. Per fare ci\u00f2, devi cambiare il segno della funzione sugli intervalli che \u00e8 negativo.<\/p>\n<\/div>\n
Vediamo un esempio di come passare da una funzione a valore assoluto a una funzione a tratti:<\/p>\n
\n
Esprimi la seguente funzione con un valore assoluto come funzione a tratti:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 determinare quando la funzione \u00e8 negativa. Per fare ci\u00f2 impostiamo l’espressione algebrica in valore assoluto pari a 0 e risolviamo l’equazione: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Rappresentiamo ora i valori ottenuti sulla retta: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
E guardiamo quale segno ha la funzione senza il valore assoluto in ogni intervallo della linea: <\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
Prendiamo ad esempio qualsiasi punto inferiore a -2 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Negativo<\/strong><\/p>\n<\/div>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
Prendiamo ad esempio qualsiasi punto compreso tra -2 e +2 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Positivo<\/strong><\/p>\n<\/div>\n
\n
2″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”42″ style=”vertical-align: -2px;”><\/p>\n<\/p>\n
Ad esempio, prendiamo qualsiasi punto maggiore di 2 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Negativo<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Come abbiamo visto, la funzione senza il valore assoluto sarebbe negativa sugli intervalli<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
2.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”47″ style=”vertical-align: -2px;”><\/p>\n
Dobbiamo quindi esprimere la funzione in trattini cambiando il suo segno in questi intervalli:<\/p>\n<\/p>\n
2 \\end{array} \\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”97″ width=”372″ style=”vertical-align: 0px;”><\/p>\n<\/p>\n
2 \\end{array} \\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”97″ width=”358″ style=”vertical-align: 0px;”><\/p>\n<\/p>\n
Nota che in alcuni intervalli devi includere l’uguaglianza. Ad esempio, qui lo inseriamo nel secondo intervallo<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
. Ma puoi posizionarlo in qualsiasi intervallo desideri purch\u00e9 vi sia un pareggio in tutti i punti critici. In altre parole, sarebbe lo stesso se avessimo definito la funzione come segue: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Come rappresentare una funzione con valore assoluto <\/span><\/h2>\n
\n
Per rappresentare una funzione con valore assoluto su un grafico, dobbiamo seguire i passaggi descritti di seguito:<\/p>\n
\n
Rappresentare la funzione come se non avesse valore assoluto.<\/span><\/li>\n
Negli intervalli in cui la funzione \u00e8 negativa, cio\u00e8 si trova sotto l’asse X, disegna la funzione simmetrica.<\/span><\/li>\n
Elimina la parte della funzione che si trova sotto l’asse X.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
Vediamo un esempio di come rappresentare graficamente una funzione con valore assoluto<\/p>\n
\n
Rappresentare graficamente la seguente funzione in valore assoluto:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Per rappresentare una funzione con valore assoluto, dobbiamo prima rappresentare la funzione senza valore assoluto. Realizziamo quindi la tabella dei valori delle funzioni senza il valore assoluto:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
\n
\n
\n
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
Rappresentiamo graficamente i punti e disegniamo la retta come se fosse una normale funzione: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Ora dobbiamo disegnare la funzione simmetrica dove la funzione \u00e8 negativa, cio\u00e8 dove si trova sotto l’asse x. Invertiamo quindi la funzione partendo da x=2: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Ed infine eliminiamo la traccia della funzione che si trova sotto l’asse X: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
E in questo modo abbiamo gi\u00e0 rappresentato la funzione con un valore assoluto. Come hai visto, l’unica cosa che cambia \u00e8 che dobbiamo invertire la parte della funzione che si trova sotto l’asse OX. Pertanto, il grafico di qualsiasi funzione con valore assoluto si trover\u00e0 sempre sul lato del semiasse Y positivo.<\/p>\n
D’altra parte, ripassando i concetti, dal grafico possiamo dedurre che il dominio della precedente funzione valore assoluto \u00e8 costituito interamente da numeri reali. D’altra parte, l’intervallo o intervallo di detta funzione con valore assoluto \u00e8 composto solo da numeri positivi e zeri. <\/p>\n
<\/span> Esercizi risolti su funzioni a valore assoluto<\/span><\/h2>\n
Esercizio 1<\/h3>\n
Esprimi la seguente funzione con un valore assoluto come funzione a tratti: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Prima di tutto dobbiamo considerare quando la funzione \u00e8 negativa. Per fare ci\u00f2, impostiamo il valore assoluto uguale a zero e risolviamo l’equazione: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Rappresentiamo il valore trovato sulla linea: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Adesso valutiamo un punto in ogni intervallo della funzione senza il valore assoluto per scoprire quale segno ha effettivamente la funzione in ogni tratto della retta: <\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ad esempio, prendiamo qualsiasi punto inferiore a 3 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Positivo<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n
\n
3″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”43″ style=”vertical-align: -2px;”><\/p>\n<\/p>\n
Ad esempio, prendiamo qualsiasi punto maggiore di 3 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Negativo<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
La funzione senza il valore assoluto sarebbe negativa nell’intervallo x>3. Dobbiamo quindi esprimere la funzione in trattini cambiandone il segno in questo intervallo: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
Esercizio 2<\/h3>\n
Trova l’espressione a tratti della seguente funzione con un valore assoluto: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 determinare quando la funzione \u00e8 negativa. Per fare ci\u00f2, dobbiamo impostare l’argomento del valore assoluto uguale a zero e risolvere l’equazione: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Rappresentiamo ora le radici della funzione ottenuta a destra: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
E guardiamo quale segno ha la funzione senza il valore assoluto in ogni intervallo della linea: <\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ad esempio, prendiamo qualsiasi punto inferiore a -5 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Positivo<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
Prendiamo ad esempio qualsiasi punto compreso tra -5 e +5 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Negativo<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n
\n
5″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”15″ width=”42″ style=”vertical-align: -2px;”><\/p>\n<\/p>\n
Ad esempio, prendiamo qualsiasi punto maggiore di 5 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Positivo<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Pertanto la funzione senza valore assoluto sarebbe negativa solo nell’intervallo -5<x<5. Dobbiamo quindi esprimere la funzione in parti cambiando solo il segno di questo intervallo: <\/p>\n<\/p>\n
5 \\end{array} \\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”97″ width=”408″ style=”vertical-align: 0px;”><\/p>\n<\/p>\n
5 \\end{array} \\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”97″ width=”394″ style=”vertical-align: 0px;”><\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
Esercizio 3<\/h3>\n
Rappresentare graficamente la seguente funzione in valore assoluto: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Per rappresentare una funzione con valore assoluto, devi prima rappresentare la funzione senza valore assoluto:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\u00c8 una funzione affine, quindi \u00e8 necessario costruire una tabella di valori per rappresentarla graficamente: <\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
Tracciamo i punti sul grafico e tracciamo la linea: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Dobbiamo ora disegnare la funzione simmetrica dove la funzione \u00e8 negativa, cio\u00e8 dove si trova sotto l’asse X. Pertanto, invertiamo la funzione da x=3 all’indietro: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Infine eliminiamo la parte della funzione che si trova sotto l’asse X: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
<\/div>\n
Esercizio 4<\/h3>\n
Rappresentare graficamente la seguente funzione in valore assoluto: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Vedi la soluzione<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Per rappresentare una funzione con valore assoluto, dobbiamo prima disegnare la funzione senza valore assoluto.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Questa \u00e8 una funzione quadratica. Quindi per rappresentarla dobbiamo calcolare la coordinata X del vertice della parabola con la sua formula:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ora creiamo una tabella di valori. Per fare ci\u00f2, calcoliamo il valore di<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
in alto e intorno alla parte superiore: <\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
Tracciamo i punti sul grafico e disegniamo la parabola: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Dobbiamo ora tradurre la funzione per simmetria dove \u00e8 negativa, cio\u00e8 dove \u00e8 sotto l’asse OX. Pertanto, invertiamo la funzione da x=0 a x=4: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
E infine eliminiamo la parte della funzione che si trova sotto l’asse X: <\/p>\n
Questa pagina spiega cos’\u00e8 una funzione di valore assoluto. Imparerai anche come definire una funzione con valore assoluto a tratti e come rappresentare questi tipi di funzioni su un grafico. Inoltre lo vedrai con esempi di funzioni a valore assoluto e potrai esercitarti con esercizi e problemi risolti passo dopo passo. Quali sono le funzioni …<\/p>\n
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